面向工科研究生的《微分方程數值解》教學改革與實踐

張新明

摘 要：在面向工科研究生的《微分方程數值解》課程教學中，設計了針對不同學生情況的分層次項目驅動教學改革。通過不同層次（基礎層次、提高層次和拓展層次）課下項目的設計和實施，使學生能夠基于自身情況選擇合適的項目來做，從而打破傳統的教學“吃大鍋飯”的情況，達到分類教學、因材施教和兼容并蓄的目的。實踐表明，教學效果良好。

關鍵詞：微分方程數值解；工科研究生；分層次項目驅動

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）03-0136-03

Abstract： In the Numerical Solution of Differential Equations for engineering graduate students， a multilevel project-driven teaching reform for individual student is designed. Through the design and implementation of the program under different levels （basic level， improvement level and extension level）， students can choose the appropriate project based on their specific situations to break the traditional teaching mode， adjusting education to talent， classifying education and embracing inclusiveness. The practice indicates that the teaching effect is good.

Keywords： Numerical Solution to the Differential Equation； engineering graduates； hierarchical project-driven

引言

面向工程專業的數學課的任課教師通常都會面臨著一個相似的問題：上課的學生對于數學課上所學的知識缺乏興趣且很容易遺忘，尤其對于工科專業的研究生更是如此。究其原因，主要有兩點：一、課程內容過于注重數學理論，忽視了學生數學基礎及個人興趣的不同，一視同仁“吃大鍋飯”；二、學生無法將所學的知識和他們的專業課程聯系起來。因此，上完課應付完考試后，在很短的時間內，就會把所學的內容還給老師。這種情況的產生，已經引起了越來越多教師的關注。大部分的教師都認為可以通過教學改革，改進以前“菜譜”式的授課方法來改善這個問題，但我們到底應該怎么做？應該如何改變現有的教學方法？至今仍沒有一致的理論。

隨著計算機軟件硬件的不斷更新和計算方法的迅速發展，科學計算與實驗以及理論研究成為現代科學研究的三大主要手段。作為三種科學研究手段之一的科學計算是一門工具性、方法性、邊緣性的新學科，發展迅速，其理論基礎主要是計算數學。作為科學計算中核心地位的《微分方程數值解法》是一門具有較強的實際背景、專門研究科學計算的課程，廣泛應用于計算物理學、計算流體力學、計算化學、計算生物學、金融預測、圖像處理和計算經濟學等各種領域，具有日益重要的應用價值。目前，在我國高校，《微分方程數值解法》作為對數學基礎知識要求較高且應用非常廣泛的一門課程，不僅在數學專業，同時在其他的理工科專業的本科及研究生教育中都開設這門課程。《微分方程數值解法》最早是僅面向數學專業高年級本科生的進階課程，后來才隨著其他工科專業的需求，逐漸開始給工科專業的研究生開設此門課程。在現有的工科研究生課程教學中面對的實際問題是，它的理論分析部分比較多，課本內容側重的是理論推導、分析和證明，對于問題的實際應用背景的介紹都一筆帶過，從而使得知識點變得異常的抽象。對于工科專業的學生來說，這種教學模式會導致學生的興趣被嚴重地扼殺。部分對數學興趣較高的學生也會因周圍同學的影響，因缺少和同學一起交流討論的機會，從而興趣逐漸降低。到教學結束時，還對該課程有興趣的學生更是寥寥無幾。

近些年來，關于研究生課程的教學改革在如火如荼的開展，尤其是在2014年教育部專門下發了《關于改進和加強研究生課程建設的意見》的文件之后，越來越多的教師將注意力放在了研究生課程的教學改革上，作為公共課的數學類課程更是引起了眾多的關注。目前，已有一些高校教師在《微分方程數值解法》這門課的教學改革上做了很多努力。鄧斌等人[1]基于數學學院信息與計算科學專業《微分方程數值解》課程的教學實踐，對該課程的教學內容、教學方法和手段以及以科研促教學等方面進行了探討；楊韌[2，3]針對信息與計算科學專業的教學實際，在《微分方程數值解》課程教學改革方面作了一些嘗試和探討，主要包括選擇適當教學定位，精選課程內容，合理選取理論體系，注重理論聯系實際，重視教學方法的改革和教學模式的更新，加強實踐能力培養等；黃鵬展[4]通過在《偏微分方程數值解》課程教學中對“教學與科研相結合”原則進行教學實踐，發現這條原則的應用，不僅可以開拓老師的科研視野，擴大科研資源和思路，而且可以增強學生的學習興趣，發展其創造性思維；曾閩麗和林智期[3]從應用型本科院校培養人才的目標出發，并結合具體教學實踐，探討了提高《微分方程數值解法》課程教學效果的一種新的教學理念、教學方法和教學內容改革措施；曹富軍和劉鶴[4]提出注重方程的背景和建模思想，科研與教學相結合，開展多元化的數學實驗等教學改革措施；王保軍等人[5]對于《微分方程數值解法》在一般本科院校的開設情況，基于多年的教學經驗從教材選擇、實驗課開設等方面進行了詳細的探討。但基本上都是針對于數學系本科生的，面向研究生尤其是工科研究生的教學改革至今還未見相關報道。

本文作者在所大學是一所以工科為主的大學，作為一門公共數學課的《微分方程數值解》的選課學生，大多是來自于工科專業，如：機械工程、土木工程、材料科學以及電子信息等。在過去幾年的教學過程中發現：這些專業的學生由于自身的專業特點，會更加關注微分方程的求解方法和軟件實現，以及怎樣才能將所學的方法應用于自己以后的課題中。他們需要的是簡單易懂、直觀的求解微分方程的方法，而不是高深的數學理論及證明技巧。因此，我開始在《微分方程數值解法》這門課程的教學中，加入一些新的元素，更改了一些教學方法。

一、教改目的及教改內容

本人所進行的教學改革的目的主要在于四個方面：1.使學生能夠順利的闡述自己所理解的求解方法；2.要求學生能夠拓展課上所學的計算方法；3.使學生能夠將所學方法應用于自己的專業課題；4.在學生完成項目的同時降低學生對于成績分數的擔心。

為了能夠實現這些目標，我設計了一系列的項目課題及完成后的相應得分，并把這些一次性給予學生。這樣，學生就可以根據自己的情況來選擇需要完成的項目。對于教師來說，這些課下完成的項目可以作為課程的內置模塊；對于學生來說，也可以作為一個提高成績或者為自己的努力爭取額外獎勵的機會。

同時，考慮到學生的需求和能力也是不盡相同的，因此，我所設計的課下項目大體分為三個層次：基礎階段、提高階段和拓展階段。基礎層次的項目主要面向那些需要大量時間來復習和消化課程內容以應對考試的學生。項目內容主要包括：1.有助于理解課程內容的主題。如：學生被要求解釋為什么所采用的公式可以使用以及他們是如何推導的，這將有利于學生的理解；2.和課后作業以及考試內容比較接近的問題。對于這層次的學生來說，他們不會做課堂布置的作業以外的題目，甚至對于作業也很難完成。因此，我們通過類似的題目可以使這些學生得到分數，并可以鼓勵他們做一些他們能做的額外工作。提高層次面向掌握了課程核心內容，但無法將所學內容順利應用的學生。這時，我們的項目主要包括應用導向性問題，要求學生首先能夠詳細準確闡述所掌握的方法，并在教師的引導下完成項目。通過項目的完成，學生能夠對所學內容有完整的理解，并能夠有所延拓。拓展層次主要面向班級里成績最好的學生。這部分學生學有余力，課程的內容太過簡單。如果我們只是照顧其他大多數學生，那么這部分學生就會對這門課程失去興趣。因此，我們設計了深度項目，主要包括：1.課程核心內容的高級應用；2.課程內容的深度挖掘。

二、教學改革如何實施

在本門課程的第一節課，和學生溝通交流將在本門課程中加入需要課下完成項目的這個要求。對于所有的課下題目，給定總得分及截止時間。截止時間一般為學期末，但對于基礎層級的項目可以考慮安排在考試前。這些課下項目中最好還要包含一部分的最重要的課程內容，大概在10%-15%。每個項目有得分說明，允許學生自主選擇，并可以累積以達到最高得分。我們規定所有題目完成后可以得到100分，占最后期末總成績的30%。

課下項目的設計可以說是這次教學改革的一個重點，我們所設計的題目必須精確區分不同的層次，避免同一個項目中包括多個層次的內容，從而使得不同需求的學生可以準確選擇合適的項目。在基礎層次的項目中，也要準確標出是課程中哪部分章節的內容。另外，對于項目的評分應該包括結果和展示闡述兩部分。這樣可以使學生明白，能夠將所得到的結果完整清晰的展示出來也是非常重要的。因此，在本次教學改革中，寫作能力和表達能力也是非常重要的一方面。

采用這種模式的好處在于：1.通過項目的實施，學生可以加深課程內容的理解，并獲得自信；2.可以減輕學生期末考試來臨前的緊張情緒；3.可以使學生挑選感興趣的問題以增加完成度，而不是單純滿足于學分；4.學生有更高的自主權，沒有強制完成的作業。

三、分層次項目舉例

在本節中，我們將以本門課程的第一章《常微分方程的數值解法》中歐拉方法為例，給出具體的課下項目。

例：考慮如下的常微分方程初值問題，并采用歐拉公式求解。

對于上述問題，不同層次的課下題目如下：

題目1 （基礎層次）給出求解上述題目的歐拉方法的公式，并給出歐拉方法的局部截斷誤差主部及方法階數。

題目2 （提高層次）針對上述題目，如果我們分別采用步長h=0.025和h=0.01計算y（0.1），結果如何？為什么？

題目3 （拓展層次） 針對上述題目，完成如下問題

1. 給出上述問題的解析解，并求出x=0.1上的函數值

2. 基于Matlab，以步長h=0.01，h=0.02和h=0.05分別采用歐拉方法求解x=0.1的函數值，求出絕對誤差及相對誤差。以表格或圖形的方式對比所得結果，并分析原因。

針對這樣一道常微分方程初值問題的求解，我們要求學生采用歐拉方法來解決。題目1是針對基礎層次學生的，只是要求其掌握課堂上所講授的內容，能夠給出歐拉公式、會求局部截斷誤差，并能夠基于局部截斷誤差給出方法的階數；題目2考察的是歐拉方法穩定性的知識點，通過不同步長的計算，學生會發現結果完全不同，而要分析出為什么，則需要學生對于數值方法穩定性有著較為深刻的理解；題目3則是針對學有余力的同學，要求這部分同學不僅掌握和能夠靈活運用課堂上所講的知識點，還要能夠以較為系統的方式闡述和分析所得結果。

四、結束語

在此次教改的實施過程中，大多數的學生選擇了基礎層次的項目，提高層級以及拓展層次的題目，選擇的學生很少。這是一個遺憾，我想主要原因可能還是學生的自信心不足或者在拓展題目的選擇上有些難度較大，使學生有點畏懼。這一部分，在以后的授課過程中可以進一步改善。雖然存在著一些不足，但基礎題目的選擇也使得學生們對課堂上講授的知識掌握得更扎實，對進階層次的題目也加強了了解。總體上來說，本次的教學改革還是成功的。最后，需要強調是項目靈活性的重要性，我們必須盡可能多地添加新的合適的項目，以滿足今后教學過程中不同層次學生的需求。

參考文獻：

[1]鄧斌，朱曉臨，張瑞豐，等.《微分方程數值解》課程教學改革的探索和實踐[J].大學數學，2014，30（Sup1）：56-58.

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[3]曾閩麗，林智期.《微分方程數值解法》的實踐教學改革與思考[J].蘭州文理學院學報（自然科學版），2014，28（6）：101-103.

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