“一線三等角”問題學生解題調查

浙江省杭州市勝藍中學 吳瑩瑩

一、原題呈現 題源分析

原題：如圖 1，在 △ABC中，AB=AC=10，在BC邊上取點D使BD=6，連結AD。以AD為一邊作∠ADE=∠B交邊AC于點E。若，求 cos∠AED的值。

圖1

圖2

題源分析：本題由兩個簡單圖形組成，一個是腰長為10，底邊長為16的等腰三角形，在浙教版九下課本P18例1能找到它的原型；另一個是書上常見的相似三角形。在浙教版九上數學書P135課內練習2能找到這組相似三角形。

1.如圖2是某市“平改坡”工程中一種坡屋頂的設計圖，已知原平屋頂的寬度l為10m，坡屋頂高度h為3.5m，求斜面鋼條a的長度和坡角α（長度精確到0.1m，角度精確到1°）（浙教版教科書九下數學書P18例1）

2.如圖，D為△ABC的邊上一點，若要使△ABD與△ACB相似，可添加什么條件？你有幾種不同方法？（浙教版教科書九上數學書P135課內練習2）

二、學生解法匯集

解法一：解：作AF⊥BC于點F，

由勾股定理得：

由勾股定理得：

解法二：解：作AF⊥BC于點F，AG⊥DE于點G，

同解法一：BF=CF=8，

由勾股定理得

解法三：作AF⊥BC于點F，作DH⊥AC于點H，

同 解 法 二 得 ：BF=8

解法四：作AF⊥BC于點F，作MA⊥AC交ED的延長線于點M.

同 解 法 三 得 ：BF=8，△ABD≌△DCE，CE=BD=6，

三、數據分析

觀成，朝暉，勝藍，啟航，江南實驗共700名初三學生參加測試。筆者對各種數據作了匯總分析。

杭城5所初中本題解法及得分統計表

四、解法調查

1.課堂中要重視培養學生思維的靈活性。在調查中發現，觀成跟江南實驗兩所學校得分率相對較高。這與學生本身的素質息息相關，也和教師的教法有關。教師在教學過程中只是一名學習的組織者，引導者與合作者。這樣的教學方式改變了傳統的教學模式——老師講，學生聽。馬成瑞在《中學數學兩種思維結合學習論》中闡述：數學中經常用到正向思維、逆向思維以及多向思維，體現了數學思維的靈活性。所以在課堂中培養學生思維的靈活性是非常重要的。

2.課堂中要重視培養學生思維的主動性。

每到初三，在傳統教學模式中，往往逃不掉題海戰術，試圖通過學生不停地做題，以求學生對所學知識的靈活運用，從本次的調查中可看出這種做法收效甚微，在新課標下的教學模式，要求教師在教學過程中由主導為引導，如本題，如果直接求∠AED的余弦值是非常困難的，此時要求學生利用所學知識，在圖中找到與∠AED相等的角，算出與之相等的角的余弦值，從而求得∠AED的余弦值。因此我們在教學過程中應該重視培養學生思維的主動性。

3.課堂中要重視培養學生思維的創造性。

本題中343位學生都想到了去構造以∠AED為內角的直角三角形。這樣的定式思維把解題過程復雜化，從數據上也可以發現解法二、三的得分率較低。解法一更具創造性，得分率明顯提高。新課標下，在教學過程中教師應該把數學思想方法慢慢滲透到每道題中，讓學生自然而然找到最優解題方法。讓我們更新教學觀念，讓學生創造性思維的火花在課堂上熠熠生輝。

解題時，既要注意一題多解，也要注意一題多變，更要重視多題一解，力求做一題通一類，做一類歸一題，切實提高學習能力。通過本次對這“一線三等角”問題的調查，教師在日常教學中要重視培養學生思維的靈活性、主動性、創造性。充分發揮引導作用，讓學生在自主學習的過程中快速有效地解答問題。

[1]教育部審定.義務教育教科書數學九年級上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2013.7.

[2]馬成瑞.中學數學兩種思維結合學習論[M].北京：教育科學出版社，2016.11.