基于改進灰色GM(1,1)模型的GDP預測實證

田梓辰，劉 淼

（伊犁師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 伊寧 835000）

GDP預測的方法有很多，GM（1,1）預測模型[1]就是其中最常見的一種。經(jīng)典的GM（1,1）預測公式是在數(shù)據(jù)較少、信息缺失的條件下利用相關(guān)數(shù)據(jù)生成規(guī)律預測事物的未來發(fā)展趨勢[2]。但是，它也存在局限性[3]，本文利用改進的拉格朗日插值方法，通過對GM（1,1）模型的背景值進行重構(gòu)，來消除傳統(tǒng)拉格朗日插值帶來的龍格現(xiàn)象[4]，進而達到對新疆GDP的精準預測。

1 理論依據(jù)

1.1 傳統(tǒng)灰色預測GM（1,1）模型[5]

其中：

還原值為：

其中 k=1，2，…，n-1。

傳統(tǒng)模型中利用緊鄰均值構(gòu)造背景值（即z(1)(k+采用直邊梯形面積S(k·x(1)(k)·x(1)(k +1)·(k +1))代替指數(shù)曲線x(1)(t)為曲邊的梯形面積，如圖1所示，該方法具有一定的缺陷，隨著指數(shù)的增加，數(shù)據(jù)序列的變化加劇，預測結(jié)果會出現(xiàn)較大的偏差（出現(xiàn)ΔS）[2]。在一定程度上影響了模型的適用性。

圖1 灰色預測GM（1,1）模型預測偏差示意圖

1.2 插值模型的構(gòu)造

為了克服傳統(tǒng)灰色預測模型的不足，本文采用插值優(yōu)化法構(gòu)造全新的背景值[6-9]，利用數(shù)值逼近思想，結(jié)合插值算法解決這個問題，達到降低偏差、提高預測精度的目的。

具體步驟如下：

即：

也就是：

由背景值：

下面對背景值z(1)(k +1)作數(shù)值處理。

1.2.1 拉格朗日插值

算法步驟如下：

（1）以k，k+1，k+2三個點作為插值節(jié)點，則 x(1)(t)的拉格朗日插值多項式pk(t)為：

（2）由辛普森公式得新的背景值：

上式采用的拉格朗日插值得到的GM（1,1）模型的新背景值，將新的背景值帶入經(jīng)典GM(1,1)模型中即可得到改進的預測模型。

1.2.2 組合拉格朗日插值

由于朗格朗日插值會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象使預測出現(xiàn)偏差，為避免龍格現(xiàn)象的發(fā)生，對朗格朗日插值進行改進，具體步驟如下：

（1）對 區(qū) 間 [k ， k+1]三 等 分 ，得 節(jié) 點

則此時：

由上式可得：

（3）求區(qū)間[k ， k+1]上的分段插值函數(shù)：

將（2）的結(jié)論帶入上式得到優(yōu)化的背景值：

上式采用的拉格朗日插值得到的GM（1,1）模型的新背景值，將新的背景值帶入經(jīng)典GM(1,1)模型中即可得到改進的預測模型。

2 應用

以新疆2006—2015年GDP歷史數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，用2006—2013年新疆GDP水平做出預測模型，檢驗2014年、2015年新疆GDP水平，從而預測未來三年新疆GDP水平。采用上文所提出的組合插值模型與傳統(tǒng)GM（1,1）模型、拉格朗日插值模型進行預測比較，模型計算結(jié)果如表1所示。

表1 2006—2013年新疆GDP原始數(shù)據(jù) （單位：億元）

從表2可以看出，采用本文中提出的改進拉格朗日插值優(yōu)化背景值的方法進行預測，其平均相對誤差為8.40%，預測精度比傳統(tǒng)GM（1,1）與拉格朗日插值方法有所提高，證明了背景值的重構(gòu)嚴重影響數(shù)據(jù)預測的精度，同時也表明了本文提出方法的精確性與有效性。用上文方法，預測了未來三年新疆GDP，如下頁表3所示。

表2 2014年、2015年新疆GDP預測結(jié)果

表3 新疆GDP預測

基于表2，可以看出GM（1,1）預測的結(jié)果誤差較大，改進的拉格朗日插值預測方法誤差有所降低，因此這一方法可以有效地預測新疆未來三年的GDP情況。

從表1可以看出，近十年來新疆GDP呈上升趨勢，從2006年的3045.26億元到2015年的9324.80億元，增長幅度達到了三倍多，這一點與新疆的經(jīng)濟發(fā)展相符合。根據(jù)預測的新疆GDP結(jié)果可以看出，到2017年，新疆GDP將突破1萬億元，到2018年將達到13056.02億元，新疆可以根據(jù)預測結(jié)果做出充分的經(jīng)濟決策。

3 結(jié)束語

本文通過構(gòu)建改進的拉格朗日插值灰色預測模型，預測新疆2016—2018年GDP，經(jīng)過與其他兩種預測模型比較，可以看出本模型精度較高，能反應實際發(fā)展趨勢。本文的研究對新疆經(jīng)濟發(fā)展預測有一定的參考價值，有助于政府部門針對預測結(jié)果做出合理的經(jīng)濟決策。

灰色預測模型在適用條件上適合指數(shù)分布數(shù)據(jù)，本文給出的方法是在經(jīng)典GM(1,1)灰色預測模型的基礎(chǔ)上進行了背景值的重構(gòu)，在使用條件上依然遵循GM(1,1)模型規(guī)律，也就是說該模型對服從指數(shù)分布的數(shù)據(jù)具有較高的精確預測。

在數(shù)據(jù)處理的過程中，對于短周期內(nèi)變化較小的數(shù)據(jù)，經(jīng)典的GM(1,1)預測模型預測結(jié)果要比改進的拉格朗日插值預測效果明顯，所以針對不同的數(shù)據(jù)，要合理地選取預測模型進行數(shù)據(jù)處理.