二次函數在高中階段的深入研究

肖　翔

(四川省興文第二中學　644400)

一、從函數概念的拓展深入研究二次函數

函數概念拓展以后，二次函數是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)有集合A的元素x對應，記為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識.在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

1.已知f(x)=x2+2x+3，求f(x+1).

這里不能把f(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值.

2.設f(x+1)=x2-3x+1,求f(x).

這個問題理解為，已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則.

一般有兩種方法：

(1)把所給表達式表示成x+1的多項式.

f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6

(2) 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用.

令t=x+1，則x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6,從而f(x)=x2-6x+6.

二、從圖象和性質方面深入研究二次函數,提高學生的數學思維能力

研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”三個方面進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是拋物線上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.對于二次函數的圖象拋物線的開口方向、對稱軸位置、定義區間三者相互制約，在具體的題型中，這三者有兩定一不定，要注意分類討論.

討論頂點橫坐標是否在這個區間中；若對稱軸固定，區間變動，這時要討論區間與對稱軸的位置關系，討論的目的是為了明確對稱軸和區間的位置關系，再要據函數的單調性求最值或值域.

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1.

(1)當t+1≤1,即t≤0時，函數在[t,t+1]單調遞減，所以g(t)=f(t+1)=t2+1.

(2)當t≤1

(3)當t>1時，函數在[t,t+1]單調遞增，所以g(t)=f(t)=t2-2t+2.

通過二次函數的不同區間下求最小值，鍛煉了學生的思維，讓學生獲得了不同的最小值的體驗，讓學生體會到了解決問題成功的喜悅，從而培養了學生的良好的數學興趣.

三、利用二次函數解決恒成立問題更為直觀，學生易于理解

對于二次函數意義上的恒成立問題，是高中階段解決問題的重要途徑之一，這就要求對二次函數概念及其性質在理解和掌握的基礎上，解決這類問題.一般情況下，對于二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)有：

1.f(x)>0在x∈R上恒成立?a>0且Δ<0;

2.f(x)<0在x∈R上恒成立?a<0且Δ<0.

由不等式恒成立求參數的取值范圍，常用分離參數法，轉化為求函數最值問題，其依據是a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min.

已知函數f(x)=x2+2ax+3，x∈[-4,6],f(x)>0在x∈(0,6]上恒成立，求a的取值范圍．

恒成立問題是學生在學習函數與導數問題時的一個難點，在與一元不等式及二次函數的相關的類型中，利用二次函數直觀的表示，并且涉及區間與對稱軸的變化求解，學生易于掌握，也容易激發學生探索解決這類問題的興趣，增加學生在恒成立問題上獲得的成功體驗.

通過二次函數的對比，利用函數圖象的直觀性讓學生進行適當的聯系，學生就能在不斷的練習中自覺利用函數圖象來進行解題.

在高中數學教學中，二次函數是重點，并且結合了其性質、區間、恒成立問題、一元二次不等式等綜合考查，需要學生將固定的思維模式打破，不斷充實學生的知識，通過新知識的掌握和理解不斷將二次函數深化和理解.