基于終端滑模的航天器自適應預設性能姿態跟蹤控制

馬廣富，朱慶華,2，王鵬宇，郭延寧,*

1. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001 2. 上海航天控制技術研究所，上海 200233

隨著航天技術的不斷發展，航天器承擔的空間任務日趨復雜。良好的姿態機動性能是航天器完成諸如在軌維修、空間觀測等復雜任務的前提和保障。目前，許多學者針對航天器姿態跟蹤問題展開了深入研究；PID控制[1]、變結構控制[2]、自適應控制[3]等一系列方法得到了廣泛應用并取得了良好效果。然而，采用上述方法設計的控制系統大多是漸近穩定的，即系統狀態的收斂時間是無限長的，而很多在軌任務對快速性又具有較高要求。因此，研究航天器姿態跟蹤系統的有限時間穩定問題具有重要的工程意義。

與傳統控制方法相比，有限時間控制能使系統狀態在有限時間內收斂，具有響應速度快、穩態精度高等優勢，近年來受到了廣泛關注。有限時間控制已形成了完善的理論框架，在傳統有限時間控制的基礎上，還衍生出了實際有限時間控制、固定時間控制等控制方法[2]。目前，在設計有限時間控制器時，主要采用的方法可以歸納為：齊次性方法[4]、終端滑模方法[2]及加冪積分方法[5-6]。其中，齊次性方法只適用于自治系統，無法分析外部擾動對系統的影響。相比于齊次性方法，終端滑模方法和加冪積分方法在處理干擾及不確定性時具有更好的靈活性，其本質上可以看作是Lyapunov有限時間穩定性判定定理的延伸。特別是終端滑模方法，通過在滑模面中引入冪次項，提高了系統在平衡點附近的收斂速度，且具有良好抗干擾能力。

針對航天器姿態跟蹤控制問題，文獻[7]基于終端滑模方法，設計了具有有限時間特性的魯棒控制器；文獻[8]提出了一種新型終端滑模面，并解決了執行機構飽和條件下的航天器姿態控制問題。但上述研究成果并沒有考慮終端滑模的奇異問題，即在系統狀態運行至特定區域時控制器輸出將趨向于無窮，這一問題嚴重制約了終端滑?？刂破髟趯嶋H工程中的應用。

針對這一問題，文獻[9]基于一類非奇異終端滑模面設計了航天器姿態有限時間控制器，在保證系統有限時間穩定的同時避免了奇異現象。除此之外，切換函數法[10]、正弦函數法[11-12]、飽和函數法[13]都是解決奇異問題的有效手段。其中，飽和函數法是指采用飽和函數代替控制器中奇異項的一類方法。Feng等[13]首先針對二階非線性系統給出了飽和函數法的相關概念，并根據相平面圖，驗證了系統狀態穿越飽和區域的有限時間特性。在此基礎上，Guo等[14]針對航天器姿態跟蹤問題，采用飽和函數法，設計了自適應有限時間抗退繞控制器。然而，上述文獻在采用飽和函數法處理奇異問題時，均假設環境干擾上界已知，具有一定的局限性。

此外，某些空間任務還要求航天器姿態跟蹤系統具有期望的動態過程或滿足特定的約束條件。例如，光學遙感衛星在對地掃描成像過程中，其姿態及姿態角速度誤差必須保持在一定范圍內以確保成像質量，且過大的姿態角速度還會導致姿態敏感器失靈甚至損壞。針對這一問題，文獻[15]利用全局滑?？刂频乃枷?，使航天器姿態跟蹤誤差按期望軌跡運行；文獻[16]從工程角度出發，提出了一種基于飽和函數的PID控制器，解決了姿態角速度受限問題；文獻[17]從理論角度出發，通過在Lyapunov函數中引入對數項，證明了角速度約束下的系統穩定性。

除上述方法外，希臘學者Bechlioulis和Rovithakis針對系統狀態的約束控制問題，提出了一種預設性能(Prescribed Performance)控制方法。該方法通過引入性能函數和誤差變換，使系統收斂速度、超調以及跟蹤誤差獲得預先設定的性能[18]，在諸如機器人運動控制[19]、高速飛行器姿態控制[20]等領域得到了廣泛應用。例如，文獻[21]針對機械臂運動控制，設計了基于預設性能方法的終端滑模有限時間控制器，在保證系統有限時間收斂的同時使系統的滑模面響應具有期望的動態過程，限制了系統的位置和速度誤差，而目前尚未有公開的應用預設性能方法解決具有狀態約束的航天器姿態跟蹤控制問題。

本文在上述研究成果的基礎上，考慮航天器姿態跟蹤過程中的實際需求，設計了自適應終端滑模有限時間控制器，并在此基礎上結合預設性能方法設計了預設性能有限時間控制器。最后，數值仿真驗證了本文所提方法有效性。

1 航天器模型及預備知識

1.1 航天器姿態運動學與動力學模型

考慮剛體航天器姿態運動學及動力學方程為[20]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

航天器的姿態跟蹤運動模型可以寫為[20]

(8)

(9)

(10)

為了方便后續控制器設計，還需要給出如下假設。

對于本文研究的航天器姿態跟蹤問題，控制目標可以歸納為：針對控制系統(8)～(10)，設計控制器使得系統全局實際有限時間穩定，即存在有限時間T,當t≥T時，系統狀態收斂于平衡點鄰域內。

1.2 有限時間控制定義與引理

首先，本文給出如下有限時間控制相關定義和引理。

定義1[2]考慮如下非線性系統

(11)

式中：x∈Rn為控制系統狀態變量；u為控制輸入。若系統(11)是Lyapunov穩定的，且存在時間函數T(x),使得對于所有t≥T(x)的x(t)=0恒成立，則系統(11)是有限時間穩定的。如果對于任意x(t0)=x0,存在ε>0及T(ε,x0)<∞,使得對于所有t≥t0+T(ε,x0),‖x(t)‖<ε恒成立，則稱系統是實際有限時間穩定的。

則系統是實際有限時間穩定的，即在有限時間T內到達平衡點的鄰域內，且T滿足:

(12)

式中：V(x0)為V(x)的初值，θ0可取(0,1)內任意數值。且系統收斂到平衡點鄰域的范圍可以表示為

(13)

2 自適應有限時間姿態跟蹤控制器設計

選取如下形式的終端滑模面:

(14)

(15)

sat(τs,τm)=

(16)

(17)

設計如下形式的自適應律對干擾進行估計:

(18)

定理1對于滿足假設1的航天器姿態跟蹤系統(8)～(10)，采用控制器(15)和自適應律(18)，能夠使系統狀態從任一初值在有限時間內到達滑模面鄰域后又在有限時間內收斂于平衡點鄰域，即保證系統是實際有限時間穩定的。

證明：定理1的證明分為2個步驟，首先證明系統狀態能夠在有限時間內收斂于滑模面si的鄰域Δi;再證明系統狀態收斂于滑模面鄰域后，能夠在有限時間內收斂于平衡點鄰域Ωi。

步驟1定義如下Lyapunov函數：

(19)

對Lyapunov函數(19)求導，并代入終端滑模面(14)、控制器(15)及自適應律(18)，可得

(20)

為方便證明，將系統狀態空間劃分為如圖1所示的兩個子空間A和B，其定義為

(i) 當系統狀態位于區域A時，飽和函數取為

(21)

對于任意ε,有

(22)

將式(21)、式(22)代入式(20)，可得

(23)

(24)

(25)

圖1 控制器奇異、非奇異區域示意圖Fig.1 Diagram of singular and nonsingular areas of controller

Case1當ξ>1時，有如下關系成立:

(26)

Case2當ξ≤1時，有如下關系成立:

(27)

式中：?0=p0p0/(1-p0)-p01/(1-p0)>0,p0=(r+1)/2。

綜合Case 1及Case 2，可得

(28)

將式(28)代入式(25)，可得

(29)

式中：η0=ηδκ2/2+ε2/2+?0。

由引理1可知，系統狀態能夠在有限時間內收斂于滑模面si的鄰域Δi,且收斂時間T1,i及Δi滿足:

(30)

式中：0<θ1<1,V1,i(0)為V1,i的初值。

(ii) 當系統狀態位于區域B時，飽和函數取為

(31)

如圖1所示，區域B還可以被劃分為兩部分，即B=B1∪B2,其定義為

(32)

(33)

綜上，系統狀態不會始終保持在B2區域內，而是會在時間σ(t)內穿過B2區域，并最終到達A區域。文獻[13]指出，系統狀態穿越飽和區域的時間σ(t)難以準確求得，但其數值仍是有限的。所以，系統狀態從任一初始位置出發，均能夠在有限時間內收斂于滑模面si的鄰域Δi,且收斂時間為T1,i+σ(t)。

步驟2證明系統狀態收斂于滑模面鄰域后，能夠在有限時間內收斂于平衡點鄰域Ωi。

由于此時系統狀態位于Δi內，所以有

(34)

其中:φi≤Δi。

此時，選取Lyapunov函數:

(35)

對Lyapunov函數(35)求導，并代入式(34)，可得

(36)

(37)

(38)

綜上，系統狀態從任一初始位置出發，均能夠在有限時間內收斂于平衡點鄰域Ωi內，且收斂時間Ti及Ωi滿足：

Ti=T1,i+T2,i+σ(t)

(39)

(40)

證明完畢。

注2如圖1所示，為了保證滑模面si始終位于A區域內，在選取飽和函數閾值τm時，應滿足τm>β2p。

注3在采用自適應方法對干擾上界進行估計和補償時，控制器中含有的符號函數sgn(s)會導致輸出抖振。受文獻[23-24]的啟發，本文設計的自適應律(18)通過估計系統廣義干擾上界平方κ的方式，避免了控制器的輸出抖振問題。

注4當系統狀態到達滑模面鄰域Δi后，系統軌跡仍有可能進入，甚至反復穿越區域B，但很難量化地描述鄰域Δi與區域B之間的對應關系或分析區域B對系統動態性能的影響。通過定性分析可以發現，當系統狀態到達鄰域Δi后，飽和區域B的存在并不影響系統實際有限時間穩定的特性，且對系統收斂性能的影響也較為微弱，后續數值仿真也驗證了這一結論。

3 預設性能有限時間姿態跟蹤控制器設計

預設性能控制通過引入形如式(41)的性能函數及誤差變換，能夠將系統的跟蹤誤差限定在約束范圍(42)內[21]。

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-ht+ρ∞

(41)

-ρ(t)

(42)

式中：ρ0為性能函數初值；ρ∞為系統穩態誤差允許范圍；h為性能函數收斂速率，h越大則性能函數的收斂速度越快。在性能函數ρ(t)約束下的誤差響應曲線如圖2所示。除設計性能函數外，傳統的預設性能控制還需要對系統進行誤差變換，將約束下的跟蹤控制問題轉化為無約束的穩定控制問題，由于與本文內容無關，這里不再詳細給出變換過程。

本文選取式(41)所示的性能函數對系統的滑模面響應si進行約束，根據式(42)可知，其約束范圍可以表示為

-ρi(t)

(43)

設計控制器τ為

(44)

{zi=si/φsi

φsi=mρi(t)+(m-1)ρi(t)

(45)

式中：當si≥0時，m=1;當si<0時，m=0;其他變量及參數的定義與控制器相同。

定理2對于滿足假設1的航天器姿態跟蹤系統(8)～(10)，采用控制器(44)和自適應律(18)，能夠使系統狀態從任一初值在有限時間內到達滑模面鄰域后又在有限時間內收斂于平衡點鄰域，即保證系統是實際有限時間穩定的，且系統的滑模面響應si滿足約束條件(43)。

圖2 預設跟蹤誤差響應曲線范例Fig.2 Example of prescribed tracking error response

證明：與定理1的證明過程相似，定理2的證明過程同樣分為兩步。

(46)

當si≥0時，zi≥0成立，則有

(47)

當si<0時，zi<0成立，則有

(48)

根據上述分析可知，式(46)與式(20)具有相同的形式，則后續證明過程與式(21)～式(39)一致，這里不再贅述。

注5在整個控制過程中，當si受到環境干擾、參數不確定性等因素的影響而靠近約束邊界±ρi時，控制器(44)中的預設性能項(對數項)將通過提高控制增益的方式，使si遠離約束邊界，這種調節機理與預設性能控制相似。

注6采用預設性能方法對系統狀態進行約束時，一般需要先對系統進行誤差變換，而本文直接在控制器(44)中引入了預設性能項，無需系統變換，在一定程度上簡化了控制器設計過程。嚴格地講，控制器(44)并不屬于預設性能控制的范疇，但借鑒了通過性能函數對系統狀態進行約束的思想，在控制效果上與傳統預設性能控制有很多相似之處。

4 仿真結果與分析

本節利用MATLAB對航天器姿態跟蹤過程進行數值仿真，并將本文設計的自適應終端滑模有限時間控制器FTSMC、預設性能有限時間控制器PPC+FTSMC與PD控制器進行比較。

仿真中，航天器主要參數如表1所示，控制器參數如表2所示。為了方便對本文設計的兩種控制器進行對比，除預設性能項外， FTSMC控制器與PPC+FTSMC控制器的其他參數均相同。對于相同的參數，表2不再重復給出。

此外，假設航天器姿態干擾力矩為[14,25]

10-3N·m

根據上述參數，采用FTSMC控制器時，航天器的姿態誤差四元數、角速度及控制力矩變化曲線如圖3所示。由圖3(a)和圖3(b)可以看出，在FTSMC控制器的作用下，航天器在21.5 s左右完成了對期望姿態的跟蹤，航天器的姿態和姿態角速度均具有較高的響應速度和較快的響應時間。

采用PPC+FTSMC控制器時，航天器姿態誤差四元數、角速度及控制力矩變化曲線如圖4所示；系統的滑模變量s1、s2、s3在性能函數約束下的響應曲線如圖5所示。

表1 航天器主要參數Table 1 Main parameters of spacecraft

表2 控制器參數Table 2 Parameters of controller

圖3 四元數誤差、角速度以及控制力矩變化曲線(FTSMC)Fig.3 Time histories of velocity and control torque (FTSMC)

根據圖4(a)和圖4(b)可知，在PPC+FTSMC控制器的作用下，航天器在18.5 s左右完成了對期望姿態的跟蹤，相比于FTSMC控制器，跟蹤時間縮短了約3 s。由圖5可以看出，采用PPC+FTSMC控制器時，系統的滑模面響應si被嚴格限定在了約束范圍內，且系統狀態能夠在較短的時間內收斂至滑模面鄰域。進一步比較圖3(c)和圖4(c)可知，采用PPC+FTSMC控制器時執行機構需要輸出較大的控制力矩。這說明PPC+FTSMC控制器中的預設性能項增大了指令控制力矩的幅值，這部分增加的控制力矩使系統的滑模面響應si得到了約束，并縮短了系統狀態的穩定時間。

圖4 四元數誤差、角速度以及控制力矩變化曲線(PPC+FTSMC)Fig.4 Time histories of angular velocity and control torque (PPC+FTSMC)

圖5 滑模面響應s1、 s2、 s3變化曲線(PPC+FTSMC)Fig.5 Time history of sliding surfaces s1, s2, s3(PPC+FTSMC)

為了進一步驗證上述兩種有限時間控制器的快速、高精度的特性，本文將傳統的PD控制器用于航天器姿態跟蹤問題，其仿真結果如圖6所示，3種控制器的性能對比如表3所示。從表中可以看出，FTSMC控制器和PPC+FTSMC控制器的性能明顯優于PD控制器，在一定程度上驗證了本文設計控制器的有效性。

圖6 四元數誤差、角速度以及控制力矩變化曲線 (PD)Fig.6 Time histories of angular velocity and control torque (PD)

表3 3種控制器性能對比Table 3 Comparision of performance of three controllers

5 結 論

針對剛體航天器姿態跟蹤控制問題，提出了新型的有限時間控制方法，經過嚴格的理論分析及充分的仿真驗證，得出如下結論：

1) 所提出的控制方法將處理終端滑模奇異問題的飽和函數法與實際有限時間穩定概念相結合，避免了傳統終端滑?？刂破鞯钠娈悊栴}。

2) 所提出的控制方法通過引入新型自適應律，在增強系統魯棒性的同時，規避了控制器輸出的抖振問題。

3) 進一步考慮航天器姿態跟蹤過程中的約束問題，所提控制方法借鑒了預設性能控制的思想，將系統的滑模面響應約束在了預先設定的范圍內，并在一定程度上提高了系統狀態的收斂速度。

綜上，本文所提出的方法屬于高增益控制方法，控制精度高、響應速度快，具有一定的理論與實際應用價值。