“將錯就錯” 物盡其用
——對一道課本習題的變式探究

安徽

陳曉明

(作者單位：安徽省宣城市寧國市寧國中學)

“將錯就錯” 物盡其用
——對一道課本習題的變式探究

安徽

陳曉明

在一堂習題課上，筆者在對一道習題進行變式時，一不小心將題目中一個條件寫錯，改變了筆者課前的預設，筆者沒有慌亂，沒有及時更正，而是“將錯就錯”，讓學生繼續探究，沒想到卻有了新的發現，得到更完美的結論，真是物盡其用.

題目(人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學必修2》第90頁習題3.1B組第6題)經過點P(0,-1)作直線l，若直線l與連接A(1,-2)，B(2,1)的線段總有公共點，找出直線l的傾斜角α與斜率k的取值范圍，并說明理由．

點評：這種解法很巧妙．從另外一個完全不同的視角來求斜率范圍．采取待定系數法，先設出直線方程，然后利用二元一次不等式與表示的平面區域的關系得到關于k的不等式，從而求出k的范圍．本解法充分利用了“A(1,-2)與B(2,1)總在直線MP的兩側”與“直線l與連接A(1,-2)，B(2,1)的線段總有公共點”之間的等價關系．學生很難想到這種方法，需要教師引導．同時，作為教師也要強調這種用不同表現形式表達同一個事物在數學中的重要性．

在講完這道課本題后，筆者在課前準備對這道題進行下面的變式．

變式1(預設)：將原題中A(1,-2)改為A(-3,2)，其余條件不變，求解問題不變．

可是，在課堂上發生了意外：筆者在對原課本題進行變式時一不小心錯將B點坐標改成了B(-3,2)，筆者當時沒有看出來，發現時本想再改過來，可學生已經在思考了，回頭一想，將錯就錯，就讓學生做一做，看看情況怎樣．

變式2(生成)：將B點坐標改為B(-3,2)，而其他條件不變，求解問題不變．

點評：學生經過計算直線AP,BP的斜率，發現kAP=kBP=1，于是A,B,P三點共線，如圖所示．經過點P(0,-1)作任意一條直線l，都與連接A(1,-2)，B(-3,2)的線段總有公共點，因此直線l的傾斜角α的取值范圍是[0，π)，除了直線l處于豎直位置時斜率不存在外，其余位置斜率k的取值范圍為R．

完成這個變式探究，學生們很是感慨，“數學使人周密”真是不假啊！

這時，筆者又接著補上了變式1．大家就覺得變式1很簡單了．

不知不覺課堂氣氛在探究中變得活躍起來，在教師的啟發下，有同學提出了一些新問題，也有同學反思總結出一些結論，甚至讓筆者也感到驚喜，受益匪淺，真是教學相長啊！

教師：對呀，同學們在課后可繼續探究，看看有什么異同，找找規律．

學生2(反思總結1)：直線l從一個位置轉到另一個位置的過程中，若只經過水平位置，則直線l的斜率k的取值范圍為一個整體區間，傾斜角α的取值范圍為兩部分的并集．若只經過豎直位置，則直線的斜率取值范圍是兩部分的并集(其中當直線處于豎直位置時斜率不存在)，而直線l的傾斜角α的取值范圍為一個整體區間．若既經過水平位置，又經過豎直位置，則斜率與傾斜角的取值范圍都為兩部分的并集.

教師：你總結得很好．

馬上有同學問道“若既不經過水平位置，又不經過豎直位置，則斜率與傾斜角取值范圍呢”？也很快有學生答上“都為一個整體區間”．

教師：不錯，各種情況都有了.

就在這時，班上有名的數學王子舉手了，“我有記住結論的好方法”．

教師：那你快說說看．

教師：太精辟了，多好的“取兩邊”，“取中間”，很好記住，能讓我們快速解題．在哪里我們還講過“取兩邊”，“取中間”啊？

學生很快想到了一元二次不等式的解集，知識之間的聯系真是奇妙啊！

教學感悟

(作者單位：安徽省宣城市寧國市寧國中學)