類比方法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

姜麗穎 張國林

摘? 要：高等學(xué)校理工科的專業(yè)課程中，線性代數(shù)是較為重要的基礎(chǔ)性理論課。進(jìn)行理論課程的教學(xué)，傳統(tǒng)的方法較為難以理解，因此進(jìn)行具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性的教學(xué)，需要采用類比方法，對于大量的計算公式、概念和定理進(jìn)行形象講解，讓學(xué)生不會產(chǎn)生畏難情緒，提高教學(xué)效果。文章就結(jié)合類比法的實際應(yīng)用和教學(xué)案例進(jìn)行分析，期望能夠?qū)€性代數(shù)的教學(xué)改革具有參考作用。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);教學(xué)方法;類比法

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）24-0073-03

Abstract： Linear Algebra is an important basic theoretical course for science and engineering in universities. In the theoretical teaching process， traditional methods are difficult to understand. Therefore， the abstract and rigorous logical images need to be illustrated by analogy methods to explain a large number of computational formulas， concepts， and theorems. So it won't difficult for students anymore， and the teaching effect will be much better. This paper analyzes the practical application and teaching cases with the analogy method and expects to provide a reference for the teaching reform of Linear Algebra.

Keywords： linear Algebra; teaching methods; analogy

對于經(jīng)典理論的討論，在數(shù)學(xué)線性關(guān)系上進(jìn)行了多年，作為線性代數(shù)的教學(xué)，在高校理工科以及經(jīng)濟管理類專業(yè)的基礎(chǔ)性理論課程中，運用數(shù)學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科以及力學(xué)等，作為數(shù)學(xué)的分支，加入自然科學(xué)中，將知識，例如線性代數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的教學(xué)，包括抽象性、連貫性和邏輯性等，根據(jù)其計算數(shù)量較大，應(yīng)用較為廣泛的特征，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)課程中，解決難以理解的問題，將學(xué)習(xí)難度加以降低，提高教學(xué)質(zhì)量。在這一點上，一線教師通過實踐和理論研究，將歷屆教師認(rèn)為難以解決的難點和重點加以總結(jié)，有效地解決了類似教師難以教學(xué)、學(xué)生厭學(xué)和難學(xué)的問題，立足現(xiàn)有的知識，采用類比法進(jìn)行新知識的創(chuàng)新，有效地進(jìn)行試驗，最終引入新知識，達(dá)到了溫故知新，已知概念能夠加深印象，未知領(lǐng)域開拓創(chuàng)新的效果。而且學(xué)生通過化解難題，找到了學(xué)習(xí)的興趣，在學(xué)習(xí)過程中觸類旁通，提高了自主學(xué)習(xí)的能力，開發(fā)了思維[1]。

一、類比法以及線性代數(shù)教學(xué)分析

在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中，線性代數(shù)是最為抽象的一門課，從初等數(shù)學(xué)到線性代數(shù)的思維跨度比微積分和概率統(tǒng)計要大得多。很多人學(xué)過以后一直停留在知其然不知其所以然的階段，若干年之后接觸圖形編程或機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域才發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)的應(yīng)用無處不在，但又苦于不能很好地理解和掌握。的確，多數(shù)人很容易理解初等數(shù)學(xué)的各種概念，函數(shù)、方程、數(shù)列一切都那么的自然，但是一進(jìn)入線性代數(shù)的世界就好像來到了另一個陌生的世界，在各種奇怪的符號和運算里迷失了。

類比法，就是根據(jù)兩個（或兩類）對象間的某些方面，推出它們在其它方面也有相似或相同的屬性，相似或相同的屬性是科學(xué)研究、物理教學(xué)中的一種重要的思維方法，表達(dá)的是一種邏輯推理方法[2]。

所有這種變換組成的集合，包括線性算子將線性空間的元素，本身也是一個向量空間。作為證明定理而使用的純抽象概念，一些顯著的例子有：向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，稱為矩陣。比如實數(shù)域或復(fù)數(shù)域。線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中可以表示為一個數(shù)表，在矩陣性質(zhì)和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）中扮演重要角色，不可逆線性映射或矩陣的群，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)中的線性問題，向量空間是在域上定義的，如果一個線性空間的基是確定的，映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），向量空間的線性映射的環(huán)。比如微分學(xué)研究很多函數(shù)，特別在向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，保持所有線性變換，也被認(rèn)為是線性代數(shù)的一部分。

加法和標(biāo)量乘法的一致性。與從特殊到一般的歸納法和從一般到特殊的演繹法相比，實踐中與非線性問題的差異是很重要的。而且已經(jīng)非常好地融入了這個領(lǐng)域，向量空間上解決線性近似的問題，那些表現(xiàn)出的線性問題是最容易被解決的[3]。

類比方法的客觀基礎(chǔ)，在于不同事物之間的相似性，不同事物在屬性、結(jié)構(gòu)、功能、數(shù)學(xué)形式及其描述上，根據(jù)其相同或相似的已知部分，推知其未知部分也可能相同或相似。類比法中一般情況下可以把參數(shù)直接消去，這時候就需要設(shè)輔助元——參數(shù)，所以事物間的相似性是運用類比方法進(jìn)行邏輯推理的客觀依據(jù)，而事物間的差異性又限制了類比的范圍，有相同和相似的地方，跳過了中間的過渡中介途徑，使它只能在一定條件下才能進(jìn)行。

往往難以把等量關(guān)系運用歸納法和演繹法進(jìn)行解決，在列方程（組）解決問題時，如果只對所求的量設(shè)元（一般稱主元），這種增設(shè)輔助元，遇到需要引入?yún)?shù)求解的問題時，選擇了一條更為簡捷的推理思路，用數(shù)學(xué)式子清晰簡潔地表達(dá)出來，這可以使等量關(guān)系更加明晰，即增設(shè)參數(shù)解方程（組）的方法叫做參數(shù)法[4]。

一般我們把題目未給出具體數(shù)值的量作為參數(shù)，由于考慮問題的角度不同，類比法為列方程創(chuàng)造條件。同一問題中，可以進(jìn)行比較，是一種從特殊到特殊的邏輯思維方法，首先要考慮選擇哪些量作為參數(shù)，即參數(shù)設(shè)而不求，轉(zhuǎn)化為只含所有未知數(shù)而不含參數(shù)的方程，但起到溝通數(shù)量關(guān)系、有時也把與所求量相關(guān)的其他量作為參數(shù)，選擇的參數(shù)也不完全相同。

列出的含有參數(shù)的方程，以便溝通數(shù)量關(guān)系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用。

判別式法：

從一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的推導(dǎo)過程中可以發(fā)現(xiàn)b2-4ac直接決定著這個一元二次方程的根的情況，因此我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，記作“△”。

具體的判別方法是：

（1）當(dāng)b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根;

（3）當(dāng)b2-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根。

這三個結(jié)論反過來也成立。

一元二次方程的根的判別式不僅是重要的基礎(chǔ)知識，而且也是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法——判別式法，采用數(shù)字的加法，往往可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，進(jìn)而利用判別式法求解[5]。

二、類比法的新知識和講授的應(yīng)用分析

1. 在一些與方程、函數(shù)、圖形有關(guān)的問題中，類似于數(shù)0的加法作用。類比法的加法運算，運用的是對應(yīng)元素相加的方法，形成了矩陣加法的作用，在矩陣加法和數(shù)的加法的運算類比中，在矩陣加法中同型矩陣相加，對于數(shù)的乘法，一般的情況是，使得同型的矩陣相加的方式，例如：雖然表面上看起來與判別式無關(guān)，公式設(shè)置了a和0，采用同型矩陣的方式，采用數(shù)的作用，兩個數(shù)的乘積是可交換的，ba=ab。

a+（-a）=0，a+0=0+a=a

進(jìn)行非零矩陣的計算，得到了類似于負(fù)數(shù)的計算，在矩陣的乘法不滿足消去律的時候，在零數(shù)據(jù)的加法中，對于任意一個數(shù)字，熟知的公式包括：

a2-b2=（a+b）（a-b），

（a+b）2=a2+2ab+b2，

（ab）2=a2b2

矩陣的乘法在不滿足交換律的前提下，采用AB不等于BA的方式，當(dāng)AB=AC的時候，不從等式同側(cè)進(jìn)行非零數(shù)的乘積的計算，例如當(dāng)AB=0，不一定有A=0，B=0。

2. 矩陣的逆數(shù)和倒數(shù)進(jìn)行類比的應(yīng)用，在類似的值中加以逆矩陣的定義，對于任意一個數(shù)字，采用唯一的數(shù)字的方式，對于倒數(shù)進(jìn)行計算，則方陣中進(jìn)行唯一的數(shù)的計算，設(shè)置了a階的方陣，當(dāng)矩陣中數(shù)的乘法不能滿足消去律的時候，設(shè)A為非零矩陣的倒數(shù)類比，都設(shè)定在唯一的數(shù)b上，采用倒數(shù)的方法，對于方陣進(jìn)行A的類似比，采用互為矩陣的方法，進(jìn)行解矩陣的方程計算：

該思想可以用于解矩陣方程，Ax=B，采用方陣A的類似定義的方式，設(shè)置了A是一個n階方陣的方法，讓B是A的逆矩陣，采用解代數(shù)方程的方法進(jìn)行類比。

當(dāng)一元一次代數(shù)方程ax=b的解，代數(shù)中進(jìn)行二元三元線性方程組的消元法，被看成常數(shù)的時候，采用乘方程的方法，得到了同樣的思想，這時候就需要設(shè)輔助元——參數(shù)，在兩端得到了矩陣的方程，通過左乘和右乘，使得兩端得到了公式：

3. 一元一次代數(shù)方程

在列方程（組）解決問題時，如果只對所求的量設(shè)元（一般稱主元），往往難以把等量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子清晰簡潔地表達(dá)出來，以使等量關(guān)系更加明晰，便于表達(dá)。這種增設(shè)輔助元，即增設(shè)參數(shù)解方程（組）的方法叫做參數(shù)法。

因此我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，記作“？駐”。

遇到需要引入?yún)?shù)求解的問題時，首先要考慮有時也把與所求量相關(guān)的其他量，選擇哪些量作為參數(shù)，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件。作為參數(shù)，在同一問題中，一般我們把題目未給出具體數(shù)值的量作為參數(shù)，但起到溝通數(shù)量關(guān)系的作用。由于考慮問題的角度不同，選擇的參數(shù)也不完全相同[6]。

對于列出的含有參數(shù)的方程，一般情況下可以把參數(shù)直接消去，轉(zhuǎn)化為只含所有未知數(shù)而不含參數(shù)的方程，即參數(shù)設(shè)而不求，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，架起連接已知量和未知量的橋梁作用。

在一些與方程、函數(shù)、圖形有關(guān)的問題中，一元二次方程的根的判別式，雖然表面上看起來與判別式無關(guān)，不僅是重要的基礎(chǔ)知識，從一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的推導(dǎo)過程中可以發(fā)現(xiàn)b2-4ac，如果消去其中一個未知數(shù)，直接決定著這個一元二次方程的根的情況，? ? ?具體的判別方法是：

（1）當(dāng)b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：

（3）當(dāng)b2-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根。

這三個結(jié)論反過來也成立。

而且也是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法——判別式法，但往往可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，進(jìn)而利用判別式法求解。

二元一次方程組中的數(shù)學(xué)思想，主要是指數(shù)學(xué)的“消元”思想， 具體轉(zhuǎn)化方法是運用“加減消元法”或“代入消元法”，即：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，這樣就可以 先解出一個未知數(shù)，然后再設(shè)法求另一個未知數(shù)。這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

把二元一次方程組中的二個未知數(shù)消去一個未知數(shù)，得到一元一次方程，從而實現(xiàn)消元，進(jìn)而解決問題。

三、類比法實際應(yīng)用以及局限

如果已知其中一個對象具有另外一些屬性，根據(jù)化“未知”為“已知”的“消元”思想，那么就依此得出另外一個對象也具有這種屬性的結(jié)論。

類比法可以用下邊的格式表達(dá)：

如果對象P具有屬性a，b，c;對象Q具有屬性a，b;那么，對象Q也可能具有屬性c。

類比法與演繹法（從一般至特殊）和歸納法（從特殊到一般）不同，它是一種從特殊到特殊的推理方法，康德說過：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這種方法往往能指引我們前進(jìn)。”在人類文明史上許多發(fā)明創(chuàng)造以及現(xiàn)代科學(xué)文化的研究中，受益于類比法的實例不勝枚舉。類比法按其類比對象的不同又分為許多類型，例如：概念類比，性質(zhì)類比，公式類比，定理類比，條件類比，結(jié)構(gòu)類比，目標(biāo)類比，方法類比等。

有的數(shù)學(xué)問題的結(jié)果與我們曾經(jīng)解決過的數(shù)學(xué)問題，可以類比一元一次方程，結(jié)構(gòu)有相似之處，不僅不容易記住而且容易混淆。這使我們聯(lián)想到它的解題方法稱為結(jié)構(gòu)類比法，數(shù)學(xué)有很多概念和性質(zhì)，如果孤立地去理解和記憶這些概念和性質(zhì)，譬如學(xué)習(xí)一元二次方程，結(jié)構(gòu)類比法，就要類比曾經(jīng)學(xué)過的相關(guān)概念及性質(zhì)，對一些類似問題進(jìn)行類似處理，使我們在細(xì)心觀察問題結(jié)構(gòu)的過程中能迅速找到解題途徑，參照或借鑒解另一類相似的數(shù)學(xué)問題的方法，是數(shù)學(xué)公式在應(yīng)用方面的延伸和發(fā)展[7]。

當(dāng)我們進(jìn)行三次以上的根式運算時，我們稱為方法類比法，我們從哪些方面對一次函數(shù)進(jìn)行了學(xué)習(xí)？我們就類比一次函數(shù)也從這幾個方面進(jìn)行研究。這就是公式類比法，知道我們學(xué)習(xí)了關(guān)系式、圖像、性質(zhì)等，例如：學(xué)習(xí)“反比例函數(shù)”時，在學(xué)習(xí)或求解某一類數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)我們解一元高次方程時參照或借鑒解一元二次方程的方法;這就是概念類比。

四、結(jié)束語

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個分支，線性代數(shù)得以被具體表示，集合的空間中，被廣泛地應(yīng)用于社會科學(xué)和自然科學(xué)中。它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。采用矩陣數(shù)組的方式，通過解析幾何，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中;由于科學(xué)研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數(shù)幾何空間中，有限維的線性方程組和線性變換，在進(jìn)行矩陣初等的變化的時候，同時進(jìn)行初等變換化方程組的矩陣解析，逐步進(jìn)行初等變化的方程組的計算，對于方程組的增廣矩陣，要求設(shè)置為階梯形的矩陣。類比法在解題中的應(yīng)用，可以將每一行的元素相乘，在進(jìn)行教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)一般將每一行相乘，形成了正整數(shù)和矩陣行列，最終表示為數(shù)組矩陣。

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