初中數(shù)學(xué)課堂例題變式

江蘇省海門市海南中學(xué) 李 英

其實(shí)，變式就是創(chuàng)新，而變式題就是在題目上進(jìn)行創(chuàng)新。多角度地對(duì)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練不僅可以幫助學(xué)生全面客觀地掌握知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法融會(huì)貫通，還能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，發(fā)展學(xué)生獲取新知識(shí)的能力。但變式并不意味著可以隨意改變，而是要準(zhǔn)確抓住問題的基本特征，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變式。有效的練習(xí)題變式還需要學(xué)生主動(dòng)地參與進(jìn)來。不但要參與題目文字、圖形的改編，還要在練習(xí)題變式后對(duì)解題方法與結(jié)論進(jìn)行自我反思與總結(jié)，找出每種題型的特征，整理出一個(gè)可操作性的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，幫助自己更好、更快地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技能，以“不變”應(yīng)“萬變”。

一、“小題”變式

例題教學(xué)，首先要保證學(xué)生聽得懂，接受得了，讓學(xué)生自己說出題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)。要做到這一點(diǎn)，教師可以圍繞例題設(shè)計(jì)一些“小題”，引導(dǎo)學(xué)生從解決小題的過程中去識(shí)別例題的知識(shí)點(diǎn)，為掌握例題搭好合理的臺(tái)階。

案例1：人教版“一元二次方程”中的例題：“有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？”為了幫助學(xué)生順利快速地理解題意，可以變式成這樣幾個(gè)小題。

變式1：若1人傳染給2人，一輪后有幾個(gè)人患流感？第二輪中有幾個(gè)傳染源？若在第二輪中還是一人傳染給2人，那么第二輪傳染了幾個(gè)人？?jī)奢喓蠊灿卸嗌偃嘶剂鞲校?/p>

變式2：若1人傳染給10人，一輪后有幾個(gè)人患流感？第二輪中有幾個(gè)傳染源？若在第二輪中還是一人傳染給10人，那么第二輪傳染了幾個(gè)人？?jī)奢喓蠊灿卸嗌偃嘶剂鞲校?/p>

變式3：若1人傳染給n人，一輪后有幾個(gè)人患流感？第二輪中有幾個(gè)傳染源？若在第二輪中還是一人傳染給n人，那么第二輪傳染了幾個(gè)人？?jī)奢喓蠊灿卸嗌偃嘶剂鞲校?/p>

二、一題多解變式

從不同的角度，應(yīng)用不同的知識(shí)，采用不同的思維方法去解答同一道例題或習(xí)題，使前后知識(shí)聯(lián)系起來，有助于學(xué)生熟練掌握教師所講的數(shù)學(xué)知識(shí)，并拓展學(xué)生解題思維的廣闊性和靈活性，從中掌握好解題的基本方法，探索最佳方法。

圖1

案例2：在復(fù)習(xí)“一次函數(shù)”時(shí)有這樣一道習(xí)題：如圖1，直線交x軸于點(diǎn)A（6，0），交 y 軸于點(diǎn) B（0，8），把直線AB沿過點(diǎn)A的直線翻折，使點(diǎn)B與x軸上的點(diǎn)C重合，折痕與y軸交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式。

本題求直線CD的解析式，主要求點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，點(diǎn)C坐標(biāo)的求法比較單一。利用翻折的性質(zhì)得AC=AB=10,所以O(shè)C=AC-OA=4,因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，所以點(diǎn)C為（-4，0）。在求點(diǎn)D坐標(biāo)時(shí)存在多種不同的解法。

解法 1：（勾股定理）設(shè) D（0，m），則OD=m，CD=BD=8-m，在 Rt△COD 中，∠COD=90°,根據(jù)勾股定理可得方程m2+42=(8-m)2，∴m=3，∴D（0，3）。

解法2：（相似三角形）由翻折得∠OCD=∠OBA，∵∠COD=∠BOA=90°，

解法3：（銳角三角函數(shù)）由翻折得

∠OCD=∠OBA，

三、一題多變變式

改變命題條件，或改變結(jié)論，或條件結(jié)論互換，或改變圖形的位置與形狀，或改變題目的陳述，形成階梯形題鏈，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，在層層遞進(jìn)的深化過程中完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和舉一反三、觸類旁通的變通能力，促進(jìn)知識(shí)的遷移。

案例3：人教版“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”中的例題：“已知關(guān)于x的方程2x2+kx-9=0的一個(gè)根為-3，求另一個(gè)根及k的值。”

變式 1：已知關(guān)于 x的方程 2x2-2kx-9=0的兩根互為相反數(shù)，求k的值。

變式2：已知關(guān)于x的方程2x2-5x+k=0的兩根互為倒數(shù)，求k的值。

變式3：已知關(guān)于x的方程x2+kx-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是11，求k的值。

改變命題條件的變式強(qiáng)化了一元二次方程的兩根與其系數(shù)的關(guān)系。

案例4：人教版“圓”中的例題：“如圖2，⊙O的直徑CD⊥AB于P，CD=10cm，OP=4cm，求弦 AB的長(zhǎng)？”

圖2

變式1:⊙O的直徑CD與弦AB交于點(diǎn)P，且 P為AB的中點(diǎn)，CD=10㎝，AB=6㎝,求 OP 的長(zhǎng)。

變式 2:⊙O的直徑 CD⊥AB于 P，CP=1 ㎝，AB=6㎝,求⊙O半徑的長(zhǎng)。

條件與結(jié)論互換的變式可以讓學(xué)生充分掌握半徑、弦、弦心距三者之間的關(guān)系，只要已知其中的兩個(gè)量，一定能求出第三個(gè)量。

四、多題一解變式

有些題目看上去毫不相干，但解題的思維方法卻完全一樣，進(jìn)行多題一解變式，找出題目的共同特征，強(qiáng)化基本解題方法和解題模式，使學(xué)生掌握基本解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生的收斂性思維。

案例5：人教版“正方形”中的習(xí)題：“如圖3，已知四邊形ABCD，DEFG均為正方形，求證：AE=CG.”

證明：∵四邊形ABCD、GDEF為正方形.∴CD=AD，GD=DE，∠CDA=∠EDG=90°，

∴∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG，

即：∠CDG=∠ADE，

∴在△CDG和△ADE中，CD=AD，∠CDG=∠ADE，GD=ED，∴△CDG≌△ADE.∴AE=CG.

圖3

圖4

變式：如圖4，△ABC和△CDE都是等邊三角形，求證：BE=AD。

證明：∵等邊△ABC，△CDE.

∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE，

即：∠BCE=∠ACD，

∴ 在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD，∴BE=AD.

從上面兩題的解法中不難發(fā)現(xiàn)都是通過SA S證三角形全等而得到兩線段相等的，這兩題的共同點(diǎn)是命題條件中的兩個(gè)多邊形的形狀相同且有一公共頂點(diǎn)。所以可得出一基本方法是：有一個(gè)公共頂點(diǎn)且形狀相同的兩個(gè)多邊形中一定能找到一對(duì)全等三角形，而且證明依據(jù)是SA S.

在例習(xí)題變式教學(xué)過程中，教師要精選例題，對(duì)各種題型進(jìn)行合理的變式，不能一味地變怪、變難，變式的題型要符合中學(xué)生的認(rèn)知能力和學(xué)識(shí)水平，引導(dǎo)學(xué)生在“變”中尋找“不變”的本質(zhì)，在“不變”中探索“變”的規(guī)律，才是一種幫助學(xué)生掌握知識(shí)、學(xué)會(huì)解題的有效教學(xué)方式。

[1]黃嘉玲.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式教學(xué)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013-08-20.

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