基于雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策方法

江登英，王亞雄，張徐軍

（武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430070）

0 引言

在群組決策問題中，Atanassov[1]對(duì)經(jīng)典的模糊集進(jìn)行發(fā)展與擴(kuò)展，提出了直覺模糊理論，由于直覺模糊集對(duì)模糊現(xiàn)象刻畫的同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，更加細(xì)膩地刻畫模糊性的本質(zhì)，因而得到了廣泛的應(yīng)用[2，3]。針對(duì)信息不完全條件下的直覺模糊群組決策問題，國內(nèi)外學(xué)者主要從屬性權(quán)重信息不完全和決策信息不完全兩方面進(jìn)行研究。在屬性權(quán)重信息不完全條件下：王堅(jiān)強(qiáng)、張忠[4]提出屬性權(quán)重不完全的直覺梯形模糊多準(zhǔn)則決策的最優(yōu)線性規(guī)劃方法；徐澤水[5]提出了一種先進(jìn)行局部優(yōu)化再組合賦權(quán)的兩階段決策方法等[6，7]。在決策信息不完全條件下：鞏在武[8]利用判斷矩陣的乘性一致性關(guān)系，給出了殘缺信息下直覺模糊群組判斷的最優(yōu)排序模型；Laarhoven和Pedrycz[9]給出了殘缺三角模糊判斷矩陣的最小二乘排序方法等[10，11]。由此可見，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)決策信息不完全和屬性權(quán)重不完全單方面的研究較多，但是對(duì)屬性權(quán)重信息和決策信息雙重不完全條件下的直覺模糊群決策方法研究較少。因此，本文結(jié)合前景理論、TOPSIS和灰色關(guān)聯(lián)分析法，提出一種能解決雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策問題的新方法。

1 相關(guān)概念和定義

1.1 直覺模糊理論

定義1[2，3]：設(shè)是一個(gè)論域。若 X 上兩個(gè) 映 射 μA∶X→[0 ， 1] 和 υA∶X→[0 ， 1] ，使 得 xi∈X|→ μA(xi)∈[0 ， 1] 和 xi∈X|→ υA(xi)∈[0 ， 1] ，則 記 為 A=可簡記為分別稱μA和υA為A隸屬度和非隸屬度。如果滿足條件0≤μA≤1,0≤υA≤1,0≤μA+υA≤1，則 μA和υA確定了論域X上的一個(gè)直覺模糊集（IFS）,其中πA(xi)=1-μA(xi)-υA(xi)為xi隸屬于A的猶豫度，也稱直覺模糊指數(shù)。

定義 2[12]：設(shè) a1= μa1，υa1和 a2= μa2，υa2是直覺模糊集A上的兩個(gè)直覺模糊數(shù)，則a1與a2之間的Hamming距離為：

1.2 殘缺直覺模糊決策矩陣和理想方案

現(xiàn)有m個(gè)非劣（或有效）方案xi(i = 1，2，...，m )組成的方案集X={x1，x2，...，xm} ，t個(gè)決策者（或?qū)＜遥〆l(l = 1，2，...，t)組成一個(gè)決策群體對(duì)每個(gè)方案關(guān)于n個(gè)屬性（或目標(biāo)）oj(j =1，2，...，n )進(jìn)行評(píng)價(jià)，記屬性集為O={o1，o2，...， on} ，假設(shè)決策者el對(duì)方案xi∈X關(guān)于屬性oj∈O的評(píng)價(jià)值可表示為直覺模糊數(shù)其中和分別表示決策者el對(duì)方案xi關(guān)于屬性oj所給定的滿意度（或隸屬度）、不滿意度（或非隸屬度），表示猶豫度。于是，決策者el對(duì)方案xi關(guān)于所有屬性的評(píng)價(jià)結(jié)果可以用向量表示為：

定義3：直覺模糊正理想方案x+和直覺模糊負(fù)理想方案x-，記為：

其中：

然而在實(shí)際問題中，有些決策者對(duì)于方案xi關(guān)于屬性oj的評(píng)價(jià)信息不能（或不愿意）給出，導(dǎo)致直覺模糊決策矩陣Rl出現(xiàn)殘缺，本文把信息有缺失的直覺模糊決策矩陣稱為殘缺直覺模糊決策矩陣，對(duì)于殘缺元素，記為×。例決策者el對(duì)方案x1關(guān)于屬性o2的評(píng)價(jià)信息不能給出，則=×，即：

1.3 前景理論

前景理論是從心理學(xué)角度詮釋影響人類行為決策的非理性因素，其認(rèn)為人們對(duì)待收益風(fēng)險(xiǎn)和損失風(fēng)險(xiǎn)的心理是不對(duì)稱的：面臨方案收益時(shí)，往往對(duì)風(fēng)險(xiǎn)回避；面臨方案損失時(shí)，則趨向于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)追求。

Kahneman和Tvsersky[13]的前景理論由決策權(quán)重函數(shù)和價(jià)值函數(shù)確定，即：

其中，g(p)為決策權(quán)重函數(shù)，h(x)為價(jià)值函數(shù)。

而Tvsersky等定義的價(jià)值函數(shù)為如下的冪函數(shù)：

其中，α為風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，β為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)，θ為收益與損失的敏感系數(shù)。

Tvsersky等定義的決策權(quán)重函數(shù)如下：

其中，p為判斷概率，γ為風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù)。

2 雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策方法

為了解決雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策問題，這里給出了一種基于前景理論的風(fēng)險(xiǎn)決策新方法，具體步驟如下：

2.1 建立正負(fù)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣

依據(jù)前景理論，本文采用TOPSIS思想，以正（負(fù)）理想方案為參考點(diǎn)來衡量決策的收益和損失。根據(jù)定義3可確定正理想方案x+和負(fù)理想方案x-，又由灰色關(guān)聯(lián)分析法可知，決策者el關(guān)于方案xi與正（負(fù)）理想方案x+，x-的關(guān)聯(lián)系數(shù)分別為：

則個(gè)體決策者el直覺模糊評(píng)價(jià)下的正負(fù)關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣可以表示為若直覺模糊決策矩陣出現(xiàn)殘缺，例 Rl，則

2.2 構(gòu)建正負(fù)前景價(jià)值矩陣

本文將前景價(jià)值函數(shù)代替灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)[14，15]，依據(jù)前景理論，若方案優(yōu)于負(fù)理想方案，則方案是收益的，人們常常回避風(fēng)險(xiǎn)。若方案xi劣于正理想解方案，則方案是損失的，人們常常追求風(fēng)險(xiǎn)。

在決策者el的直覺模糊評(píng)價(jià)下，方案xi的各準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的前景價(jià)值函數(shù)為：

根據(jù)Kahneman和Tversky[16]的試驗(yàn)測定，式中θ=2.25，α=β=0.88。決策專家el評(píng)價(jià)下的正負(fù)前景矩陣為如果直覺模糊決策矩陣出現(xiàn)殘缺，例Rl，則在后續(xù)計(jì)算中，將當(dāng)作0計(jì)算。

在決策者el的直覺模糊評(píng)價(jià)下，方案xi的各準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的決策權(quán)重函數(shù)為：

其中，根據(jù)Kahneman和Tversky[16]的試驗(yàn)測定，式中r+與r-分別取0.61和0.69。

2.3 構(gòu)建最大綜合前景值改進(jìn)模型

在決策者el評(píng)價(jià)下，若直覺模糊決策矩陣沒有殘缺元素，則方案xi的前景值為正前景值與負(fù)前景值之和：

但是在實(shí)際問題中，決策者el往往由于某些原因，對(duì)于方案xi在屬性oj下不愿意或者不能給出評(píng)價(jià)信息，導(dǎo)致直覺模糊決策矩陣出現(xiàn)殘缺，因此需要對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)[15]：

因每個(gè)方案xi的評(píng)價(jià)結(jié)果由專家組共同決策，故需對(duì)群體專家關(guān)于方案xi的前景值加以綜合，本文采用加權(quán)算術(shù)平均（WAA）算子[17]進(jìn)行信息集結(jié)，即得群決策下方案xi的綜合前景值模型如下：

依據(jù)方案綜合前景值越大越好，構(gòu)建所有方案綜合前景值最大的非線性改進(jìn)模型：

其中ωj是屬性oj對(duì)應(yīng)的權(quán)重，wl是決策者el對(duì)應(yīng)的權(quán)重，W*是最優(yōu)屬性權(quán)重向量，H是部分已知屬性權(quán)重組成的集合。利用MATLAB中的遺傳算法工具箱對(duì)優(yōu)化模型求解，由于遺傳算法每次測算的結(jié)果會(huì)有細(xì)微的差別，為了得到更加可靠的結(jié)果，本文選取100次測算結(jié)果中maxD最大值對(duì)應(yīng)的權(quán)重向量作為最優(yōu)屬性權(quán)重向量W*=( )ω1，ω2，...，ωn。

2.4 計(jì)算綜合前景值以及方案排序

將最優(yōu)屬性權(quán)重W*=(ω1，ω2，...，ωn)帶入公式(9)求得方案綜合前景值向量D=(D1，D2，...，Dm)'，根據(jù)各方案綜合前景值Di的大小將方案進(jìn)行排序。

3 算例分析

本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上提出了解決雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策問題的方法，適用性較廣，步驟也較為簡化。為了檢驗(yàn)本文所提出方法的可行性和有效性，下面通過算例分析，在屬性權(quán)重不完全條件下、決策信息不完全或者完全兩種情景下分別加以分析驗(yàn)證。

3.1 決策信息不完全

rl

ij5×5如下：

（1）確定正負(fù)理想方案如下：

根據(jù)公式(5)計(jì)算得到正負(fù)關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣如表1至表8所示。

表1 關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣η+1

表2 關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣η+2

表3 關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣η+3

表4 關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣η+4

表5 關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣η-1

表6 關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣η-2

表7 關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣η-3

表8 關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣η-4

（2）由公式(5)和公式(6)計(jì)算得到正負(fù)前景價(jià)值陣如表9至表16所示。

表9 前景價(jià)值矩陣H+1

表10 前景價(jià)值矩陣H+2

表11 前景價(jià)值矩陣H+3

表12 前景價(jià)值矩陣H+4

表13 前景價(jià)值矩陣H-1

表14 前景價(jià)值矩陣H-2

表15 前景價(jià)值矩陣H-3

表16 前景價(jià)值矩陣H-4

（3）根據(jù)公式(10)構(gòu)建最大綜合前景值模型，在測算過程中，將×看作0計(jì)算,即：

利用MATLAB中的遺傳算法工具箱對(duì)優(yōu)化模型求解，得到最優(yōu)的屬性權(quán)重向量W*=(0.1364，0.2000，0.1500，0.2003，0.3122)。

（4）將最優(yōu)權(quán)重向量帶入公式(9)，得到各方案最優(yōu)綜合前景值：

根據(jù)綜合前景值的大小對(duì)方案排序，可得決策結(jié)果為：x4＞x3＞x5＞x1＞x2。

3.2 決策信息完全

若對(duì)決策專家給出的決策信息完全信任，不刪除信息，采用本文方法得到的屬性權(quán)重向量W*=(0.1001，0.2000，0.1500，0.2000，0.3489)，帶入公式(9)得各方案最優(yōu)綜合前景值：

D=(-0.1163， -0.1411， -0.1253， -0.1001， -0.1250)'

根據(jù)綜合前景值的大小對(duì)方案排序，從而得到?jīng)Q策結(jié)果為：x4＞x1＞x5＞x3＞x2。

3.3 算例結(jié)果的對(duì)比分析

本文提出的方法與文獻(xiàn)[18，19]得到的決策結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表17所示。

表17 算例結(jié)果對(duì)比

根據(jù)表17，應(yīng)用本文提出的方法得到的決策結(jié)果與文獻(xiàn)[18，19]進(jìn)行對(duì)比分析如下：如果對(duì)于決策信息完全信任，則得到的排序結(jié)果完全一致；如果對(duì)于猶豫度的決策信息表示懷疑，則方案x1和x3位置互換，但是最優(yōu)方案仍然為x4，其他方案的排序也相同。由此可見，本文提出的方法和模型對(duì)于屬性權(quán)重和直覺模糊決策信息不完全條件下的群組決策問題，具有一定的研究意義。

4 結(jié)論

基于前景理論構(gòu)建最大綜合前景值非線性改進(jìn)模型，并將其運(yùn)用到雙重信息不完全的直覺模糊群決策問題中，通過算例的結(jié)果對(duì)比分析，得出采用本文提出的方法和模型解決屬性權(quán)重、直覺模糊決策信息不完全條件下的群組決策問題，具有理論上的可行性和應(yīng)用上的有效性。