例析如何巧求弦長

摘要：本文結合案例討論了如何巧求弦長，涉及“解析法”“幾何法”兩類數學方法，其中“解析法”又包含“普通式”“參數式”“極坐標式”三種公式；文章結合案例分別討論了應用每個公式的條件、方法及優點，突破了“弦長問題”的難點，解決了同學們在求弦長時存在的問題。

關鍵詞：弦長；條件；巧求

弦長是二次曲線與直線相交所得線段的長度，求弦長是近幾年高考課標卷的一個高頻考點。由于高中階段學生學習了不同形式的弦長公式，導致部分學生在求弦長時不能選擇合適的弦長公式，既浪費時間又影響答題的準確性。因此，如何依據條件選擇合適的弦長公式巧求弦長是學生需要探究的問題，下面筆者結合例1做簡單分析。

例1已知圓C方程為（x-4）2+（y-2）2=4，直線l方程為x-y=0，若圓C與直線l相交于A，B兩點，求|AB|的長。

一、 幾何法

分析：例1中曲線C為圓，直線l為普通式方程，可以用“幾何法”的弦長公式。

解：圓心（4，2）與直線l的距離d=|4-2|2=2，r=2，則|AB|=2r2-d2=22。

評析：由于例1中最特殊條件為曲線C為圓，而圓中的問題最簡潔的方法是“幾何法”，幾何法的關鍵是求弦心距。因此，從曲線C的角度考慮，解答例1的首選是“幾何法”。

二、 解析法（極坐標式）

分析：由于例1中曲線C可以當作普通曲線，而直線l過極點，可以用“解析法（極坐標式）”的弦長公式。

解：設A，B兩點的極坐標分別為ρ1，π4，ρ2，π4，直線l和曲線C的極坐標方程分別為θ=π4（ρ∈R），ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0（∈R），由ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0（ρ∈R）

θ=π4（ρ∈R）得ρ2-62ρ+16=0（ρ∈R），則ρ1+ρ2=62，ρ1ρ2=-16，因此，|AB|=（ρ1+ρ2）2-4ρ1ρ2=22。

評析：由于例1中直線l過極點，從直線l的角度考慮，用“解析法（普通式）”求弦長可以使計算變得簡單，如果曲線C不是圓，則用“解析法（極坐標式）”求弦長是最簡潔的方法。

三、 解析法（參數式）

分析：把例1中曲線C當作普通曲線，而直線l過（0，0），傾斜角為π4，其參數方程為x=22t

y=22t（t為參數），可以用“解析法（參數式）”的弦長公式。

解：設A，B兩點的參數分別為t1，t2，將直線的參數方程和曲線的普通方程聯立、消元得：t2-62t+16=0，則t1+t2=62，t1t2=-16，因此，|AB|=（t1+t2）2-4t1t2=22。

評析：解決例1最好的方法是“幾何法”，但如果例1中的曲線C不是圓，而直線l滿足x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（α為參數），則用“解析法（參數式）”的弦長公式較簡單。

四、 解析法（普通式）

分析：把例1中曲線C當作普通曲線，直線l當作普通直線，可以用“解析法（普通式）”的弦長公式。

解：設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），由（x-4）2+（y-2）2

x-y=0得x2-6x+8=0，則x1+x2=6，x1x2=-8，因此，|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=22。

評析：很顯然用“解析法（普通式）”的弦長公式解答例1是不可取的方法，但如果例1中的曲線C和直線l都不滿足特殊條件，則只能用“解析法（普通式）”的弦長公式。

以上結合例1分析了不同形式的弦長公式，比較各類公式的應用條件和優點，很顯然“幾何法”是解答例1最簡潔的方法。但同學們要未雨綢繆，在例1的基礎上，想到針對不同的條件該優先選擇何種形式的弦長公式。

參考文獻：

[1]李加發.一道關于求弦長習題的思考[J].考試周刊，2018（10）：73.

[2]劉大鳴.拋物線焦點弦長公式的探究及應用[J].高中生之友，2018（Z1）：47-48.

作者簡介：

馬國良，甘肅省武威市，甘肅省武威市天祝藏族自治縣第二中學。