Copula相依序列與Copula自回歸模型探討

李述山

（山東科技大學 數學與系統科學學院，山東 青島 266590）

0 引言

時間序列分析在自然科學、管理科學和社會、經濟、金融等領域具有廣泛應用，針對平穩時間序列，經典的線性模型是自回歸滑動平均模型（ARMA），這些線性模型的最大優點是簡單并且只要不多的參數就能很好地擬合平穩時間序列。但是這些模型只能部分地利用時間序列不同期間的線性相關性信息，而不能利用非線性相關性信息，也無法解釋金融統計及一般經濟學中觀察到的“波動集聚性”、分布的“厚尾”等現象，不能刻畫條件異方差性，為此恩格爾等發展了條件異方差類模型[1]以解釋上述現象，然而，這些模型同樣無法充分地利用時間序列中蘊含的非線性相關信息。

Copula理論[2,3]在非線性相依性分析[4]、金融風險管理[5-7]、資產組合優化[8,9]、非線性回歸預測[10]等方面具有廣泛的應用。本文通過對嚴平穩序列有限維分布族的相關結構的研究提出了Copula相依序列的概念，對Copula相依序列的性質進行了探討，研究了Copula相依序列與嚴平穩序列之間的關系。針對Copula相依序列，以Copula與Pair-Copula為工具建立了一類新的非線性模型——Copula自回歸模型，該模型能夠更充分地利用序列中的非線性相關信息。探討了模型的參數估計方法、相依階數的確定方法，給出基于Copula自回歸模型的點預測、區間預測方法以及時變風險估計方法。并以實際算例說明Copula自回歸模型的有效性。

1 Copula相依序列及其性質

1.1 Copula相依序列的定義

首先由嚴平穩序列的定義及Copula理論可知引理1及引理2。

引理1：設{Xt，t∈N}為一嚴平穩序列，具有相同的一維分布密度 f(x)及一維分布函數F(x)，則：

（1）對任意正整數m，存在唯一的m+1元Copula函數 Cm，1（相應的 Copula密度函數為 cm，1），使得 (Xt-m，Xt-m+1，···，Xt)的聯合分布函數與聯合密度函數不依賴于t，分別為：

（2）對 任 意 正 整 數 k＜m ，Cm，1(1， ···1，u1，···，

（3）在 (Xt-m，···，Xt-1)=(x1，···，xm)條件下，Xt的條件密度函數不依賴于t，且為：

（4）在 (Xt-m，···，Xt-1)=(x1，···，xm)條件下，Xt-m-1的條件密度函數不依賴于t，且為：

引理2：設{Xt，t∈N}為一嚴平穩序列，具有相同的一維分布密度 f(x)及一維分布函數F(x)，則：

（1）對任意正整數m及l，存在唯一的m+1元Copula函數 Cm，-l（ cm，-l為相應的 Copula 密度函數）使得(Xt-m-l，Xt-m，Xt-m+1，···，Xt-1)的聯合分布函數與聯合密度函數不依賴于t，分別為：

（2）在 (Xt-m，···，Xt-1)=(x1，···，xm)條件下，Xt-m-l的條件密度函數不依賴于t，且為：

在時間序列的建模中，如何充分地利用時間序列以前（t-1及其以前）的信息對將來（t及以后）進行點預測、區間預測等統計推斷是建立時間序列模型的關鍵，如果在已知Xt的若干個滯后期的取值信息的條件下，Xt與其他滯后期無關，那么，這些滯后期包含了所有滯后期中包含的關于Xt的信息，從而利用這些滯后期的信息可以對Xt進行優良的統計推斷，為此本文提出如下Copula相依序列的概念。

定義1：設{Xt，t∈N}為一隨機序列，具有相同的一維分布密度 f(x)，若存在正整數k使得：

（1）對任意的 t＞k，t∈N ，(Xt-k，Xt-k+1，···，Xt)具有相同的Copula函數；

（2）在 (Xt-k+1，···，Xt-1)已知條件下，Xt與 Xt-k不條件獨立；

（3）對任意的 l＞0，在 (Xt-k，···，Xt-1)已知條件下，Xt與Xt-k-l條件獨立，

則稱{Xt，t∈N}為 k 階Copula相依序列（CDS（k）），正整數k稱為相依階數。所有k（k≥1）階Copula相依序列統稱為Copula相依序列（CDS）。

由定義1可以看出，若{Xt，t∈N}為 k階Copula相依序列（CDS），則有：

（4）對任意的 t＞k，t∈N ，(Xt-k，Xt-k+1，···，Xt)具有相同分布，且不依賴t；

（5）對任意的 l＞0，在 (Xt-k，···，Xt-1)已知條件下，Xt與 (Xt-k-1，···，Xt-k-l)條件獨立。

1.2 Copula相依序列的性質

由定義1、引理1、引理2及數學歸納法易知定理1及定理2。

定理1：若{Xt，t∈N}為嚴平穩隨機序列，且滿足定義1中的條件（2）及條件（3），則{Xt，t∈N}為 k階Copula相依序列。

定理2 ：{Xt，t∈N}為Copula相依序列，則{Xt，t∈N}為嚴平穩序列。

推論1：{Xt，t∈N}為Copula相依序列，引理1及引理2中的結論全部成立。

推論2 ：{Xt，t∈N}為 k階Copula相依序列，則對任意的l≥1，在 (Xt-k-l,···,Xt-k,···,Xt-1)=(y1,···,yl,x1,···,xk)條件下與 (Xt-k,···,Xt-1)=(x1,···,xk)條件下 Xt的條件密度函數相同且不依賴于 t，且為 gk，1(y|x1，x2，···，xk)。

推論3：{Xt，t∈N}為k階Copula相依序列，且二階矩存在，則在 (Xt-k，···，Xt-1)條件下 Xt的條件數學期望及條件方差分別為：

推論3表明，Copula相依序列可以刻畫分布的條件異方差性。

1.3 相依階數的確定

根據定義1，一個Copula相依序列為k階Copula相依序列的充要條件為:在 (Xt-k+1，···，Xt-1)已知條件下，Xt與 Xt-k不條件獨立，而對任意的 l＞0 ，在 (Xt-k，···，Xt-1)已知條件下，Xt與Xt-k-l條件獨立。要解決這一問題，首先要確定相應的聯合分布及條件分布，為此根據Pair-Copula理論給出引理3。

引理3：{Xt，t∈N}為 k 階Copula相依序列，具有相同的一維分布密度 f(x)及一維分布函數F(x)，{xt，t∈N}為序列的一個實現，記分別為在條件下(Xi，Xj)的條件Copula密度函數與條件Copula分布函數條件下 Xi的條件分布函數，則對任意的t＞k，t∈N 有：

（1）(Xt-k，Xt-k+1，···，Xt)的聯合分布不依賴 t，具有相同的Pair-Copula分解

其中等式右端的xk+1=y。

（2）對任意的 t，在 (Xt-k，···，Xt-1)=(x1，···，xk)條件下，Xt的條件密度函數不依賴t，且為：

（3）對任意的 t，在 (Xt-k，···，Xt-1)=(x1，···，xk)條件下，Xt-k-l的條件密度函數不依賴t，且為:

其中等式右端的xk+1=y。

引理4：(Xt-k，···，Xt-1)已知條件下 Xt與 Xt-k-l條件獨 立 的 充 要 條 件 為 Gk，1(Xt|Xt-k，···，Xt-1) 與Gk，-l(Xt-k-l|Xt-k，···，Xt-1) 獨立。其中 Gk，1與 Gk，-l分別為 gk，1與 gk，-l相應的條件分布函數，可由條件Copula公式獲得[3]。

因此階數是否為k的檢驗問題可以轉化為如下的假設H01與H02同時為真的檢驗問題：

H01∶ Gk-1，1(Xt|Xt-k+1， ···，Xt-1) 與 Gk-1，-1(Xt-k|Xt-k+1，···，Xt-1)不獨立；

H02∶ Gk，1(Xt|Xt-k，···，Xt-1) 與 Gk，-l(Xt-k-l|Xt-k，···，Xt-1)獨立，l≥1；

引理 5：設 (X，Y)為二維連續型隨機變量，(xi，yi)，i=1，2，···n 為樣本觀察值，記(yi-yj)，則在原假設“H0∶ X與Y獨立”成立時有：

由引理5，對于Copula相依序列{xt，t=1，2，···，T}，針對假設 H01的檢驗問題 ，可 以以 (Gk-1，1(xt|xt-k+1，···，xt-1)，Gk-1，-1(xt-k|xt-k+1，···，xt-1))，t=k+1，···，T 為樣本對其 進 行 檢 驗 ，而 以 (Gk，1(Xt|Xt-k， ···，Xt-1)，Gk，-l(Xt-k-l|Xt-k，···，Xt-1))，l≥1，t=k+l+1，···，T 為樣本對假設 H02進行檢驗。

2 Copula自回歸模型

2.1 Copula自回歸模型的建立

設 {Xt，t∈N}為 k 階 Copula相依序列（CDS（k）），{xt，t=1，2，···，T}是長度為 T 的時間，由定理2可知，在t-1及其以前的信息已知的條件下，xt僅與 xt-1···xt-k相關，而與 xt-k+1，xt-k+2···無關，因此，如果僅僅利用時間序列t-1及其以前的信息對序列t時刻的取值進行預測，那么通過建立以xt為因變量，以xt-1···xt-k為自變量的回歸模型就可以達到最優預測，相應的回歸函數：

其中 gk，1(xt|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)由式（9）給出。

于是建立如下k階自回歸模型：

由于回歸函數通過Copula理論獲得，故稱模型（13）為k階Copula自回歸模型（CAR(k)模型）。

2.2 參數估計

Copula自回歸模型（13）包括兩部分參數，一部分為相關結構參數，即Copula函數及條件Copula函數參數，另一部分為一維分布參數，因此，其參數估計可以借鑒Pair-Copula的參數估計方法，比如極大似然估計法、擬極大似然估計法、分步估計（IFM估計）、參數法以及半參數法等[1，2]。其中極大似然估計的似然函數為：

其中θ為式（2）涉及的所有參數組成的參數向量。

本文采用兩步法。第一步估計邊緣分布的參數；第二步確定相關的Copula參數，采用極大似然估計法，其似然函數為：

3 Copula自回歸模型的應用

3.1 基于Copula自回歸模型的點預測

由于點預測值為Copula自回歸模型相應的回歸函數，是分布 gk(xt|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)的數學期望，因此可采用數值積分法或隨機模擬法進行估計。本文借鑒文獻[10]的思想建立下列不用產生隨機數的隨機模擬法。

由于 xi，i=1，2，···，T 可以視為隨機變量 xt的樣本，由大數定律知在t時刻序列的預測值Eh(Xt|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)近似為：

3.2 基于Copula自回歸模型的區間預測

同結論 1，以 h(xj|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)，j=1，2，···，T為樣本，記mα2與m1-α/2分別為該組樣本的α 2與1-α/2樣本（下）分位數，則t(t＞k)時刻變量均值的置信度為1-α的區間預測近似為式（17），可以作為t(t＞k)時刻變量取值的置信度為1-α的近似置信區間。

3.3 基于Copula自回歸模型的時變VaR估計

若序列{Xt，t=1，2，···，T}為 k 階Copula相依序列，且在t時刻的值Xt表示某金融資產在t時刻的收益，則-Xt為對應的損失。可以以樣本 h(xj|xt-k，xt-k+1，···，xt-1)，j=1，2，···，T 的α（下）分位點mα作為t(t＞k)時刻變量均值的置信度為1-α的單側置信下限的估計，其負值-mα作為t(t＞k)時刻置信水平1-α下的時變風險價值VaRt(1-α)的估計。即：

4 實例

4.1 樣本選取

本例選取1996年1月2日至2016年6月15日共4955個交易日上證綜指的每日收盤數據 pt，t=0，1，···，4954 ，以對數收益率序列 xt=lnpt-lnpt-1，t=1，2， ···，4954為研究對象。數據處理采用Matlab軟件。

4.2 邊際分布的確定與參數估計

首先，由ADF檢驗法易知序列為平穩序列。

其次，經計算序列的偏度與峰度分別為-0.0453及7.6851，因此邊際分布為有偏的，且具有顯著的尖峰厚尾特征。鑒于帶位置參數及尺度參數的有偏t-分布與帶位置參數及尺度參數的有偏廣義誤差分布都能在一定程度上刻畫上述特征，因此本文采用這兩種分布的混合分布來擬合邊際分布。

采用EM算法進行估計得到：帶位置參數及尺度參數的有偏t-分布、帶位置參數及尺度參數的有偏廣義誤差分布的權重分別為0.5415與0.4585，兩個分布的分布參數分別為(0.0001,0.0070,4.1132,0.9591),(0.0001,0.0041,1.2487)。（注：第1、2、4分量分別為位置參數、尺度參數及偏度系數，第3分量為t-分布的自由度或廣義誤差分布參數）

4.3 相依階數的確定與Copula參數估計

4.3.1 Copula函數形式的確定

由于所涉及的變量間的非線性相關性較弱，而BB1 Copula[1]能夠較好地刻畫非對稱的尾部相關性，因此本文統一選用獨立Copula[1]與BB1 Copula[1]的混合Copula對涉及的Copula及條件Copula進行擬合。由于該混合Copula只能刻畫正相關性，因此采用結論2進行轉換，其參數估計采用EM算法。

結論2：CX，Y(u，v)=u-CX，-Y(u，1-v)，其中CX，Y(u，v)與CX，-Y(u，v)分別為(X，Y)與(X，-Y)的Copula函數。4.3.2 相依階數的確定及Copula參數估計

采用上文給出的方法，在檢驗水平0.05下，結合上文給出的參數估計方法確定相依階數為k=12，同時得到式（9）所涉及混合Copula的權重及BB1 Copula中參數，結果列于表1(為方便遞推，變量順序為(12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,13)。

表1 Copula參數估計表

4.4 點預測與區間預測

由于相依階數為12，故建立12階Copula自回歸模型（CAR(12)），采用式（16）對序列在時刻13及以后的點預測值，圖1給出了最后500個時刻點上預測值與實際值的散點圖。為了顯示點預測的效果，本文將點預測結果與12階平穩自回歸模型的點預測結果進行對比，比較指標為平均絕對誤差與最大絕對誤差，結果如表2所示。

圖1 預測值與實際值的散點圖

表2 基于Copula自回歸模型與基于平穩自回歸模型的點預測比較

由式（17）給出時刻13及以后的序列的置信度為95%區間估計與置信度為90%的區間估計，圖2給出了最后500個時刻點上95%區間估計曲線及序列值散點的圖形。

圖2 95%置信區間曲線圖及實際值的散點圖

同樣為了顯示點預測的效果，將所得區間估計結果與12階平穩自回歸相應結果進行對比，比較指標為置信區間的平均長度與序列值落入置信區間的比例，比較結果列于表3。

表3 基于Copula自回歸模型與基于平穩自回歸模型的區間估計比較

從表2與表3可以看出，基于Copula自回歸模型的點預測比平穩自回歸模型的點預測效果好，表現在平均絕對誤差小，最大絕對誤差基本相當；區間預測比平穩自回歸模型的區間預測顯著優，表現在置信度90%的平均預測區間長度顯著小，且預測區間包含實際值的頻率更接近置信水平，而置信度95%的平均預測區間長度雖然稍大，但預測區間包含實際值的頻率更接近置信水平。從圖1與圖2可以看出，基于Copula自回歸模型的點預測與區間預測顯示出了顯著的時變性。

4.5 時變VaR的估計與檢驗

由式（18）分別給出置信水平分別為0.99、0.975、0.95及0.90的時變VaR的估計，散點圖見下頁圖3。并采用Kupic檢驗法進行檢驗，表4列出了在4個置信水平下突破時變VaR的比率及Kupic檢驗統計量的值。

圖3 99%、97,5%、95%、90%的時變VaR曲線及實際損失的散點圖

表4 時變VaR估計及Kupic檢驗統計量值

從表4及圖3可以看出，VaR估計具有顯著的時變性，且在4種不同置信水平下的時變VaR估計的Kupic檢驗統計量值非常小，說明基于Copula自回歸模型的時變VaR估計具有很高的準確性，顯示了基于Copula自回歸模型的時變VaR估計方法的有效性。

5 結論

（1）本文通過對嚴平穩序列及其相依性質的研究提出了Copula相依序列（CDS）的概念，探討了Copula相依序列的部分性質以及與嚴平穩序列之間的關系；給出了Copula相依序列的條件分布，在此基礎上，給出了Copula相依序列相依階數的確定方法、條件均值及條件方差的表達式，說明了Copula相依序列具有一定的刻畫條件異方差性的能力。

（2）基于Copula相依序列建立了非線性自回歸模型——Copula自回歸模型(CAR)，給出了相應的參數估計方法。基于Copula自回歸模型，給出了一種不用產生隨機數的隨機模擬點預測方法、區間預測方法以及時變VaR的估計方法。

（3）采用1996年1月4日至2016年6月15日共4954個對數收益率數據構成的序列建立了Copula自回歸模型，進行了點預測、區間預測及時變VaR估計，實際計算結果說明了Copula自回歸模型及相關方法是有效的。并且通過采用更適合的邊際分布及更適合的混合Copula函數還可以提高預測及估計得精確度。

（4）Copula自回歸模型是平穩時間序列的一種特殊的非線性模型，模型通過變量與其若干個滯后期變量間的相關結構確定，構造簡單、直觀；Copula自回歸模型相比傳統的時間序列模型（線性及非線性模型），具有嚴格的理論依據，以Copula相依序列為理論基礎，能夠充分利用相關信息；但Copula自回歸模型需要較大的序列長度，且計算量大。

對于Copula自回歸模型尚有一些值得探討的問題：

（1）在理論上，任一個嚴平穩序列是否一定是一個Copula相依序列？或者是否任一嚴平穩序列可以由一個Copula相依序列進行近似？

（2）探索Copula相依序列相依階數的簡易判別方法；

（3）基于Copula回歸模型與Copula自回歸模型，解決其他問題，比如研究時間序列變量間的非線性因果關系等問題。