方程應用題中尋找等量關系的呈現類型與應用

摘要：列方程解決實際問題是小學數學應用題教學的一個重要組成部分，尋找等量關系又是列方程解應用題的關鍵。因此，在教學中應根據應用題具體意義，方程結構，尋找合適的等量關系。本文基于方程應用題中尋找等量關系的呈現類型，進行適當地運用和拓展，巧妙應用，從而巧解方程應用題。

關鍵詞：方程應用題；等量關系；類型應用

一、 根據數量關系寫出等量關系

義務教育數學課程標準指出數學是研究數量關系和空間形式的科學，足見數量關系在小學階段的重要地位。蘇教版小學數學四年級對數量關系進行專門教學，內容主要有速度、時間、路程之間的關系，單價、數量、總價之間的關系，工作效率、工作時間和工作總量的關系等常見的數量關系。根據這些數量關系可直接寫出等量關系列出方程。

學校印制畫冊一共用去2240元，畫冊的印刷費是3.6元/本，其余費用是800元。學校印制了多少本畫冊？

結合題意我們知道學校印制畫冊分為兩種費用，一種是印刷費，另一種是其余費用，同時一共用去2240元，引導學生找出等量關系：印刷費+其余費用=一共費用。繼續可以把3.6元/本看作單價，設學校印制了x本畫冊看作數量，根據數量關系單價×數量=總價，得出印刷費是3.6x元。所以方程是3.6x+800=2240。

基于題型教師引導學生找出題目中的主體等量關系，巧用個體數量關系架構出方程，從而完成解題，達到思維的全面構架和提升。

二、 借助幾何圖形顯示等量關系

借助幾何可以把復雜的數學問題變得簡明、形象、直觀，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用。借助幾何圖形的對比思考出等量關系，快速準確的定位出對應的方程，從而提升解題能力和數學素養。

北京頤和園占地290公頃，其中水面面積大約是陸地面積的3倍。頤和園的陸地和水面面積大約各有多少公頃？

根據題意水面面積是陸地面積的3倍，我們可以把陸地面積看作1份，水面面積就可以看作3份，頤和園占地290公頃，繼續分析后發現占地面積分為水面面積和陸地面積，所以我們可以根據題意和理解畫出線段圖后找出等量關系。

用方程解決實際問題時，不必操之過急，可以根據題意整理出線段圖。水面面積是土地面積的3倍，可以設土地面積為x公頃，水面面積是3x公頃，再根據一共290公頃可以得到等量關系土地面積+水面面積=290公頃。

教學中采用畫線段圖來分析數量關系正是基于高年級學生“直觀形象”的學情特點而采取，特別是解決問題中的和倍問題和差倍問題更是可以利用線段圖或幾何圖形來思考問題，找出合適的等量關系。

三、 依據常用公式確立等量關系

小學階段，我們系統學習平面圖形的計算公式，三年級長方形和正方形面積和周長公式，五年級平行四邊形、三角形、梯形面積公式，同時五年級學習用字母表示數，學生可以根據圖形對應的字母公式進行有效地找出確實的等量關系。

三角形的面積是216平方厘米，底是24厘米。底邊上的高是多少厘米？

看到三角形的面積可以想到面積公式：底×高÷2=三角形面積，根據面積公式找出等量關系。設底邊上的高是x厘米，寫出方程24x÷2=216，從而求出底邊上的高的長度。

面積公式是小學階段學生經常接觸到的數學知識，學生可以根據公式的特點找出對應的等量關系，逐步的根據等量關系對應合適的方程，從而提高解決問題的實效性和針對性。

四、 抓住不變量揭示等量關系

列方程解應用題首先要讀，再想找出題目中的“不變量”看它與已知條件的等量關系列方程。不變量對于解決方程問題至關重要，是解決方程問題的金鑰匙，通過這把鑰匙可以開啟思考維度的門鎖，從而提升學生的理解力、思考力。

六（1）班同學合買一件禮物送給母校留作紀念。如果每人出6元，則多48元；如果每人出4.5元，則少27元。六（1）班有多少學生？

設立未知數是列方程的首要條件，設六（1）班有學生x人。找出適量的等量關系式是列方程的關鍵，本題中看似等量關系不明顯，但只要根據條件，細心分析一下就能看出，六（1）班學生買的是同一件物品，從而找出題中的不變量，同一件物品的價格是一定的。所以可以得出同一件物品用了兩種不同的分法，這樣在等量關系的兩邊都是這件物品的價格，然后列出方程。

教學不只是教知識，更重要的是培養學生的能力，教給學生學習的方法，尋找解答問題的竅門是獲取知識的途徑，類如抓住不變量尋找等量關系的途徑，可以進行多次實驗教學的探究，再將其應用于教學之中，相信必能收到可喜的教學成果。

五、 辨析題中“關鍵詞”凸顯等量關系

在教學中，為了讓學生能夠掌握理解關鍵詞或句子的意思和能力，進而能夠分析理解題意，找出題中等量關系，針對實際情況進行專項基礎訓練很有必要，

獵豹是世界上跑得最快得動物，時速能達到110千米，比貓的最快時速的2倍還多20千米。貓的最快時速是多少千米？

根據題意“比貓的最快時速的2倍還多20千米”中的“比”可以看作“=”，可以把貓的時速×2+20作為等量關系的左邊，獵豹時速110千米作為等量關系的右邊，可以找出相應等量關系貓的時速×2+20=110。

在小學階段，常用的數學術語有“一共”“比……多”“比……少”“是……倍”“是”“為”，解題時，引導學生抓住這些數學術語來找等量關系。所以本題引導學生抓住其中的數學術語“比……多”，很容易發現本題的等量關系，有助于提升學生解決問題能力，從而達到數學知識與實際情境的融會貫通。

六、 利用生活經驗展現等量關系

實際問題中可以根據敘述事理的先后順序可以找出適合的等量關系，比如一輛公共汽車上原來有35人，到湖西車站下車x人，又上車y人。我們可以根據生活經驗得到答案就是用原來減去下車人數，再加上上車人數得到現在人數。所以利用生活經驗展現等量關系確實是解決問題的有效手段。

小明原來有一些郵票，今年又收集了24枚，送給小軍30枚后，還剩52枚。小明原來有郵票多少枚？

根據題意我們可以利用生活經驗得到收集就是要加，送給就是減。所以得出小明原來的郵票數加收集的郵票數減送走的郵票數=剩下的郵票數的正確等量關系。所以生活經驗能夠幫助學生進一步找出實際問題中的等量關系，提升學生理解性學習的能力和素質。

一輛客車和一輛貨車同時從相距540千米的兩地出發，相向而行，經過3小時相遇。客車的速度是95千米/時，貨車的速度是多少？

相向而行的生活經驗告訴兩輛車從兩端往中間行駛，所以想到數量關系速度和×時間=路程。所以設貨車的速度是x千米/時，方程是（95+x）×3=540。

引導學生尋找等量關系是解決問題的關鍵，本文中涉及六種不同尋找等量關系的應用類型，主要增強學生解決問題的主動意識，教學中重視等量關系的分析和引導，是破解方程教學的重要方法。教師做好知識點內部結構溝通，提供有價值的數學學習。

參考文獻：

[1]林崇德.21世紀學生發展核心素養研究[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]何小亞.學生“數學素養”指標的理論分析[J].數學教育學報，2015（13-20）.

[3]黃友初.學校教育中數學素養教育的構建[J].教師教育研究，2016（86-90）.

[4]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準：2011年版[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[5]李雅芬.集體備課與教師的專業發展[J].教學與管理，2009（19）：39-41.

[6]張紅艷.如何引導小學生理解方程中的等量關系[J].當代教育理論與實踐，2016（4）：24-26.

[7]高展，王傳斌.方程應用題中等量關系的析取[J].連云港師范高等專科學校學報，2001（3）：59-61.

作者簡介：

佟學唬，江蘇省常州市，常州市新北區三井實驗小學。