面板數(shù)據(jù)分位數(shù)回歸模型的誘導(dǎo)光滑估計(jì)

袁曉惠，司 賀，王純杰

（長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)春 130012）

0 引言

作為一種穩(wěn)健性方法，分位數(shù)回歸由Koenker和Bassett(1978)[1]提出后，就得到國內(nèi)外統(tǒng)計(jì)學(xué)家廣泛的研究與應(yīng)用，取得了很多重要成果。Koenker(2005)[2]的專著詳盡地總結(jié)了近30年來分位數(shù)回歸相關(guān)的理論及研究結(jié)果。

面板數(shù)據(jù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中比較常見的一類數(shù)據(jù)，此數(shù)據(jù)既含有時(shí)間序列的信息又包括個(gè)體截面的信息。對(duì)面板數(shù)據(jù)的有效分析能為研究者提供更多的信息。Wooldridge[3]介紹了處理面板數(shù)據(jù)的一些經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法。

面板數(shù)據(jù)的分位數(shù)回歸方法的相關(guān)研究，近十年來成為國內(nèi)外一個(gè)研究熱點(diǎn)。對(duì)于固定效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型，羅幼喜和田茂再(2010)[4]通過模擬研究比較了三種分位數(shù)回歸估計(jì)方法，其中固定效應(yīng)變換分位回歸估計(jì)(FEQR)表現(xiàn)最好。Kato和Galvao(2012)[5]推導(dǎo)了固定效應(yīng)模型的分位數(shù)回歸估計(jì)漸近正態(tài)性質(zhì)。Galvao和Kato(2016)[6]基于核提出光滑的分位數(shù)回歸估計(jì)，并用核函數(shù)構(gòu)造回歸參數(shù)的漸近置信區(qū)間。核方法的估計(jì)效率依賴于窗寬的選擇，且一般需要假定數(shù)據(jù)獨(dú)立同分布，如果數(shù)據(jù)異質(zhì)性較強(qiáng)，估計(jì)的效率可能會(huì)較低。

Brown和Wang(2005)[7]提出誘導(dǎo)光滑(IS)方法來估計(jì)秩回歸參數(shù)及相應(yīng)的置信區(qū)間。Brown和Wang(2009)[8]運(yùn)用此方法構(gòu)造分位數(shù)回歸參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，相比于核光滑方法，誘導(dǎo)光滑方法不需要選擇窗寬，近幾年，此方法得到廣泛運(yùn)用。

本文針對(duì)固定效應(yīng)的分位數(shù)回歸模型，運(yùn)用誘導(dǎo)光滑的思想，構(gòu)造回歸參數(shù)的誘導(dǎo)光滑點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間估計(jì)。通過蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)和實(shí)例分析，說明新方法在回歸參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)中具有一定的優(yōu)勢(shì)。

1 面板數(shù)據(jù)分位數(shù)回歸模型

考慮含有個(gè)體固定效應(yīng)的分位數(shù)回歸模型:

其中：τ∈(0，1)是感興趣的分位數(shù)，其中 yit是響應(yīng)變量在截面i和時(shí)刻t時(shí)的觀測(cè)值，相應(yīng)的xit是 p維協(xié)向量，β0∈Rp是未知的參數(shù)向量，αi是個(gè)體i的個(gè)體效應(yīng)。

通過求解如下優(yōu)化問題可以求得αi和β0的估計(jì)：

其中 ρ()

u=u(τ-I(u≤0))。在實(shí)際問題中，往往 n比較大但T卻比較小，即對(duì)于每個(gè)個(gè)體而言，其觀測(cè)值并不多，要想利用這少量的個(gè)體觀測(cè)值去估計(jì)每個(gè)個(gè)體效應(yīng)αi并非易事，而且即使能夠得到參數(shù)估計(jì)，其估計(jì)的效率也比較低?？紤]到大多數(shù)的研究中，參數(shù)值β0才是人們的興趣所在，所以本文的重點(diǎn)將放在對(duì)β0的估計(jì)上。

β0的FEQR估計(jì)方法如下：然后基于考慮

最小化上述目標(biāo)函數(shù)得到β0的FEQR估計(jì)為：

相應(yīng)地，個(gè)體效應(yīng)的估計(jì)：

羅幼喜和田茂再(2010)[4]通過模擬比較了FEQR估計(jì)和另外兩種方法在有限樣本下的估計(jì)效率，F(xiàn)EQR估計(jì)表現(xiàn)較好。

2 誘導(dǎo)光滑估計(jì)及其算法

本文將誘導(dǎo)光滑思想[6]應(yīng)用于式(2)，首先構(gòu)造關(guān)于β的誘導(dǎo)光滑估計(jì)函數(shù)。

其中?()，Φ()分別為是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)。通過最小化(β)可得 β0的誘導(dǎo)光滑估計(jì)及相應(yīng)的個(gè)體效應(yīng)

在此方法中，Γ未知，首先令Γ=(nT)-1Ip，通過不斷迭代更新Γ。

令和

（2）在第k步迭代中，

（3）重復(fù)（2）直到 β(k+1)收斂于，(nT)Γ(k)收斂于ΣIS。

3 蒙特卡洛模擬

本文根據(jù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù)，用以比較誘導(dǎo)光滑估計(jì)和其他幾種估計(jì)在有限樣本下的表現(xiàn)。

設(shè)定的產(chǎn)生數(shù)據(jù)的模型如下：

誤差分布選擇有3種：①標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N( )0，1 ，②標(biāo)準(zhǔn)柯西分布C(0，1)，③自由度為3的T分布t(3)。真值β0=1,令 τ=0.3，0.5，0.7 及 n=10，T=30。在不同的誤差分布影響下計(jì)算β0的5種估計(jì)：

（1）忽略個(gè)體固定效應(yīng)，直接使用混合數(shù)據(jù)的最小二乘估計(jì)，記為L(zhǎng)S估計(jì)；

（2）忽略個(gè)體固定效應(yīng)，直接使用混合數(shù)據(jù)的分位回歸估計(jì)，記為QR估計(jì)；

（3）考慮個(gè)體固定效應(yīng)的最小二乘估計(jì)，記為FELS估計(jì)；

（4）考慮個(gè)體固定效應(yīng)的變換分位數(shù)回歸估計(jì)，記為FEQR估計(jì)；

（5）本文提出的考慮個(gè)體固定效應(yīng)的誘導(dǎo)光滑估計(jì)，記為FEIS估計(jì)。

首先從均方根誤差（RMSE）的角度來衡量β0的估計(jì)的好壞。

這里K是模擬重復(fù)次數(shù)，設(shè)定K=1000。RMSE越小，說明估計(jì)的效率越高，估計(jì)效果越好。表1列出了在不同的誤差分布及不同的分位數(shù)下，以上5個(gè)估計(jì)的RMSE。為了說明估計(jì)效果，每一行中，最小的RMSE用“*”標(biāo)出。

表1 在不同分位點(diǎn)不同誤差分布下β0的五種估計(jì)

從表1可以看出：

LS和QR的RMSE遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其余3種估計(jì)，說明在固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型中，忽略個(gè)體效應(yīng)，導(dǎo)致估計(jì)效率降低。在參數(shù)估計(jì)中應(yīng)該將個(gè)體效應(yīng)納入估計(jì)方法中。

當(dāng)誤差分布為正態(tài)分布時(shí)，F(xiàn)ELS估計(jì)的RMSE最小，而當(dāng)誤差分布為柯西分布和T分布時(shí)，F(xiàn)ELS的RMSE變得很大，尤其是柯西分布時(shí)，F(xiàn)ELS估計(jì)的RMSE是FEQR和FEIS的RMSE的幾十甚至上百倍。而在實(shí)際數(shù)據(jù)的分析過程中，誤差分布的識(shí)別一般比較困難，且不一定會(huì)是正態(tài)分布。FELS估計(jì)在穩(wěn)健性方面的表現(xiàn)呈現(xiàn)一定劣勢(shì)。

在3種誤差分布下，F(xiàn)EQR和FEIS估計(jì)的RMSE都非常小，說明這兩個(gè)估計(jì)對(duì)誤差分布的依賴較弱，具有穩(wěn)健性。

大多數(shù)情形下，F(xiàn)EIS的RMSE小于FEQR的RMSE，說明FEIS方法在有限樣本下的點(diǎn)估計(jì)具有一定的優(yōu)勢(shì)。

表2 β0的FEIS估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差95%的置信區(qū)間的覆蓋率

表2列出了FEIS估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差SD和估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差的平均SE以及95%的置信區(qū)間的覆蓋率。

正如表2所示，F(xiàn)EIS估計(jì)的SD和SE比較接近，且基于估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差而構(gòu)造的置信水平為95%的置信區(qū)間的覆蓋率基本接近95%，說明FEIS方法置信區(qū)間估計(jì)表現(xiàn)較好。

4 實(shí)證

本文通過一個(gè)真實(shí)的數(shù)據(jù)來展現(xiàn)FEIS方法在實(shí)際運(yùn)用中的表現(xiàn)。數(shù)據(jù)來源于《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》。包含華北地區(qū)5省市，東北地區(qū)3省，華東地區(qū)7省市，中南地區(qū)6省從1996—2013年的城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年消費(fèi)性支出和城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭可支配收入的數(shù)據(jù)。目標(biāo)是探索居民消費(fèi)和收入之間的關(guān)系。

本文采用1978年全國年度消費(fèi)物價(jià)指數(shù)CPI對(duì)變量進(jìn)行平減，平減后的變量作為本文分析的對(duì)象。

表3 回歸結(jié)果比較

表3列出了上文中的5個(gè)估計(jì)的參數(shù)估計(jì)值(τ=0.5)。LS和QR的估計(jì)值較大，而考慮個(gè)體固定效應(yīng)的其他3個(gè)估計(jì)比較接近。

圖1 三種方法的回歸結(jié)果

圖1畫出了FELS和FEQR、QR在不同分位點(diǎn)的估計(jì)值。QR估計(jì)波動(dòng)性較大，F(xiàn)ELS和FEQR估計(jì)值很接近。說明FELS的估計(jì)比較穩(wěn)定，而FELS可以同時(shí)得到區(qū)間估計(jì)，可以得到更可靠的信息，具有一定優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)論

本文提出了面板數(shù)據(jù)分位數(shù)回歸的誘導(dǎo)光滑估計(jì)方法，可以在識(shí)別參數(shù)估計(jì)中同時(shí)得到參數(shù)點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，給實(shí)際工作者提高具有更可靠的信息。接著本文給出估計(jì)的簡(jiǎn)單且有效的算法，通過很少的迭代數(shù)就可得到收斂的參數(shù)估計(jì)。蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)表明本文所提方法在小樣本下表現(xiàn)出色。實(shí)例分析說明此方法操作簡(jiǎn)單，估計(jì)效果穩(wěn)定，具有實(shí)用價(jià)值，總體來說，誘導(dǎo)光滑估計(jì)方法在面板數(shù)據(jù)分位數(shù)回歸模型的參數(shù)估計(jì)中，具有一定的競(jìng)爭(zhēng)力。