APOS理論下小學數(shù)學概念教學的實踐與思考

吳文卿

美國數(shù)學教育學家杜賓斯基在對皮亞杰關(guān)于數(shù)學學習過程中個體思維的“自反現(xiàn)象”理論進行拓展的基礎(chǔ)上建立APOS理論。該理論指出學習數(shù)學概念的過程要經(jīng)歷活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）等四個階段。我校數(shù)學科課題組在APOS理論指導下，以 “數(shù)與代數(shù)”的概念教學課例研究為切入點，圍繞“操作—過程—對象—圖式”四個階段探尋APOS理論指導下概念教學的教學策略與方法。

一、操作感知，以形助數(shù)

APOS理論當中的活動階段相當于對概念屬性的具體操作、觀察，呈現(xiàn)數(shù)學概念的具體實例階段。要讓學生親身體驗，感受直觀背景與概念之間的關(guān)系，因而提供的感性材料要符合學生的認知基礎(chǔ)和規(guī)律，設(shè)計操作活動的最終目的是指向概念內(nèi)在本質(zhì)的特點。借助 “幾何直觀”初步感知概念，起到以形助數(shù)的作用。如小數(shù)的初步認識，呈現(xiàn)以學生熟悉的日常事物和活動為場景，借助具體的量（米、分米、厘米、元、角、分）和幾何直觀圖（面積、數(shù)尺、數(shù)軸），動手分一分、涂一涂，從圖形中提取圖形所反映的信息，直觀地感悟到小數(shù)與十進分數(shù)之間的關(guān)系，初步認識小數(shù)。

二、多元表征，思維內(nèi)化

操作活動的目的是啟動學生思考，過程階段是對操作進行思考，思維經(jīng)歷了內(nèi)化和壓縮過程，在頭腦中對活動不斷重復地進行描述、反思，初步抽象出概念特有的性質(zhì)。對于一個重要概念的體會，不斷重復任何單一的表示對于發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)是不夠的，而且概念的建立單純依賴語言、符號的抽象描述恐怕不能達到預期的效果。有學者認為，要獲得概念真正意義上的理解，就要靈活地實現(xiàn)動作、現(xiàn)實情境、表象、口頭語言、符號等5種表征方式之間的轉(zhuǎn)化，促進概念的內(nèi)化。

三、問中思辨，深入本質(zhì)

數(shù)學課堂應該讓學生有思辨的能力，透過不同的例證，從不同的角度切入到同一個問題，運用所學的知識和經(jīng)驗解釋、分析、評估、推論、說明……從而透視知識的本質(zhì)。這要求教師在四個階段結(jié)合學生認知沖突點、理解的關(guān)鍵處和易錯易混處提出富有挑戰(zhàn)性、啟發(fā)性、探索性、層次性進行的問題，這些問題的解決需要學生整合、分析已有的知識經(jīng)驗，需要學生創(chuàng)造性地進行思考，作出判斷或評價。

如教學五年級上冊《用字母表示數(shù)（一）》結(jié)合具體情境安排了三次思辨：第一次是在同一事件中，兩位不確定年齡的老師到底用怎樣的字母表示呢？在思辨中感悟到同一事件，不同的字母表示不同的數(shù)，而且之間存在不確定的比較關(guān)系；第二次是首次嘗試了用字母表示數(shù)過渡到用字母式表示數(shù)，進行一次用字母式表示與用字母表示的思辨。體會兩者之間的區(qū)別，字母式既可表示數(shù)量，又可以表示數(shù)量間的關(guān)系，因此，在同一事件中兩個數(shù)若有聯(lián)系，盡量用字母式表示比較方便；第三次是變換表示方式，重復多次根據(jù)兩人之間的年齡關(guān)系式寫出對應的字母式，并對同一人不同的表達年齡字母式進行思辨，促使學生更靈活地理解函數(shù)思想和對應思想視角下的用字母式表示數(shù)的本質(zhì)。三次思辨問題情境，層層遞進修正學生的思考誤區(qū)，加深學生對用字母表示數(shù)的本質(zhì)進一步提煉和理解。

四、比中整合，歸納提升

對象階段，教師引導學生對概念的屬性進行整合提煉出概念的本質(zhì)屬性，從而得到概念的定義及符號表示。根據(jù)概念的形成規(guī)律，必須從大量的具體例子出發(fā)，觀察比較中歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性。因此教學中提供豐富的能充分顯示被引入概念的特征性質(zhì)的例證（正例），正確引導學生去進行觀察分析、橫向比較，這樣才能使學生從例證中排除非本質(zhì)屬性，歸納和概括出共同的本質(zhì)屬性，從而形成概念。

概念建構(gòu)基本完成后，教師要及時組織活動引導學生對概念定義中的關(guān)鍵詞語辨析，明晰概念的內(nèi)涵和外延。圖式階段，有意呈現(xiàn)對比練習，能進一步鞏固概念的理解，同時提升思維的視角。如《小數(shù)的性質(zhì)》鞏固提升環(huán)節(jié)，設(shè)計填空題“在數(shù)軸上的同一個點填寫對應的2個小數(shù)”，思考：0.1和0.10有什么相同和不同的地方？1和1.00呢？借助“數(shù)軸”這一直觀模型，數(shù)形結(jié)合，學生容易比較得出小數(shù)的大小相同，小數(shù)部分的位數(shù)不同，一個是一位小數(shù)，一個是兩位小數(shù)，意義不同，0.1表示1個十分之一，0.10表示10個百分之一。接著追問： 1還可以用什么小數(shù)表示？再次直觀感受小數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)，滲透“變”與“不變”的辯證思想，提升學生認知和思維的空間。

五、豐富意義，形成網(wǎng)絡(luò)

APOS理論主張數(shù)學概念與它的背景知識聯(lián)系起來，完善學生對概念的全面認識。這對我們的概念教學有重要的啟示，學完一類概念后，要進行知識串聯(lián)，把新概念納入某一部分的系統(tǒng)中去理解。這樣不僅使概念得到了鞏固，也有利于知識的遷移和應用。如教學二年級上冊《乘法的初步認識》，在“拓展深化，溝通聯(lián)系”這一環(huán)節(jié)，我設(shè)計了一組對比題組（如下圖），用圖形表征的形式引導學生直觀感受加法、減法、乘法概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。而且三種運算方法的對比呈現(xiàn)有利于學生在頭腦中建立起知識的網(wǎng)絡(luò)，有利于更好地形成概念的圖式，圖式還需要在后繼學習中不斷完善、強化和穩(wěn)固。

有些概念意義的豐富性是隨著年級而不斷增加的，教師不僅要重視學生第一次接觸此時意義的教學，還應關(guān)注隨后意義的不斷擴展。如分數(shù)的意義學習經(jīng)歷顯性的兩個階段，在第二階段教學中，教師要有意識地引導學生整理分數(shù)的多維度意義：整體的等分；兩個數(shù)相除的商；兩個數(shù)的比。數(shù)學知識總是一環(huán)扣緊一環(huán)形成知識鏈條的，理清概念后，揭示概念之間的聯(lián)系，最終形成綜合的心理圖式。學生利用圖式理解和記憶概念，比孤立理解單個概念，效果更理想，所學的概念要歸納整理才能系統(tǒng)鞏固。

APOS理論應用于概念教學，充分體現(xiàn)“做中學，做中思，做中悟”的原則，更能反映學生認知數(shù)學概念的思維過程。在教學中，教師通過觀察四個階段的學生學習狀態(tài)，及時調(diào)整教學策略和方法，促使學生真正地理解概念。

責任編輯 羅 峰