“反比例函數”教學淺析

黃春秋

【摘要】本文從突出反比例函數與生活的聯系、在教學過程中注意滲透思想、關注函數學習方法的科學指導三個方面對“反比例函數”教學展開探討。

【關鍵詞】反比例函數 聯系實際 思想 方法學法指導

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）04A-0127-02

函數是描述現實世界自然變化規律的一種數學模型，反比例函數是基礎函數之一。反比例函數的教學是在學生已經掌握了平面直角坐標系和一次函數的基礎上開展的，函數概念、圖象與性質是核心知識，教師在教學時要采用合理教法，突出重點。

一、突出函數與生活的聯系

反比例函數是反映現實世界特定數量關系的一種重要的數學模型，其相關知識在日常生活、生產實踐和科學研究等方面有著廣泛的應用。因此，教師在教學反比例函數時要緊密聯系生活實際，重點突出反比例函數與現實生活的聯系。

教師在剛開始教學反比例函數的相關知識時，有必要引入大量的實際問題，在激發學生學習興趣的同時讓學生深刻體會反比例函數在現實世界的廣泛應用。教師可以創設如下情境：①小明和爸爸準備用舊的圍欄圍成一個面積為10m2的花圃，假設它的一邊長為x（m），請寫出另一邊長y（m）與x的函數關系，10=xy；②小紅的爸爸駕車從美麗的青島去到濟南，汽車里程表顯示為350km，請大家說出行駛時間t與行駛速度v的函數關系，350=vt。教師從學生的生活圈中選取的問題，符合學生的認知發展規律，可讓學生更自在、放松地參與問題討論，同時也使學生真切體會到生活中處處充滿函數，意識到研究函數的必要性。

其次，在運用知識階段，教師也需要充分結合實際，引導學生運用反比例函數的相關知識分析、解決問題，在鞏固學生知識的同時，提升學生解決問題的靈活性。教師可以設置如下問題：某煤氣公司需要在地下擴建一個容積為104m3的圓柱形儲藏室，①儲藏室的底面積S（單位：m2）與深度d（單位：m）有著怎樣的函數關系？②如果將儲藏室的底面積S定為500m2，施工時應該向下挖多深？③如若臨時將儲藏室深度定為15m，相應的底面積應改為多少？教師結合上述問題對學生進行合理引導，讓學生體會反比例函數是描述現實世界的有效工具，初步培養學生設計方案、解決問題的能力。

反比例函數教學與生活實際的有效結合對于學生深刻體會函數在生活中的廣泛應用有著極大的幫助，而利用反比例函數解決實際問題，可讓學生體會到“理論來源于生活，又反過來指導生活實踐”的哲學思想。

二、注重數學思想方法的滲透

雖然反比例函數是一種較為基礎、初等的函數，但是其中蘊含了豐富的數學思想方法，對提升學生的觀察、分析、解決問題的能力有極大幫助。

反比例函數的教學是在概念教學的基礎上開展的，教師在教學中可有效滲透歸納和對應的思想。例如在抽象概念階段，教師引導學生分析幾個具體的問題，如分析表1和表2中的因變量與自變量的變化規律，分析函數變量x與y之間的對應關系，并滲透對應的數學思想方法，然后進一步歸納反比例函數的共同特征，抽象出反比例函數的概念，滲透由特殊到一般的數學思想方法。

反比例函數的圖象與性質的教學應該圍繞數形結合思想來開展，反比例函數的圖象與性質本身就是“數”與“形”的統一體，對圖象的分析充分體現了數形結合思想。學生在學習數軸和平面直角坐標系時已初步了解了數形結合思想，教師在教學反比例函數階段需要利用函數的圖象優勢引導學生深入理解數形結合思想，如設定由“函數解析式”到“作圖表”的環節，然后利用“圖表”探究“圖象的性質”，讓學生充分體會由“數”到“形”，再由“形”到“數”的轉化過程，體會其中的數形結合思想，并利用函數解析式及性質與圖象的聯系，讓學生深刻體會轉化思想對于分析問題的重要作用。

此外，教師要適時滲透數學模型思想，通過對知識的回顧，引導學生將問題轉化為函數模型，然后利用函數模型的直觀便利性有效分析問題。例如，教師可以以這樣的思路講解上述煤氣公司挖儲藏室的問題（如下圖）：首先根據圓柱體的體積公式，建立底面積S與深度d的關系，即數學模型S=[104d]，然后根據模型分別求兩種設計情形下的具體量，即已知S求d，已知d求S。教師通過建立數學模型，引導學生掌握解決實際問題的方法，滲透模型思想，提升學生思維品質。

反比例函數的教學應該以數學的思想方法作為主要線索，以突出變化與對應思想、歸納思想、數形結合思想和模型思想作為教學的首要任務，合理設置教學環節，充分滲透數學思想。知識對學生的影響是淺薄短暫的，而思想方法則會使學生一生受益。

三、關注函數學法的科學指導

對于反比例函數教學，教師可以采用一般函數的教學模式，即“函數概念—函數的圖象和性質—應用函數解決問題”，參照一次函數的教學方式，采用“異課同構”的方式開展教學。教師首先需要明確教學任務，準確定位知識地位，完善學生的認知結構，然后通過聯系舊知、結合實際，幫助學生理解函數概念，再依照上述結構深入開展教學。對于反比例函數圖象的學習，教師可采用作函數圖象的一般方法，即描點法，首先分析函數解析式的自變量的取值范圍，建立x與y取值的對應變化表格，然后建立直角坐標系，構思函數圖象的位置、輪廓以及變化趨勢，通過描點、連線的方式來作圖。

教師在教學反比例函數時也可以對比正比例函數相關知識來加強學生對反比例函數的學習，通過設問的方式讓學生多方面對比反比例函數y=[kx]（k為常數，k≠0）與正比例函數y=kx（k為常數，k≠0）：

①兩種函數的解析式存在哪些異同？其圖象有何差異？

②在常數相同的情況下，自變量x與因變量y有何變化趨勢上的差異？

③兩種函數在自變量x的取值范圍上有何差異？常數的符號變化是否會影響函數圖象所處的象限？

教師對比正比例函數設置相應的問題，通過設問、列表（如表3所示）回答的方式引導學生學習反比例函數的相關知識，整個過程讓學生完成對知識的梳理，同時以探究的方式學習新知，學生的數學思維和學習興趣也可以最大程度地被激發出來，對于牢固掌握知識有著極大幫助。

總之，對于反比例函數的教學，教師要準確把握函數的核心知識，從現實生活中抽象反比例函數概念，使學生對生活的感性認識上升到理性認識，結合生活中的實際問題開展應用教學，努力提升學生解決實際問題的能力；注意滲透數學的思想方法，讓學生充分感受歸納、對應、數形結合和模型思想，為學生的終身發展提供助力；采用科學合理的教法，參照一次函數的學習方式，通過探究合作、對比歸納的方法來指導學生學習反比例函數的相關知識，努力提升學生的分析問題能力及數學表達能力。

（責編 劉小瑗）