例析求線段長度的幾種方法

福建省泰寧縣第四中學 溫清梅

幾何圖形中的計算題是初中數學中常見題型，一直是數學中考的必考題型，求線段的長度正是這類計算題中的典型代表。縱觀近年來的中考試題，求線段的長是中考中與圖形有關的問題中經常會涉及的知識點，它在各市的中考壓軸題中也常常涉及到。因此，能否掌握初中線段長的求解方法，將會影響到學生解決這些問題的能力。以下筆者將就一道題的多種解法談談求線段長度的方法。不難發現，解決途徑都是運用轉化的思想方法。要求學生自己探究、發現，尋求解決的途徑。我在多年的初中教學中，特別是初三數學教學中，結合例題總結了幾種常用的求線段的長度的方法。原題如下：

如圖，在邊長為1的正方形組成的6×6方格中，點A，B都在格點上。（1）在給定的方格中將線段AB平移到CD，使得四邊形ABDC是矩形，且點C，D都落在格點上，畫出四邊形ABDC；（2）在方格中畫出△ACD關于直線AD對稱的△AED；（3）求出AB與DE的交點P到線段AD的距離。

對線段長度的求解，則有多種方法，如解析法，相似三角形對應求線段比，等面積法，勾股定理以及相似三角形中的對應邊的比等于相似比等方法。

一、解析法

在這里若以0為原點，0B所在直線為x軸，0A所在直線為y軸建立平面直角坐標系，此時A、B、D、E都在格點上，通過這幾個點的坐標可以求出直線DE、AB的解析式，此時聯合組成方程組就可以通過方程的解求出相應的P點的坐標，而坐標可以轉化為長度，則可以求出P到AD的距離，這類解法得求出AB的解析式，ED的解析式，而后聯立解析式，將它們看成方程（相應），求出方程的解，則是P點的坐標，再用A點的縱坐標減去P點縱坐標，得P點到AD的距離，方法較為繁瑣，不得已才用這種方法。因為耗時耗力，一般不可取，但在拋物線與直線相交時，求線段的長段則基本要考慮這種方法，只要能求出直線與拋物線的交點坐標，便可以用縱坐標與縱坐標相減得到了，這是通法，當然，如果解析法熟練的同學這種方法可以節省許多思考的時間。

二、相似法

利用△APD∽△BPE，先由AD∥OB得到內錯角相等，而后可由內錯角相等和對頂角相等，得證△APD∽△BPE，對應高的比等于相似比，因此這里P至AD的距離比P到EB的距離即AD與EB的比，這里AO＝2，只設P到AD距離為x，而P到EB距離為（2-x），可列式求得x＝1.25，這種思路的理解，解法既簡單又準確，是可以提倡的解法。利用相似三角形對應邊成比例是求線段長度的常見方法，關鍵是找出所求線段和已知線段是哪兩個三角形的邊元素，再找尋出證明這兩個三角形相似的方法，問題即可以解決。

三、勾股定理和相似結合的方法

首先，由各邊的長度，如可知 AE2＝5，DE2＝20，AD2＝25，可知 AE2+DE2＝AD2，從而知道∠AED＝90°，過P作PM⊥AD，可知△PMD∽△AED，這里根據對稱性可得AM＝DM，DM＝2.5，這里的PM就是我們所要求的，因此可列式即這里順利的求出PM的值為1.25，這里的方法較第一種容易，但較第二種方法來說稍顯繁瑣。利用勾股定理求線段的長度關鍵是構建出直角三角形，再找出所求的線段是這個三角形的直角邊還是斜邊，或者它們的關系，就可以利用勾股定理求出所要求的線段長度。因此，相似和勾股結合的話會費時些，但是求線段常用的思路是相似和勾股，而許多同學也較常用，因此是較為提倡的好辦法。

四、等面積法

運用面積關系解決平面幾何體的方法，稱為面積法。在此題中△APD的面積可以由AD乘以PM除以2得到，也可以由以PD為底，AE為高得到，AE為AD為5易求，而PD的求法叫可以由△ADP∽△BPE，得到這里求出PD，則再利用等面積式子，PD·AE＝AD·PM求得，這里PD的求法也可在△BPD中，利用勾股定理得到，但是方法較為麻煩。等面積方法不是最可取，但是它的這種思想方法將來會常用而且便捷，因此不失為一種好辦法。等面積法常常會使題目簡化，常見的有求直角三角形斜邊上的高，常給出兩直角邊，可以利用勾股定理求出斜邊，再求斜邊上的高（用等面積法）。又常見與兩條線段或三角線段相加之和，當沒有辦法將兩條或三條線段轉移到同一直線或邊上時，常常會分解到兩個三角形或三個三角形中，線段此時充當的角色是三角形的高，兩個或三個三角形的面積等于一個三角形的面積，這時兩線段或三角條段之和便轉移到了總長上，它是幾何中常用的一種方法。特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系會變成數量之間的關系。這個時候，問題就化繁為簡了，只需要計算，有時甚至可以不添置輔助線就迎刃而解了。

此外，用面積法還可以用來證明線段相等（不等），角相等，比例式或等積式，求線段比等。雖然這些幾乎都可以用其他方法來解決，但是面積法無疑是一種更直接、簡易、有效的方法。

五、銳角三角函數法

在此題中，由于A、E、B、D在網格上，而且四邊形A EBD是軸對稱圖形，因而可以求出AE、AD、DE的長度，從而可求∠AED＝90°，這樣便得知∠ADE的正切值，過P作PM⊥AD，MD為AD一半，此時利用∠ADE的正切值，PM的長度則可解，在求線段長度的過程中，有時利用銳角函數值比用勾股定理和解析法在解題步驟上來得更為簡便是值得推薦的方法。我們要理解在直角三角形中，當銳角一定時，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值是固定的，這幾個比值稱為銳角三角函數，它反映的是兩條線段的比值；它提示了三角形中的邊角關系，這可以讓我們找到相等角，在其他三角形中較快速地求出線段。

求線段的長度還有其他的一些方法，這幾種方法只不過是平常較為常用的方法，在遇到類似問題時，教師可以多引導學生總結，歸納，具體情況具體分析，靈活運用數學思想方法來解決問題。