做題與變題
——教師自我提升的有力支撐

山東

尹承利

(作者單位：山東省泰安市泰安英雄山中學)

做題與變題
——教師自我提升的有力支撐

山東

尹承利

數學教師的成長和自我提升離不開題目，數學課堂教學需要題目，在題目的不斷變化中可以尋找到問題的真諦.在課堂上，教師對題目的講解如行云流水、得心應手，這凝聚了教師課下做題、變題的心血.教師通過做題和變題，可以體會問題的價值和意義，是自我提升教學境界的有力支撐.

一、做題

數學教師離不開做題，做題是數學教師的基本功.通過不斷地做題，能提升數學教師的思維品質，并能幫助教師在課堂上更好地教學，真正達到“要給學生一杯水，教師應有一桶水”的境界.那么，做什么題，做多少題，怎樣做題是有很大區別的.其實，教師應首先做透教材中的題目和高考真題.教材上的題目是編寫者配合基本知識精心編擬的問題，是學生進一步學習的基礎，許多題目也是后面解決問題的工具.不少教師對教材上的題目疏于研究，這是本末倒置的表現，是不可取的.高考真題具有很強的典型性和思維性，是命題者精心設計的問題，是對考試大綱的具體詮釋，對教師很好地把握教學、復習具有很強的指導意義和導向性，所以高考真題是教師必須做好、做透的好題目.當然，教師做題應倡導不急于看解析和答案，要在無解析、答案的狀態下思考分析，真正感受題目的本質、體會題目的難易程度，這樣做題將使教師最貼近學生的實際，能真正體會到學生做題的感受，對教學會有很大的幫助.

【規律分析】平面向量既反映了數量關系，又體現了幾何圖形的位置關系，從而將數和形有機地結合起來.向量有關問題的求解通常有兩種思路：一是“數化”，即利用平面向量的代數運算或坐標運算，把問題轉化為代數中的方程、不等式等問題；二是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面圖形的特征直接進行求解.

方法1.代數運算方法

平面向量的代數運算是指向量的線性運算(加法、減法和數乘，運算的結果還是向量)和向量的數量積運算(運算的結果是一個數量)，向量的代數運算是最常見、最基礎的運算，特別地，數量積運算是向量實數化的橋梁.

解法1:利用數量積運算

【點評】本解法從向量的模和夾角出發，巧妙地利用向量的數量積運算和三角恒等變換求解，很富有創意.

方法2.坐標運算方法

向量坐標法，即建立恰當的直角坐標系，將問題用坐標表示，通過向量的坐標運算，使問題簡單化，程序化，坐標法的優點是目標明確，思維難度小.

解法2:利用向量的坐標運算

如圖，以點O為坐標原點，以OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，

【點評】利用平面向量的坐標運算，我們可以把向量運算代數化.將數與形緊密結合起來，從而使許多問題轉化為我們熟知的數量運算，使問題得以簡化.本解法是通過建立平面直角坐標系，構設點的坐標后轉化為向量的坐標運算，利用向量相等轉化求解，體現了數學建模思想的運用.

方法3.幾何方法

幾何方法就是捕捉向量“形”的特征，挖掘圖形中的幾何性質，運用數形結合的思想方法解題.幾何方法往往能使難題變得簡單.

解法3:利用向量的運算法則

如圖，過C作OB的平行線交OA的延長線于A′，作OA的平行線交OB的延長線于B′.

【點評】本解法利用向量加法的平行四邊形法則，并結合三角形中的余弦定理，將問題幾何化，體現了數形結合思想的運用.

方法4.利用向量三點共線定理和等積法

由S△AOC′+S△BOC′=S△AOB，得

【點評】本解法巧妙地構造三點共線模型，并利用三角形的等面積法求解，思維獨特、匠心獨具，對拓展學生的解題思維頗有裨益.

模型提煉

這是一類高考中常出現的向量問題，相關的高考題還有：

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

【規律分析】解析幾何問題的本質是把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質，圖形問題代數化是解析幾何的本質.利用函數建模能為解答最值問題增添一抹亮色.解析幾何的關鍵在于找到最好的方法解決問題.借助數形結合，大膽運用平面幾何相應地性質，相比用固定解題程序，則能更快地找到簡捷的解題方法.即解析幾何問題要注重對問題本質的提煉，并與相關知識的聯系(如平面幾何、向量、函數、方程、不等式等)進行合理轉化，就會有精彩的解答.

方法1.解析法視角

(Ⅱ)聯立直線AP與BQ的方程

所以|PA||PQ|=-(k-1)(k+1)3.

【點評】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力，通過表示|PA|與|PQ|的長度，構造函數f(k)=-(k-1)(k+1)3求解|PA|·|PQ|的最大值.

方法2.幾何法視角

解法2：構建幾何模型，利用二次曲線的相切求解

(Ⅰ)略；

根據相交弦定理，得

根據圖形，當以C為圓心的圓與拋物線相切于點P時，|CP|取得最小值.

設直線l與以C為圓心的圓與拋物線相切于點P(t,t2).由y=x2，得y′=2x，切線l的斜率為2t.

【點評】本解法運用了平面幾何中圓的有關性質：直徑所對的圓周角為直角、圓中的相交弦定理等知識，數形結合優化思維、簡化計算；然后利用公切線解決二次曲線相切問題、因式分解等技巧.其中對于三次式的因式分解是需要認真領悟和掌握的.

解法3：構建幾何模型，構造函數利用導數求解

同解法2，得|PA|·|PQ|=2-|CP|2.

則f′(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2.

令f′(x)=0，得x=1.

【點評】本解法與解法2相近，在運用平面幾何中圓的有關性質的基礎上，通過構造函數，結合導數求得最值.

解法4：構建幾何模型，配方利用非正數的性質求解

【點評】本解法沒有像解法3那樣，得到關于x的四次函數式后，運用導數知識求解最值.而是運用常見的配方法解決了高次函數的最值問題.角度新穎，思維深刻，幾何背景搭臺，代數方法唱戲，實有創新.

方法3.向量法視角

解法5：構建向量模型，構造函數利用導數求解或配方利用非正數的性質求解

以下利用導數求最大值的過程同解法3或利用配方求最大值的過程同解法4.

方法4.參數法視角

解法6：構建參數方程模型，構造函數利用導數求解或配方利用非正數的性質求解

以下利用導數求最大值的過程同解法3或利用配方求最大值的過程同解法4.

【點評】此解法最為簡單，線段長度之積，考試時聯想到參數方程解答這道題會更簡潔利索些.

二、變題

教師自我發展的途徑可能有多條，其中對題目進行變式就是一條切實可行的途徑，經常想著如何將題目橫向、縱向拓展，以一當十、觸類旁通，可以有效地提高教學效率.那么，教師如何對典型題目進行變式呢？變題主要靠的是聯想，要浮想聯翩，思緒萬千，沿著蛛絲馬跡，尋芳采獵，刨根問底.試探、猜想、組拼、嫁接、改編、重塑、加工、修補、完善.也要勤閱讀，在閱讀中思考，不時會有靈感，隨時記錄，便可形成一些新題目.

提倡要在做題的基礎上變題，要想變式出上乘的好題，做題功夫至關重要.在做題中悟道，促發聯想，揣摩原編題者的意圖，設計變式措施，窺視各個題目的聯系，找出題根，實現遷移.要注重對題目多解、多思，引申拓寬，提綱挈領，居高臨下，橫聯縱串.記錄采摘，挖本質、掘內涵、勤思考，為題目的變式積累豐富資源.

解法1：

解法2：

【點評】三角函數的化簡、計算、證明等問題中三角恒等變換的基本思路是：一角二名三結構.即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心！二看函數名稱之間的關系，通常“切化弦”；第三觀察代數式的結構特點.本題的兩種解法，變角、變名和變式等常用的變換技巧都得到了體現和應用.

若結合應用二倍角公式改變所化簡的式子，可有如下變式：

【分析】先逆用二倍角的余弦公式，再應用誘導公式變角、變名后，即化為例題的形式.

【點評】本變式在例題的基礎上作了引申，逆用二倍角余弦公式和應用誘導公式化為例題求解的.

若改變化簡式子的形式，可有如下變式：

【分析】首先切化弦，變角、變名后利用二倍角正弦公式通分，再變角應用兩角和的正弦公式展開.也可以利用10°=60°-50°與兩角和的正切公式展開，再進行切化弦，最后統一角和函數即可.

解法1：

解法2：

【點評】與例題相比，本變式的變換更為多樣——解法1首先切化弦，變角、變名并應用二倍角正弦公式通分，拆角40°=30°+10°，應用兩角和的正弦公式展開即可；解法2“曲徑通幽 ”，首先變角10°=60°-50°，后利用兩角差的正切公式，再切化弦轉化到解法1的過程，雖然“繞道”，但也值得玩味.

若將所化簡的式子滲透參數，逆向求參，可有如下變式：

以下同變式3的解法3.

【點評】這兩個變式以考查學生能力立意為起點，改變了三角恒等變換的考查層次，把問題放在學生既熟悉、又陌生的環境中；它源于課本，又高于課本，難度遠遠高于課本，在問題的處理過程中，很好地利用了處理三角函數問題的基本思想方法.本變式的處理方法靈活多樣，是一道提升學生能力的好題.

若設計為探索性問題，可有如下變式：

【分析】在假設存在的前提下，按變式3的方法進行變換求解.

【點評】本變式設計為探索性問題，不落窠臼，使對三角恒等變換的知識、基礎和思維能力的考查更為深入，是一道精彩的變式題.

(作者單位：山東省泰安市泰安英雄山中學)