基于值域的多約束GNSS單頻單歷元定姿新算法

吳洪濤，趙修斌，龐春雷，張良，馮波

空軍工程大學 信息與導航學院，西安 710077

單頻單歷元姿態測量由于所具有實時性高、低成本、不受整周跳變影響的優勢,已成為當前航空工程領域的研究熱點,但單頻單歷元解算模型強度太弱，整周模糊度的難度較大。利用多天線可以顯著增強單頻單歷元解算模型的強度[1]，實現載體航向角、俯仰角和橫滾角的全姿態測量[2]。Giorgi和Teunissen利用坐標旋轉矩陣建立多天線定姿模型，將LAMBDA算法擴展為多基線多約束LAMBDA (MC-LAMBDA)算法[3-5]。龔昂將利用解析方法求解最優旋轉矩陣，進一步簡化了MC-LAMBDA算法，提高了算法效率[6]。李青松將坐標旋轉矩陣的單位正交約束條件融入了模糊度浮點解和協方差矩陣的求解過程，提高了單歷元固定的成功率和正確率[7]。這些方法都是基于LAMBDA算法從模糊度域確定搜索空間，解算效率隨模糊度維數增加快速下降，計算量隨天線數量增加顯著增長。

除了上述算法外，模糊度解算算法還有部分模糊度法[8-11]，長短基線法[12-13]、模糊度函數法[14-15]等。部分模糊度法基于分組的思想，將模糊度分為基本組和剩余組，直接對基本組模糊度進行求解，但分步求解降低了理論成功率，且一般很難解析給出模糊度分組算法。長短基線法利用無模糊度短基線輔助長基線解算模糊度，計算效率高，但成倍地增加了硬件成本。模糊度函數法通過將多維模糊度的搜索轉化為三維坐標域的搜索，計算效率與模糊度維數無關，但在多天線條件下建立坐標域搜索涉及到多基線之間的相對位置轉換，實現較為復雜。

文獻[16]提出的基于值域的模糊度搜索方法，在基線長度已知的條件下，將對模糊度域的搜索轉化為對姿態域的搜索，方法簡單，易于實現。首先，對多天線姿態測量算法進行了分析；然后，將姿態約束融入解算模型中，建立了約束條件下值域搜索模型，提高了模糊度單歷元搜索效率，推導了基于最優姿態解近似估計的模糊度固定算法。該算法較標準迭代算法計算效率大大增加，且具有與標準算法相當的性能，能夠實現模糊度的單頻單歷元可靠固定。

1 多天線定姿算法及分析

1.1 多天線定姿模型

基線矢量在載體坐標系和東北天(ENU)坐標系之間的轉換關系為

a′=Ra

(1)

式中：a為載體坐標系下的基線矢量；a′為ENU坐標系下的基線矢量；R為由載體坐標系到ENU坐標系的坐標旋轉矩陣。R可由姿態角表示為

R=

(2)

式中：Cξ=cosξ；Sξ=sinξ；θ、β和γ分別為載體的航向角、俯仰角和橫滾角；θ∈[0,2π]、β∈[-π,π]、γ∈[-π,π]。設

(3)

R中的元素滿足單位正交條件,即

(4)

理論上只要得到R前兩行元素,即可解得全部姿態角。

(5)

β=-arcsinr31

(6)

(7)

當存在多條基線時，式(1)可寫為矩陣形式，n+1個天線對應n條相互獨立的基線。設天線平面與載體坐標系重合，則

(8)

A′=RA

(9)

式中:A為載體坐標系下的基線矢量矩陣；A′為ENU坐標系下的基線矢量矩陣。多天線雙差載波相位觀測方程可寫為[17]

[Φ1Φ2…Φn]=

(10)

式中：G為雙差視線向量矩陣；Φ1、Φ2、…、Φn分別為基線1、基線2、…、基線n的雙差載波相位觀測向量；N1、N2、…、Nn分別為基線對應的雙差整周模糊度向量；λ為載波波長。

對式(10)進行向量化運算可得

(11)

式中：?為Kronecker積；vec(·)為向量化運算。同理可得到多天線雙差偽距觀測方程為

(12)

式中：P1、P2、…、Pn分別為基線1、基線2、…、基線n的雙差偽距觀測向量。

令

則式(11)和式(12)有[17]

(13)

P=BM

(14)

當得到正確的模糊度空間之后，利用最小二乘原理固定模糊度，代價函數為

(15)

式中：QΦ和QP分別為雙差載波相位觀測量和雙差偽距觀測量的協方差矩陣。

當成功固定整周模糊度N之后，可根據式(13)解出M,由式(5)～式(7)可得到待求解的姿態角。

1.2 算法分析

多天線增強了單頻單歷元解算模型的強度，但模糊度維數隨天線數量成倍增加，從模糊度域確定搜索空間的計算量將顯著增長。基于值域的模糊度搜索算法，將對模糊度域的搜索轉化為對姿態域的搜索，搜索過程與模糊度維數無關，適用于多天線姿態測量。但該算法沒有將實際應用中的姿態約束信息融入解算模型，單歷元模糊度搜索效率不高。一般通過對低成本慣性測量單元(Inertial Measurement Unit，IMU)輸出數據進行解算，或水平儀、微機電系統傳感器(Micro Electro Mechanical Systems，MEMS)等其他低成本傳感器可以得到俯仰角、橫滾角的強約束[18-19]。

當得到正確的模糊度空間之后，利用總體最小二乘原理固定模糊度。考慮俯仰角、橫滾角的約束信息，代價函數可寫為[20]

(16)

利用純載波相位方程求解N條件下M的最小二乘解，往往不能滿足單位正交約束條件。理論上需要在單位正交約束條件下，迭代求解N條件下坐標旋轉矩陣M的最優解，但迭代求解會大大增加計算量。為了減小計算量，可以通過求解M最優解的近似解[7]，固定模糊度。近似解一方面需要具有與迭代解相當的性能，另一方面需要盡量減小計算量。

2 本文所提算法

2.1 多約束多天線模糊度搜索模型的建立

由式(2)M可以由θ、β、γ表示，即

M=M(θ,β,γ)

代入式(13)整理得

(17)

式中：下標i為第i條基線;j為第i條基線對應的第j個雙差觀測方程。Φij的誤差通常在1/4周以內，若已知θ、β、γ,通過直接四舍五入取整即可確定整周模糊度:

(18)

式中：round(·)為四舍五入取整。整周模糊度可以看做姿態角的函數。基于此，通過直接對姿態角進行遍歷搜索，解算出相應的模糊度浮點解，取整即可得到模糊度的搜索空間。

為了提高搜索效率，合理選擇搜索步長成為關鍵。為了確保整周模糊度不被漏搜，并考慮到由于取整時四舍五入導致的模糊度變化，要求搜索步長使模糊度的每次變化不能超過0.5周。以航向角為例，設Δθ為航向角的搜索步長，即

(19)

當Δθ小于10°有sin(Δθ)≈Δθ,cos(Δθ)≈1代入式(19)整理得

i=1,2,…,n;j=1,2,…,t

(20)

式中：n為相互獨立的基線數；t為雙差觀測方程個數。

文獻[16]通過式(20)確定搜索步長時不考慮俯仰角、橫滾角約束，而將約束信息融入式(20)中能進一步增大搜索步長，提高搜索效率。

2.2 姿態角約束條件下搜索步長的確定

設

(21)

(22)

(23)

由范數理論

(24)

設

則航向角搜索步長Δθ為

(25)

同理可得俯仰角、橫滾角的搜索步長Δβ、Δγ為

(26)

(27)

其中類似式(24)推導過程

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

2.3 姿態解近似估計的模糊度固定

利用歐拉角對式(16)重新參數化后,代價函數為

(34)

式中：

L=F(N,η)

(35)

(36)

利用最小二乘原理有

Δη≈(KT(η0)QK(η0))-1KT(η0)QΔL

(37)

式中：ΔL=L-F(N,η0)。

(38)

所提算法流程圖如圖1所示。

圖1 所提算法流程圖Fig.1 Flow chart of proposed algorithm

3 實驗結果及分析

為驗證算法效果，分別進行了靜態驗證實驗和動態實驗。

3.1 靜態實驗條件及結果分析

分別進行了兩組靜態實驗，利用GPS-703-GGG 天線和NovAtel OEM628板卡采集GPS系統L1頻點數據，采樣頻率為1 Hz，實驗地點為空軍工程大學信息與導航學院科研樓頂，數據采用MATLAB2014A進行事后處理，電腦硬件配置為Intel(R) Core(TM) i3-2350M雙核CPU，主頻2.3 GHz，內存4 G。

第1組靜態實驗天線配置如圖2所示，共采集63 488個歷元的數據。基線在載體系下的基線矢量矩陣為

(39)

根據事先測定，載體在ENU坐標系中的航向角為277.424°，俯仰角為2.459°，橫滾角為1.814°。實驗中，給俯仰角、橫滾角加入均方差為1°的零均值高斯噪聲，模擬由其他傳感器得到的俯仰角、橫滾角信息。俯仰角、橫滾角的搜索范圍為±5°，航向角的搜索范圍為±180°。

圖2 第1組靜態實驗天線配置Fig.2 Configuration of antennas of first static experiment

第2組靜態實驗天線配置如圖3所示，共采集1 716個歷元的數據，基線在載體系下的基線矢量矩陣為

圖3 第2組靜態實驗天線配置Fig.3 Configuration of antennas of second static experiment

(40)

實驗中，利用俯仰角、橫角滾先驗信息由NovAtel SPAN-CPT慣性導航設備粗對準獲得(標準差設為0.6°)。俯仰角、橫滾角的搜索范圍為±3°，航向角的搜索范圍仍為±180°

3.1.1 模糊度搜索算法比較

為了對本文模糊度搜索算法與原算法進行比較，采用以下兩種算法對數據進行解算，單歷元確定模糊度搜索空間。

算法1原算法，即不考慮姿態角約束推導搜索步長確定模糊度搜索空間。

算法2本文所提算法，即利用姿態角約束推導步長確定模糊度搜索空間。

利用兩種算法對兩組靜態實驗數據進行解算，逐歷元搜索步長和模糊度空間大小如圖4所示，圖4(a)為第1組實驗結果，圖4(b)為第2組實驗結果。虛線代表算法1，實線代表算法2，平均搜索步長和模糊度空間平均大小如表1所示。由于第2組實驗基線長度大于第1組實驗，因此第2組實驗姿態角搜索步長明顯減小，模糊度空間也顯著增加。但兩組實驗結果中算法2均優于算法1。

第1組實驗中算法2與算法1相比，航向角平均搜索步長增大了34.5%，俯仰角平均搜索步長增大了150.6%，橫滾角平均搜索步長增大了126.9%，模糊度空間減小了65.8%。

第2組實驗中算法2與算法1相比，航向角平均搜索步長增大了41.3%，俯仰角平均搜索步長增大了59.1%，橫滾角平均搜索步長增大了293.4%，模糊度空間減小了67.7%。

實驗結果表明，本文所提算法充分利用了姿態角約束條件，單歷元模糊度搜索效率明顯提高。

圖4 兩種模糊度搜索算法實驗結果Fig.4 Experimental results of two ambiguity search algorithms

表1 兩種模糊度搜索算法實驗結果對比Table 1 Comparison of experimental results of two ambiguity search algorithms

3.1.2 模糊度固定算法比較

根據事先精確測量的姿態角，逐歷元反解得到正確的模糊度。在利用約束條件下的值域搜索模型得到正確的模糊度空間，采用以下4種方案對兩組靜態實驗數據進行實驗。

方案3本文所提算法,即基于最優條件姿態解近似估計，計算代價函數式(17)。

方案4標準迭代算法,即利用牛頓迭代法求解最優姿態解，計算代價函數式(17)。

4種方案計算的正確模糊度對應的代價函數值如圖5所示，圖5(a)為第1組前500歷元實驗結果,圖5(b)為第2組前500歷元實驗結果。對4種方案計算的正確模糊度的平均代價函數值和固定模糊度的平均耗時進行統計，結果如表2所示。

圖5 4種方案計算的前500歷元正確模糊度對應的代價函數值Fig.5 Cost function value calculated from correct ambiguity for the first 500 epoch data by four schemes

表24種方案計算的正確模糊度平均代價函數值和固定模糊度的平均耗時
Table2Meanofcostfunctionvaluecalculatedfromcorrectambiguityandcomputation-timetofixambiguityoffourschemes

實驗結果方案1方案2方案3方案4第1組實驗正確模糊度的代價函數值0．0532．0170．2090．196固定模糊度平均耗時/s0．0070．0060．0450．226第2組實驗正確模糊度的代價函數值0．0914．9332．6532．078固定模糊度平均耗時/s0．0470．0640．3141．301

方案1不考慮角度約束信息(式(16)中不包含角度約束信息加權部分)，因此得到正確模糊度的代價函數值最小。方案2沒有充分利用角度約束信息，計算得到正確模糊度的代價函數值遠大于方案4。方案3充分考慮了角度約束信息，且利用最優條件姿態角近似估計簡化了迭代過程。因此，方案3與方案4相比，正確模糊度的代價函數值幾乎一致，且計算時間大大減少。第2組實驗中，方案4的模糊度固定時間大于1 s，幾乎不能實時解算，而方案3的計算時間遠遠小于1 s。

4種方案單歷元固定模糊度正確率，如表3所示。方案1僅考慮的基線約束，沒有考慮角度約束信息，固定模糊度正確率最低。方案2計算最優條件解時利用角度約束條件不充分，固定模糊度正確率低于方案3。方案3與方案4由于充分利用了約束條件，固定模糊度正確率最高。

利用第1組實驗數據，對4種方案在不同可視衛星條件下單歷元固定模糊度的正確率進行了統計，如表4所示。

方案1、方案2固定模糊度的正確率隨著可視衛星數量的減少而降低，方案3由于充分利用了約束條件，固定模糊度的正確率不受影響，與方案4相同。

實驗結果表明，利用俯仰角、橫滾角約束條件能夠進一步提高模糊度固定的成功率和可靠性。本文所提算法相比直接法犧牲了一定的效率，但卻有與標準算法相當的良好性能，且計算效率遠遠高于標準算法。

表3 4種方案固定模糊度正確率Table 3 Fixing ambiguity success rate of four schemes

表4不同可視衛星數量下4種方案固定模糊度正確率

Table4Fixingambiguitysuccessrateoffourschemesonconditionofdifferentvisiblesatellites

3.2 動態實驗條件及結果分析

動態實驗時，將3個天線固定在實驗車頂，采集GPS系統L1頻點的數據，采樣頻率為1 Hz。將NovAtel SPAN-CPT慣性導航設備水平固定在實驗車的中軸線上，以初始化后的組合輸出作為姿態角參考值(測姿精度俯仰角為0.02°，橫滾角為0.02°，航向角為0.06°)，為了與靜態實驗保持一致。實驗地點為西安市東郊，實驗場景如圖6所示，共采集896個歷元的數據，其中前347 s實驗車處于靜止狀態，用于標定3個天線的姿態測量系統與組合導航系統的安裝誤差。基線在載體坐標系下的基線矢量矩陣為

(41)

利用方案3對數據進行解算，為了與靜態實驗一致，俯仰角、橫滾角先驗信息的標準差仍設為0.6°，搜索范圍為±3°，航向角的搜索范圍為±180°。

采用方案3和方案4對數據進行單歷元解算，確定姿態信息。

方案4不考慮姿態角約束推導搜索步長確定模糊度搜索空間，利用牛頓迭代法計算代價函數式(17)，單歷元固定模糊度。

方案3考慮姿態角約束推導搜索步長確定模糊度搜索空間，利用最優條件姿態解近似估計計算代價函數式(17)，單歷元固定模糊度。

圖6 動態實驗天線配置Fig.6 Configuration of antennas of dynamic experiment

兩種方案得到模糊度空間大小和平均耗時如表5所示。方案4幾乎不能實時輸出。與方案4相比，方案3具有更小的搜索模糊度空間和更高的計算效率，能夠做到實時輸出。

以姿態角參考值作為理論真值，將解算得到俯仰角、方位角與真值對比，得到誤差曲線如圖7所示，姿態角均方誤差(RMSE)如表6所示。

航向角的RMSE為0.170 2°，俯仰角的RMSE為0.390 2°，橫滾角的RMSE為0.368 9°。

實驗結果表明，利用本文所提算法解算的姿態結果外符合精度良好，姿態信息測量準確，模糊度得到了正確的固定。

表5 兩種方案計算效率對比Table 5 Efficiency of two schemes

圖7 動態實驗測量結果Fig.7 Attitude results of dynamic experiment

表6 航向角、俯仰角和橫滾角的 RMSETable 6 RMSE of heading, pitch and roll angles

4 結 論

1) 融入姿態約束的值域搜索模型相對不考慮姿態角約束，能夠進一步增大搜索步長，提高搜索效率，減小模糊度空間。

2) 利用最優姿態解近似估計固定模糊度，具有與標準迭代算法相當的正確率，且計算效率遠遠高于標準迭代算法。

雖然利用俯仰角、橫滾角約束能夠提高值域搜索算法的效率，但當基線較長時，利用本文算法確定的模糊度空間仍較大，計算效率不高。從靜態實驗結果來看，在基線長度達到3.678 m時(第2組靜態實驗)，本文算法的實時性明顯下降。因此使用本文算法進行單頻單歷元姿態測量時，基線長度一般不應大于4 m。下一步重點考慮如何有效利用航向角約束和偽距觀測信息，進一步提高值域類算法在較長基線條件下的適用性。