應用橋聯理論與有限元模型的航空復合材料結構失效分析

蘆冠達，黃爭鳴

同濟大學 航空與力學學院,上海 200092

復合材料因高比強度、高比模量、可設計性好等優點，在航空航天領域得到廣泛應用，其極限承載能力是工程設計人員最為關注的一項性能指標。Huang的橋聯模型[1-2]，僅需組份材料的性能參數，即可完成對復合材料彈塑性應力場的計算，而且所有公式皆為解析式，十分方便于工程應用。橋聯模型誕生不久，受邀參加了第一屆世界范圍破壞評估(WWFE-I)[3]，預報精度雖超過了其他參評的細觀力學理論，但總體評分上尚不如一些宏觀理論[4-5]。

近年，橋聯模型在復合材料破壞分析和強度預報方面取得重要進展，導出了添加纖維后基體中的各應力集中系數[6]，修正了層合板最終破壞判據[7]，完善了纖維和基體界面開裂后對材料承載能力的影響[8]，添加了層合板非致命破壞后的部分剛度衰減策略[9]。這些工作使橋聯理論預報WEEI-I的精度顯著提升，整體精度比賽會第一名Zinoviev理論的精度更高[10]，更重要的是，組分材料的輸入參數與其原始性能完全相同，無需由任何復合材料的實驗數據來反演確定輸入參數。除了組分材料的原始性能，僅需提供單向復合材料的橫向拉伸強度，以確定界面粘接強弱，這給實際應用帶來極大方便。

有限元(FE)數值模擬已成為工程結構尤其是復雜結構分析不可或缺的工具，在復合材料領域也如此。但目前的商用有限元軟件，主要只提供基于宏觀破壞判據的復合材料強度計算模塊，需要使用者提供眾多復合材料測試數據，這給用戶帶來很大不便。歐洲航天局在1992年開始開發ESAComp軟件，使用經典層合板理論計算各層應力值，并把初始層破壞(First Ply Failure)作為最終破壞判據[11]。2002年，Friebel等開發了Digimat材料用戶子程序[12]，主要基于Mori-Tanaka細觀力學方法，但對復合材料的破壞分析，依然需要提供復合材料的實驗數據。2015年，韓國研究人員Lee等運用宏觀理論Puck失效準則與損傷有限單元法，通過子程序開發，成功將該理論添加入ABAQUS的計算中，得到相關層合板算例的強度譜，并與實驗結果作了對比[13]。這些工作豐富了復合材料結構分析功能，但如何減少對復合材料實驗數據的依賴尚有不足。

隨著Huang的橋連理論不斷發展與完善，如何將該理論與CAE(Computer Added Engineering)軟件結合分析工程結構的破壞與強度問題，成為該理論發展的一大方向。2007年，Huang首次將橋聯模型結合商業有限元軟件ABAQUS，開發出用戶子程序UGENS[7,14]。本文在該工作基礎上，將UGENS程序改編，添加了上述橋聯模型的最新進展，并應用于WWEF-I考題分析和復雜層合板結構T型接頭的有限元模擬與強度預報，計算結果與實驗結果吻合良好。

1 理論概述

橋聯模型UGENS程序基礎詳見文獻[2]，為節省篇幅，本文只簡要列出各有關公式。

1.1 均值內應力計算

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

上述各式中Aij為橋聯矩陣A中的元素，A為[2]

(7)

其中：

(8)

應用于層合板分析，有[2]：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

進一步將式(12)代入式(1)和式(2)中，可求出纖維和基體的內應力增量。

1.2 真實內應力

(14)

(15a)

(15b)

(16)

(17)

(18)

式中：

(19)

纖維中的點應力均勻，其真實應力與均值應力相同。

1.3 破壞判據

當前步纖維和基體中的真實應力以及單層板分擔的外力按如下更新：

(20)

(21)

(σ)l=(σ)l-1+dσl

(22)

基于當前真實應力，若纖維或基體已經破壞，則認為復合材料達到了破壞。程序中，纖維采用修正的最大應力破壞判據[15]：

(23)

(24)

一旦纖維破壞即式(23)成立，認為層合板達到了致命破壞，對應的外載定義為層合板的極限強度，程序終止計算。基體的破壞式(24)成立只是一種非致命破壞，需折減單層板的剛度。本文采用的剛度衰減格式為

(25)

存在纖維始終不破壞的情況，持續加載及每一層的非致命破壞，必然會導致層合板變形過大。為此，在程序中還施加了應變控制條件：當層合板最大應變超過極限應變時，也視為發生了致命破壞，即需滿足

(26)

式中：h為粘結層厚度。

聚合物復合材料最大應變一般不超過15%[10]，一般層板結構破壞時的極限應變不超過10%。以下算例中均取10%作為極限應變條件。

1.4 用戶子程序

上述理論發展均添加到UGENS子程序，與2007版本相比[14]，只需額外多輸入一個單向復合材料的橫向拉伸強度，以便確定纖維和基體界面何時開裂，若缺省，認為界面始終理想。基體的各應力集中系數，根據纖維和基體的原始性能參數計算得到。

2 單層板與層合板強度預報——WWFE分析

2.1 算例介紹

有限元建模均采用薄殼單元。只考慮雙軸向正應力加載時，在殼體結構左下兩邊施以對稱邊界條件，如圖1所示；存在剪應力的算例，則用左下節點鉸支的邊界條件，如圖2所示。以此達到整個殼體受均勻載荷的目的。

表1 4種復合材料的組份材料性能參數[17]Table 1 Constituent properties of four composites[17]

注：F和M分別表示纖維與基體。

表2 4種復合材料中基體材料的塑性參數[17]Table 2 Plastic parameters of matrices in four composites[17]

表3 4種基體材料的應力集中系數及界面開裂參數Table 3 Stress concentration factors and cracking parameters of matrices in four composites

圖1 雙軸加載邊界條件[12]Fig.1 Boundary condition for biaxial loading[12]

圖2 受剪應力邊界條件[12]Fig.2 Boundary condition for shear stress[12]

2.2 計算結果

根據表1和表2的輸入數據并應用表3中的參數，對WWFE的14個考題進行了分析計算。為省篇幅，這里只給出最終結果的得分情況，如表4所示。評估組織者共設置了5大類125個評分點。當理論預報值與實驗值的偏差在±10%之內時得分為A，預報值與實驗值偏差在±10%～±50%之間得分為B，超出±50%時得分為C[5]。根據評分標準，本文有限元求解A+B之和的得分比例為86.4%，遠高于WWEF評估中得分最高的Zinoviev理論76.8%的A+B得分比例。證實了二維橋聯理論UGENS子程序預報復合材料強度特性的有效性。

表4 WWFE評估匯總表Table 4 Summary of results for WWFE

注：RC1～RC5依次表示單層板破壞強度分析、層合板初始破壞分析、層合板最終破壞分析、層合板應力應變曲線分析、定性特征分析。

3 T型接頭受彎失效分析

3.1 材料參數

T型接頭是復合材料結構連接的一種常見形式，在航空領域應用廣泛，也受到相關學者的廣泛研究。為進一步驗證二維橋聯理論UGENS子程序的功效，這里對文獻[18]報告的T型接頭在彎曲載荷下的極限破壞進行了有限元模擬，并與實驗數據對比。

文獻[18]給出了單層板的力學性能參數和層合板幾何數據，但未能提供組分材料的性能參數。本文分析中，纖維材料參數取自文獻[19]，基體材料參數取自文獻[20]，不計基體塑性變形，詳見表5。

根據文獻[18]，T型接頭由不同結構層合板共固化而成，本文對兩個層合板的結合處以及曲率劇變(即90°彎角)處導致的富樹脂區均添加了一層ABAQUS自帶的Cohesive單元。

幾何上，Cohesive單元類似無厚度的平面單元，該單元上可承受3種作用力，即正應力tn、剪應力ts和tt,分別定義[21]為

(27)

表5 T700/QY9611組分材料的力學性能[19-20]Table 5 Mechanical properties of T700 fiber and QY9611 matrix[19-20]

圖3 Cohesive單元的線彈性-線軟化本構模型Fig.3 Linearly elastic-softening constitutive model for a cohesive element

在圖3所示的線彈性-線軟化本構模型中，當δ=δ0時材料屈服，當δ=δmax時材料開裂。假設粘結層厚度為h,對應的3個應變為

(28)

當δ<δ0時，材料為線彈性，此時有

(29)

當δ0≤δ<δmax時，材料處于軟化區，此時有

(30)

式中：D為損傷因子，其大小由圖3確定。

由于粘結層破壞往往并非單一開裂破壞模式所致，應考慮混合模式的開裂準則。本文采用ABAQUS提供的二次應力判據和B-K準則，二次應力判據將正應力引起的Ⅰ型斷裂與剪應力引起的Ⅱ型斷裂結合起來，簡化為一個應力-位移曲線，其中損傷起始的臨界點由式(31)確定，當滿足式(31)時裂紋開始產生[21]。

(31)

鑒于該T型板結構為整體共固化而成，本文將粘結層取為與純基體的力學性能參數相同更為科學，但文獻[18]采用了另一組粘結層參數，一并列于表6中。分別應用兩組粘結層參數進行了有限元模擬。

圖4 COHESIVE單元B-K準則圖解[21]Fig.4 Schematic of B-K criterion used for COHESIVE elements[21]

表6 粘結層的力學性能[18]Table 6 Mechanical properties of cohesive layer[18]

3.2 結構參數

T型構件由兩個L型腹板、底板、中心富樹脂區3部分構成，各部尺寸詳見圖5。底板3的厚度為4 mm，含32層鋪層，L型腹板1和2的厚度都為1.5 mm，由13層單層板制成。各部分鋪層角詳見表7。

圖5 T型構件結構圖[18]Fig.5 Structural diagram for T-joint[18]

表7 T型構件鋪層參數[18]Table 7 Lamination parameters of T-joint[18]

3.3 有限元建模

結構示意如圖6，在離底板下底面80 mm處施加500 N的水平力，在底部兩側距中心90 mm處設置固支邊界。

層板用S4R殼單元，中央三角富樹脂區用C3D8R實體單元。在曲率巨變或應力集中區域進行網格加密。表7中的各子結構彼此接觸面上插入COH3D8 Cohesive單元。

圖6 T型構件有限元模型Fig.6 FE modelling for T-joint

3.4 結果與討論

圖7為T型結構受載343 N時的位移云圖。達到182 N時，右側L型層合板在與富樹脂層連接的部分單元發生基體的壓縮破壞，程序對發生非致命破壞的單元進行剛度折減；當荷載為343 N時，由于局部應變過大，左側L型腹板與底板連接區域發生致命破壞，層合板單元(圖8)的應變超過臨界值，此時計算終止。

圖7 T型接頭破壞時的位移云圖Fig.7 Displacement contour of T-joint under failure load

模擬的T型接頭在加載點處的荷載-位移曲線如圖9所示，極限荷載為343 N，而原文獻中的實驗結果為288.5 N，兩者相差54.5 N，預報誤差為18.9%，低于原模擬結果19.8%的誤差率。由于極限破壞由臨界應變條件控制，進一步降低臨界應變至5%，預報的極限載荷為307.2 N，與實驗對比誤差更小。因為本例中纖維和基體皆為脆性材料，取5%的臨界應變似更合理。這說明，將橋聯理論通過UGENS用于復雜復合材料結構的破壞與強度模擬十分有效，剛度與實驗結果相比略小，相對誤差為8.21%。原因可能是取自其他文獻的組分材料彈性性能并非與實際的完全一致。不出所料，若將粘結層的強度參數取自文獻[18]，預報的復合材料強度會明顯降低，見圖9，這也表明，在接觸面引入Cohesive單元是恰當的。若各結構通過粘接而成，粘接面接觸不良以及非一致性，將導致粘接強度明顯降低，對復合材料結構的承載能力也會產生顯著影響。

圖8 T型接頭破壞位置及形式Fig.8 Failure modes and locations of T-joint

圖9 載荷-位移曲線對比Fig.9 Comparison of load-displacement curves

3.5 T-型接頭設計

3.5.1 不同組分材料的影響

由于發生致命破壞的是L型腹板，只需對該構件進一步考慮。首先，比較3種不同組分材料體系,其力學性能參數如表8所示。

將L型腹板用上述3種材料替換，底板性能依然由表5提供，由此得到的T-型接頭載荷-位移曲線如圖10所示，不同材料體系(用于L腹板)的極限破壞模式如表9所示。

表8 3種復合材料的組分材料性能參數Table 8 Constituent properties of three composites

圖10 4種組分材料載荷-位移曲線對比Fig.10 Comparison of load-sdisplacement curves of T-joints made of 4 constituent systems

表9 4種組分材料體系的極限破壞模式Table 9 Ultimate failure modes of four constituent systems

圖10表明，兩種碳纖維材料體系預報的結構剛度相同，但強度明顯有異，這是由于AS4纖維的拉壓強度遠低于T700纖維的水平。而兩種玻璃纖維/環氧樹脂材料預報的模量與強度均相近，源于兩者采用了相同性能的纖維。綜合而言，碳纖維樹脂基體組合比玻璃纖維/樹脂基體組合有更高的模量與強度，而原結構所用的T700/QY9611材料腹板相比其他3種材料有更強的抗彎曲載荷能力。

3.5.2 不同鋪層角

下面考慮L型腹板不同鋪層角對結構承載能力的影響。假定層數、厚度與材料性能不變，設計了3種不同鋪層角，如表10所示。

依然取材料T700/QY9611，結構致命破壞模式如表11所示,預報的不同腹板鋪層T型結構載荷-位移曲線如圖11所示。

從圖11中可以看出，4種不同鋪層的T型接頭在彎曲載荷下的力學響應差異很大，說明鋪層方案對復合材料結構優化影響顯著。按剛度大小排序依次是：鋪層3>鋪層1>原鋪層>鋪層2；按極限承載能力排序依次是：鋪層3>鋪層1>原鋪層>鋪層2。由此可見，鋪層3的抗彎能力較原鋪層的抗彎載荷與剛度都有顯著提高，為4種鋪層設計中的最優方案。

表10 T型接頭中3種L型腹板鋪層參數Table 10 Parameters of three lay-ups of L-web in T-joint

表11 4種鋪層結構極限破壞模式Table 11 Ultimate failure modes of four lay-ups

圖11 4種鋪層的載荷-位移曲線對比Fig.11 Comparison of load-displacement curves with 4 kinds of lay-ups

4 結 論

本文將最新發展的橋聯理論與有限元軟件ABAQUS結合，通過編寫UGENS殼單元子程序，實現了對復合材料層合板結構在復雜載荷下的漸進破壞模擬和強度預報。通過對WWFE中14道考題的模擬預報，其結果相較實驗的精確度提高到86.4%，超過該競賽評分最高的Zinoviev理論(76.8%)。在此基礎上，對復合材料復雜結構——T型接頭進行了有限元極限分析，結果與有關文獻中的測試報告吻合良好(誤差8.21%)，并進一步對T型接頭中腹板的組分材料與鋪層方案進行了優化設計。應用本文介紹的程序和方法，可以對更復雜復合材料或復合材料與其他材料組合結構進行破壞分析、強度預報和設計選型。

z=x2+ix3=reiφ,N2=aFe-iψ+akeiψ

N3=Faeiψ+e-iψak

H=a(cosψ+2λsinψ)(0.5-F)

C=(k-1)(cosψ-2λsinψ)a2exp[2λ(ψ-π)]

D=(1-k)a3exp[2λ(ψ-π)]

式中：a為纖維的半徑，可取單位值；開裂角ψ由下述方程求解：

R(eiφ)=(eiφ-eiψ)0.5+iλ(eiφ-e-iψ)0.5-iλe-iφ

H0=(1-k)(1+4λ2)sin2ψ

J1=kG0-1-2(1-k)ξexp(2λψ)cosψ

J2=2(1-k)ξexp(2λψ)sinψ

J3=2(1-k)ξ·

exp(2λψ)[J1cosψ-J2sinψ]/J2

需要指出的是，ξ=1對應奇異開裂，此時開裂角ψ無解。然而，總可以微調纖維/基體性能(其測試存在離散性)使得ξ≠1。

基體的臨界von Mises等效應力計算公式為