利用坐標平移探究一類定點問題

圣轉紅

(安徽省靈璧中學　234200)

我們知道，向量在平移過程中不改變大小和方向. 同樣，在坐標平移變換前后，直線的斜率不發生變化. 解析幾何中涉及直線斜率問題計算較復雜時，可通過平移使直線過原點，從而簡化運算. 以下通過2017年高考全國Ⅰ卷理科數學第20題的解決，體會這種解法的應用，并探究一類定點問題的一般結論.

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明：l過定點.

(2)分別設直線P2A,P2B的斜率為k1,k2,則k1≠k2且k1+k2=-1.于是P2A:y=k1x+1,P2B:y=k2x+1.

所以直線AB的方程為

當x=2時，y=-1，所以直線l過定點(2，-1).

注：這種思路很自然，不需要討論直線AB的斜率是否存在，但是對運算要求較高，原因是直線P2A,P2B的方程中含有常數項.如果進行坐標平移，便可以把定點P2變換到原點，并且不改變直線的斜率.

直線l的方程設成l′:mx′+ny′=1.②

所以2m=2n+1,代入直線mx′+ny′=1得2n(x′+y′)+x′-2=0.

顯然，當λ=0時，由橢圓的對稱性知，直線AB平行于x軸，不能過定點.

直線AB的方程設為A′B′:mx′+ny′=1.②

即-2a2bm=λ(2a2bn+a2),代入直線mx′+ny′=1得(2a2bλx′-2a2by′)n+a2λx′+2a2b=0.

b2x′2+a2y′2+2b2x0x′+2a2y0y′=0.①

設變換后直線AB的方程設為A′B′：

mx′+ny′=1.②

由①②聯立得b2x′2+a2y′2+(2b2x0x′+2a2y0y′)(mx′+ny′)=0,

(1)當λ=0,y0=0時，由x0≠0知n=0，直線AB的斜率不存在；

(3)當≠0時，由(**)知-2a2y0m=λ(2a2y0n+a2)+2b2x0n,

代入直線mx′+ny′=1,得[(2a2y0λ+2b2x0)x′-2a2y0y′]n+λa2x′+2a2y0=0.

即2a2y0m+2(a2y0λ+b2x0)n+λa2=0.

探究三在探究二方程(*)中，當此方程有兩個不相等的實數根時，如果兩根之積為定值，情況會怎樣呢？

代入直線A′B′的方程mx′+my′=1,得

(2a2y0λx′+2b2x0y′)n+(a2λ-b2)x′-2b2x0=0.

探究四：過拋物線y2=2px(p>0)上的定點P(x0,y0)作兩條直線分別與拋物線交于A，B兩點，當kPA+kPB=λ或kPAkPB=λ(λ為定值)時，直線AB是否過定點？

設直線AB的方程為mx′+ny′=1.②

由①②聯立y′2+2(y0y′-px′)(mx′+ny′)=0,

所以(2y0n+1)y′2+2(y0m-pn)x′y′-2mpx′2=0,

此方程的兩個不同的實數根就是kPA,kPB.

(1)當λ=0,y0=0時，由y0m-pn=0知n=0，直線AB的斜率不存在；

(3)當λ≠0時，把-2y0m=2(λy0n-pn)+λ,代入mx′+ny′=1得[2(λy0-p)x′-2y0y′]n+x′λ+2y0=0.

這樣，通過坐標變換便得到圓錐曲線的三個類似的一般結論：

定理3過拋物線y2=2px(p>0)上的定點P(x0,y0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別與拋物線交于A，B兩點，對于定值λ.