加權平方損失下一類正態均值矩陣的估計

劉 薇

（湖南財政經濟學院 數學與統計學院，長沙 414205）

1 問題的提出

假設：

其中X和S是獨立的，Θ是m×p階的未知正態均值矩陣，C是已知的m階正定矩陣，Σ是p階的未知協方差陣，Wp(Σ，k)表示自由度為k，均值為kΣ且維數為 p的Wishart分布，符號?表示矩陣之間的Kronecker乘積，對于方陣A，A＞0表示A是正定矩陣，A≥0表示A是非負定矩陣。模型（1）可看做是MANOVA模型或者多元線性模型（見文獻[1,2]）。

基于(X，S)并假設Σ未知，本文將在加權損失函數（2）下考慮均值矩陣Θ的估計問題，并把相關結果應用到改進協方差的估計問題中去。顯然，模型（1）中參數矩陣Θ的最大似然估計是ML=X。對于Θ的一個估計，如果 RW(，Θ)≤RW(ML，Θ)，稱是最小最大估計。事實上，許多文獻考慮了模型（1）中的Θ的估計問題。比如：文獻[3]考慮了m=1，Q=Im且Σ已知的情形；在Σ未知的情況下，文獻[4]處理了m=1，Q=Im的情形；文獻[5]研究了 p=1，Q=Im且 Σ=σ2（σ2未知）的情形；在 Σ 未知的情況下，文獻[1]考慮了m＞p+1，Q=Im情形，上述文獻都假設權重Q為單位陣。據本文所知，除了文獻[6，7]幾乎沒有相關文獻處理Q≠Im情形，然而，權重Q的引入不僅推廣了已有的結果，更為重要的是它揭示了均值矩陣估計與協方差陣估計之間的本質關系。文獻[8，9]指出了這種關系但他們并沒有作進一步的研究。而文獻[6]研究了這個問題，但是文獻[6]利用正態分布和Wishart的性質僅考慮了Q為對角陣且假定C=Im，本文的主要目的是考慮更為一般的權重Q和矩陣C，進而進一步推廣已有的結果。

2 風險的無偏估計和Efron-Morris估計

在模型（1）下，考慮如下的Efron-Morris估計[9]：

當 Q=C=Im時，在損失（2）下，文獻[2,9]獲得了α的最優解為：

當 C=Im,Q∶=W=diag(w1，…，wm)時，文獻[6]考慮了m＞p+1情形下的Efron-Morris估計，并導出了α的最優解，即：

本文只要求在C＞0，Q≥0的假設下，考慮m＞p+1情形下的Efron-Morris估計。不同于文獻[6]，本文利用風險的無偏估計來研究Efron-Morris估計（4）。注意到當C≠Im,Q≠Im時，本文在統一的框架下獲得EM風險的無偏估計是困難的（見文獻[9]）。因此，本文需要導出更為廣義的EM風險的無偏估計，并利用它們分別去獲得Efron-Morris估計為最小最大估計所需要的條件。

為方便，當 m＞p+1時，把Efron-Morris估計（4）記為：

其中 G1=-αX(X′X)-1S 。顯然，在加權損失（2）下，的風險函數可表示為：

不同于文獻[6]，本文將使用式（10）去導出m＞p+1情形下的Efron-Morris估計為最小最大估計的條件。為了獲得這個條件，本文還需如下的引理。

引理1：設對稱矩陣 A1，B1，C1∈Rn×n的特征根分別為a1≥…≥an，b1≥…≥bn和c1≥…≥cn，則：

（1）若 A1≥0，B1≥0，C1≥0 ，有：

若 A1＞0，B1＞0，C1＞0，有：

anbntr(C1)≤tr(A1B1C1)≤a1b1tr(C1)

證：對于（1）的證明見文獻[10]中的定理3，而（2）中右邊的不等式可由（1）直接獲得。因此，本文只需證明（2）中左邊不等式。由文獻[11]中引理1和矩陣同時對角化相關知識，存在一個正定陣B0，使：

而由文獻[12]知，A1B0C1的特征根都是正數，從而引理1成立。

引理2：對于任意可逆的對稱矩陣S=(sij)，本文有：

這里ei表示第i個元素是1其余元素為0的列向量。

證：見文獻[13]中的引理3.2。

定理1：對于模型（1）和損失（2），如果滿足：

證：由：

知：

因而，本文有：

另一方面，根據引理2，可得：

注意到 X(X′X)-1G′1是對稱陣，因而易知：

且有：

由上述推導可知，無偏風險（12）可簡化為：

因此：

從而定理2.1成立。

注意到 X(X′X)-1X′是對稱冪等陣，并結合引理1中的（1），有：

3 討論

本文在加權平方損失下考慮了一類正態均值矩陣的估計。在適當條件下，證明了這個新估計是極小極大的，本文新估計推廣了已有文獻中的結果。值得說明的是，本文僅考慮m＞p+1情形下估計的改良問題，下一步打算在更廣義的設置下研究p＞m+1情形下相應估計的改良問題。