數學解題教學的基本考慮

簡志洪

波利亞說：掌握數學意味著什么？就是“加強解題的訓練”。教師最重要的任務之一是幫助學生，對學生應當設身處地弄清他們正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟。 解一道題，就像建一所房子，必須選擇合適材料，但光有材料還不夠，一堆石頭畢竟還不是房子，要構造起房子，即構造出解，還要把收集到的各個部分組織在一起，使它們成為一個有意義的整體。那么，這種“把有關條款有目的地聯系起來”的活動，就是“組織”。容易看出，解題過程主要就是由動員和組織這樣兩種活動組成的。而解題教學中，解題是最基本的活動方式，教師要教會學生解題方法，提升其解題能力。下面結合本人多年的教學實踐，淺談在解題教學中提高學生解題能力的一些做法。

一、辨認與回憶

學習數學的過程中，所積累的知識經驗經過加工，會得到典型結構和重要類型，這就是模式，將其有意識記憶下來，并做有目的的簡單編碼，當遇到新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，便能通過聯想起已解決過的問題來解新的問題。

案例1. 在《多邊形的內角和定理與外角和（1）》學習多邊形內角和定理時，我是這樣設計題組讓學生自主探究的：

題組一：1. 三角形和四邊形的內角和分別為多少？四邊形內角和是如何探求的？（轉化為三角形）那么，五邊形內角和你會探索求嗎？六邊形、七邊形……n邊形內角和又是多少呢？2. 從四邊形內角和的探求方法，能給你什么啟發呢？（轉化為三角形內角和）五邊形內角和能否轉化為三角形求解？數目是多少？六邊形……n邊形呢？

題組二：1. 你能否用列表的方式給出多邊形內角和與它們邊數、分割的三角形的個數之間的關系？從中你能發現什么規律？猜一猜n邊形內角和有何結論？2. n邊形內角和=n×180°-360°，你能設計一個幾何圖形來解釋嗎？對于n邊形內角和=（n-1）180°-180°，又能作怎樣的幾何解釋呢？

以上在解題教學時，首先我指導學生辨認當前問題中所熟悉的特征或元素，其次指導學生回憶與這些特征或元素有關的定義、定理、概念和其他知識，回憶曾經解過的有相同或類似特征的問題、解決它的方法和所涉及的知識。在這里，我不斷提問學生：你以前見過嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否見過與此有關的問題呢？你有沒有具有相同未知量的問題，尤其是過去解過的題呢？這里有一個與當前問題有關且已解決的問題，你能利用它的結果或方法嗎？

二、充實與重置

在教學中，我常常通過典型題目及其變式將解題思維過程精心設計成一個符合學生認知特征特點的、帶有枝杈的思維過程，以利于學生認知的發展和知識的生成。當回憶出來的知識材料與問題之間找不到直接的聯系，就需要在它們之間牽線搭橋，引入輔助內容，以使問題更為完整明朗。這種解題思維活動就是“充實”。

案例2. 在《角平分線》學習中，我是這樣對典型題目分析和拓展的：

例：如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.

（1）已知CD=4 cm，求AC的長；（2）求證：AB=AC+CD.

之后我設計了兩道變式與拓展題：變式1：增設第3問：已知AC=4，求CD的長.變式2：已知：如上圖，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∠BAC的平分線交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E。若AB=18，求△BDE的周長。

三、分析與反思

解題心理規律告訴我們，解題者在解題決策過程中可能百思不得其解，多次受阻，此時的思維具有很大直覺性，可能顧及不到對自己思維過程的分析整理。所以，解題后要通過反省，對解題方法和解題反映出來的數學思想進行概括，教師可精心設計練習，引發學生對數學解題獲得規律性的深化理解。

例如《平行四邊形的判定》，學習完P144例2后引例后，我設計了一道這樣的題目：

案例3. 在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于O點，點E、F分別為AO、CO的中點，試說明：

（1）OE=OF；

（2）四邊形DEBF是平行四邊形。

（3）如果E、F點分別在AC的延長線上時（如圖2），且滿足AE=CF，上述結論仍然成立嗎？

小結：上述練習環節中，我在新舊方法的聯結點上巧妙設問，激發學生探索新方法的興趣和情感，追溯解題決策時的念頭及頓悟是怎樣產生的？問題解決中用到哪些數學方法，體現哪些數學思想？能否將這些方法用于其他問題的解決中去？從而發展學生的思維能力。

四、遷移與延伸

在教學中，往往出現學生當時聽懂了，但是課后解題，特別是遇到新題就無所適從，因此，我常常課本題后設計遷移性和延伸性習題，引導學生學會思考，積極探究數學問題，從問題中真正領悟解題方法。我認為，解題教學中，教師要主動創造條件培養學生的探索精神、求異思維和非常規想象等。

例如：在《有理數》課后布置這樣一道題目：案例5（七上改編）數學分類思想就是根據數學對象的本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想；分類的標準往往是根據不同的實際需要來確定。例如有理數的學習，我們把有理數分為：正有理數、負有理數、零。

（1）請你按照這一分類標準，把有理數-、+（-2）、5.2、|-8|、+25%、-（-）、-32、0、8、-5、-3.進行分類：正有理數：{ }；負有理數：{ }

（2）請你重新給定一個分類標準，并按照你所確定標準把問題（1）中有理數進行恰當的分類。

（3）你會“二十四點”游戲嗎？請你在（1）的有理數中選取其中四個，運用 “二十四點” 游戲規則，列出一個算式，并驗證其結果是否等于24。

因為在數學解題學習中，學生主要的任務并不是解題，而是學習解題，因此教師要關注學生的“學解”，“學解”最有效的方法是“在解題中學解題”，即在盡可能不提供現成結論的前提下，親身獨立地進行數學解題活動。這就要求教師在進行解題設計時，稚化自己的思維，有意識到與學生相仿的思維態勢，通過心理換位自我約束和監控，使教學設計中呈現的解題過程更具體、更完整，更貼近學生實際，這樣，通過解題教學才更有利于學生個體知識的建構與生成，把學習的數學知識轉化成學習數學的能力，從而提高解題能力，達到提高學習成績的效果。

責任編輯徐國堅