數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（盤錦市遼東灣實驗高級中學(xué)（遼寧省實驗中學(xué)遼東灣分校） 遼寧盤錦 124000）

一、數(shù)形結(jié)合在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1．利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)最值問題

函數(shù)的最值問題，一般情況是求某個代數(shù)式或者函數(shù)的最大值或者最小值。有些是利用函數(shù)的性質(zhì)解決，有些是利用不等式（均值不等式等）知識解決。針對比較復(fù)雜繁多的式子，通常采用結(jié)合其幾何意義來進行分析和解決。以下是利用數(shù)形結(jié)合思想來解決函數(shù)最值問題的幾個例子：[1]

（1）轉(zhuǎn)化為兩點間距離問題：

解析：觀察式子結(jié)構(gòu)，從純代數(shù)的角度出發(fā)，很難求解，這時就應(yīng)該考慮其幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為集合問題，巧用兩地那間距離公式，即轉(zhuǎn)化為：

令A(yù)（1，1），B（2，2），P（x，0），則問題轉(zhuǎn)化為在X軸上求一點P，使有最小值，由于AB在x軸同側(cè)，故取A關(guān)于x軸的對稱點C（1，-1），故最小值為點評：類似這種形式的函數(shù)求其最值，常采用這種找出對稱點，并利用兩點之間線段最短的形式來解。

（2）轉(zhuǎn)化為點到直線間距離問題：

（3）轉(zhuǎn)為直線斜率問題：

由圖可見，當(dāng)點A在第一象限，且與圓相切時，0A的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為：

總之，“數(shù)”和“形”的結(jié)合是依靠題目特征，即所包含的幾何意義而存在的。在做題的時候，首先要確定此題目是否具備應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的特征，如果通過對題目的觀察、分析之后確定了思想，那么其次就要考慮題目中的哪些數(shù)量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化成其幾何意義，找準(zhǔn)了幾何意義之后就可以借助圖形來解決問題了。[2]

2．利用數(shù)形結(jié)合思想解決線性規(guī)劃問題

相性規(guī)劃問題是完全應(yīng)用圖形進行解答的一種類型題目，每套高考題都會有填空題或者選擇題，已經(jīng)成為了高考的熱點題 ，如果學(xué)生可以準(zhǔn)確把握題目本質(zhì)，即可解答。

案例：

線性規(guī)劃這部分的題目類型分為三類，只要在直角坐標(biāo)系中根據(jù)其約束條件準(zhǔn)確的畫出可行域，再按照題目將代數(shù)式進行轉(zhuǎn)化，多數(shù)轉(zhuǎn)換成縱坐標(biāo)的最值或者斜率的最值或距離的平方等，然后再進行計算。

二、運用數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)注意的問題

1．教師在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)該注意的問題

（1）教師應(yīng)具備傳授學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想方法解題的教學(xué)意識

在明確教學(xué)目標(biāo)的前提下，對教材進行更加深入的鉆研。課前充分的準(zhǔn)備教案，并設(shè)想預(yù)期達到的效果。在授課的過程中，對每道例題都進行詳細的分析，并歸納總結(jié)出哪些題型可以運用數(shù)形結(jié)合思想，而且在講授的過程中重點提出，以便幫助學(xué)生理解、記憶。在課后，針對數(shù)形結(jié)合的題目要讓學(xué)生多做練習(xí)，鞏固對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識和掌握。

（2）教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生對“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化

在學(xué)生對此部分類型題有所了解的基礎(chǔ)上，教師在授課的過程中每當(dāng)遇到應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的題目就應(yīng)該給學(xué)生鞏固加強一遍，來加深學(xué)生的印象。這樣會讓學(xué)生達到一種看到題目就會猜想其是否可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來解答，達到一種條件發(fā)射，這樣才可以讓學(xué)生更好的運用數(shù)形結(jié)合思想。

（3）教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀思維

授課過程中，教師不要死板的告訴學(xué)生其解題方法，而是通過讓學(xué)生觀察、猜想、探討得出結(jié)論。這個過程可以讓學(xué)生自己創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，產(chǎn)生直觀的視覺效果，從而達到目的。

2．學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)該注意的問題

在運用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，我們發(fā)現(xiàn)主要以數(shù)軸和直角坐標(biāo)系為工具進行輔助解題。要想讓學(xué)生更好的運用數(shù)形結(jié)合思想大致可分為了解、理解、掌握、靈活運用等幾個步驟。在這個過程中對學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力要求較高，因為數(shù)形結(jié)合的類型題種類很多，這就要求學(xué)生要定期的對老師教授的方法進行歸納總結(jié)，而且課后要多加練習(xí)，鞏固知識內(nèi)容。在鞏固練習(xí)的過程中，有能力的同學(xué)盡量做到對題目進行變式，活稍微修改題目條件看能否繼續(xù)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解答，既培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力也增強了學(xué)生的創(chuàng)新意識。

總之，運用數(shù)形結(jié)合思想解題，對于學(xué)生來說不僅僅是完成一道問題，也會增強學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提高解題能力和創(chuàng)新能力。尤其對于剛剛走入新課改的我們，有效的利用數(shù)形結(jié)合思想可以將以往復(fù)雜的純代數(shù)進行轉(zhuǎn)化，以繁化簡，抽象變具體，在這個過程中讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的樂趣。