載荷作用下球軸承旋轉精度的Copula估算方法

李麗紅，李濟順，薛玉君，禹統帥，余永鍵

(1.河南科技大學 車輛與交通工程學院，河南 洛陽 471003；2.河南省機械設計及傳動系統重點實驗室，河南 洛陽 471003)

球軸承可以看做是一個由內圈、外圈、球、保持架組成的系統，這些零件都有其自身的幾何精度，零件幾何精度的差異和運動副間隙及其相互作用必定會影響球軸承的旋轉精度。在載荷平衡約束和幾何協調約束作用下，軸承零件的幾何精度及其相互作用最終影響著軸承旋轉精度。球軸承零件的幾何精度可通過測量得到，而軸承旋轉精度則通過對軸承內外圈的徑向和端面跳動等進行測量得到，很少用零件的幾何精度去估算成品軸承的旋轉精度。軸承旋轉精度與其零件的幾何精度必然存在一定的關系，但這種關系很難用數學公式來表達。因此，用統計的方法尋求零件尺寸精度的分布規律，再用聯合分布Copula函數建立軸承旋轉精度的聯合分布與其零件幾何精度多元分布之間的傳遞和映射關系,嘗試在裝配之前估算軸承的旋轉精度。

1 Copula函數理論

Copula函數也稱為連接函數或相依函數，是將多維隨機變量的聯合分布函數與邊緣分布函數連接起來的函數，其作用就是在多元分布中將相依性結構從邊際特征中區分出來。這種思想來源于著名的Sklar定理：可將聯合分布分解成多個邊際分布和一個聯合的Copula函數，此函數能把多個邊緣分布聯系起來進行變量間的相依性描述。

Copula理論于1959年提出[1]，20世紀90年代以來，Copula理論和方法在國內外迅速發展，并應用到交通、金融、保險、建筑動力風荷載、機械系統的可靠性分析等多個領域[2-14],并取得了良好效果。一般分布估算法無法構造適當的多變量聯合分布函數，使其具有指定的單變量邊緣分布函數以及多個變量之間的相關性。Copula函數可以把聯合分布函數和邊緣分布函數聯系起來構造多元分布函數對變量之間的相關性進行分析，而且與PPCA，BOA算法相比運算量小，能較好地反映優勢群體的分布情況[13]。

設F1(x1),F2(x2),F3(x3),…,Fn(xn)為連續的邊際分布函數，其聯合分布函數為H(x1,x2,…,xn)，存在一個 Copula 函數,使

C(F1(x1),F2(x2),F3(x3),…,Fn(xn))=

H(x1,x2, …,xn)，

(1)

令W1=F1(x1),W2=F2(x2),…,Wn=Fn(xn),則

C(W1,W2,…,Wn)=

(2)

常用的多元正態Copula函數和密度函數的表達式為

C(u1,u2,…,uN;ρ)=

Φρ(Φ-1(u1),Φ-1(u2),…,Φ-1(uN))，

(3)

c(u1,u2,…,uN;ρ)=

(4)

ζ=(ζ1，ζ2,…,ζN)′，ζN=Φ-1(uN)，

式中：ρ為對角線上的元素為1的對稱正定矩陣；|ρ|為矩陣相對應的行列式的值；Φρ(u)表示相關系數矩陣為ρ的標準多元正態分布函數；Φ-1(u)為Φ(u)的逆函數；I為單位矩陣。

Copula方法在建立隨機變量的聯合分布時有如下優點：1)Copula理論不限制邊緣分布的選擇，結合Copula函數可以靈活地構建聯合分布函數；2)在運用Copula理論建立模型時，邊緣分布反映的僅是單變量的個體信息，變量間的相關信息完全由Copula函數體現，可以將隨機變量的邊緣分布和變量間的相關性分開研究[10]。

2 軸承旋轉精度

滾動軸承運轉時，為了保證傳動零件的旋轉精度，需要將軸承內、外圈和端面的跳動控制在一定范圍內，因此軸承的旋轉精度涉及內外圈的徑向跳動、內外圈端面對滾道的跳動、內圈基準端面對內徑的跳動、外圈素線對基準端面傾斜度變動量以及內外圈滾道對底面厚度的變動量。對于球軸承，軸承外圈的徑向跳動與端面跳動是判斷軸承旋轉精度的重要指標[15-16]。

影響滾動軸承旋轉精度的因素很多，滾動軸承旋轉精度除受載荷影響外，主要受滾動軸承零件的幾何精度(外圈的尺寸精度、形狀精度，內圈的尺寸精度、形狀精度，滾動體的尺寸精度等)、徑向游隙、滾動體個數等參數的影響。滾動軸承運轉時，其旋轉精度還會受到安裝方式、預緊力、工作載荷、溫度及潤滑等多種因素的影響。

3 數學模型

3.1 隨機變量

軸承裝配合套前，各零件在幾何精度分布上是獨立的，存在一定的自相關性，但裝配后，彼此相互影響，為互相關。由于加工的偶然因素影響，軸承的內圈、外圈及滾動體尺寸和形狀在其公差范圍內的誤差是隨機變量，將其組合在一起是一個隨機過程。

以6204深溝球軸承為例進行分析，僅對影響其旋轉精度的重要指標外圈徑向跳動Kea與端面跳動Sea進行分析，不考慮保持架的影響。內圈溝道直徑、外圈溝道直徑、球直徑對軸承旋轉精度的影響組成各零件對軸承旋轉精度的整體影響，將內圈溝道直徑下偏差Xir、外圈溝道直徑上偏差Xer、軸承所有球中直徑最大值與最小值之差的絕對值Xr作為隨機變量。取100套軸承零件進行測量，裝配后由軸承外圈和端面跳動測量儀測量Kea，Ssa[16]。向測試儀芯軸施加40 N·m的扭矩，得到100組原始數據，考慮測量時試驗設備自身的誤差，對原始數據進行誤差分離得到100組測量數據,由于篇幅所限，僅給出部分數據，見表1。

表1 測量數據

3.2 數據統計分析

3.2.1 隨機變量分布參數估計及檢驗

表2 參數估計及正態檢驗結果

圖1 Xer，Xir，Xr的直方圖及核密度圖

圖2 跳動量Sea，Kea的直方圖及核密度圖

3.2.2 隨機變量的相關性分析

上述5種隨機變量之間的協方差矩陣見表3，可以看出，軸承的外圈徑向跳動、端面跳動與軸承外圈溝道、內圈溝道和球的尺寸有很強的相關性，由于球尺寸的差異，在軸承運行過程中必然會造成軸承外圈跳動，差異越大，跳動程度越嚴重。此外，內圈溝道比外圈溝道與軸承徑向跳動的相關程度更強。軸承外圈溝道、內圈溝道和球尺寸在未裝配之前相互獨立，但裝配后其對軸承整體性能的影響彼此相關。變量Xer，Xir，Xr，Kea，Sea兩兩之間的相關性如圖3所示(橫、縱坐標單位均為mm)，從圖中可以看出，Kea，Sea與Xir，Xer，Xr都具有相關性，尤其是與Xr有很強的相關性，這說明軸承的旋轉精度與球尺寸的均勻性有很大關系，在其公差范圍內，尺寸差值越小，即越均勻，軸承跳動程度就越小。

表3 隨機變量的協方差矩陣

圖3 Xir，Xer，Xr和Kea，Sea兩兩相關的關系圖

3.2.3 模型建立

軸承內外圈溝道以及球的尺寸偏差對軸承的運動精度都存在相關性，且組合在一起會產生聯合作用，形成多維隨機變量?？梢杂肅oupla函數來估計。為方便起見，將變量Xer，Xir，Xr和Kea，Sea分別用u，v，w，y1，y2表示。由于u，v，w服從正態分布，設其分布函數及密度函數分別為

(5)

(6)

式中：μu，μv，μw分別為u，v，w的均值；σu，σv，σw分別為u，v，w的均方根。

同理，外圈的徑向跳動量和端面跳動量也服從正態分布，可以將其分布函數分別寫為F(y1)和F(y2)，則其與u，v，w的聯合分布函數F(u,v,w)之間的關系為

(7)

隨機變量u，v，w雖說聯合起作用，但對外圈的徑向跳動和端面跳動的影響不同，從圖3可以看出，其影響相當復雜。為便于參數估計，將這種復雜關系進行簡化，先考慮尺寸誤差兩兩之間相互作用的影響，再輔以修正參數對模型進行修正，設u，v，w的兩兩聯合分布函數分別為F(u,v)，F(v,w)，F(w,u)，建立模型

(8)

式中：λ1,λ2,λ3，κ1，κ2，κ3均為估計參數。

4 構建Copula函數

Copula可以解釋為相依函數或連接函數，是把多維隨機變量的聯合分布用其一維邊際分布連接起來的函數。以F(u,v)為例進行分析，其邊緣分布函數分別為F(u),F(v)，存在一個Coupla函數C(F(u)，F(v))使

F(u,v)=C(F(u)，F(v))。

(9)

由圖2可以看出，軸承的外圈徑向跳動和端面跳動接近于正態分布，在構建Coupla函數時可使用高斯Copula函數。存在高斯Copula函數使

F(u,v)=C(F(u),F(v))=

CG(F(u)，F(v)),

(10)

變換得

CG(F(u)，F(v))=Φ(F-1(u),F-1(v)),

(11)

式中：Φ為二元正態分布函數；F-1為一維正態分布函數的反函數。則

(12)

式中：ρuv為u，v的相關系數。

用極大似然函數方法對Coupla函數進行參數估計。通過CG(F(u)，F(v))的密度函數c(F(u)，F(v))和邊緣密度函數φ(u),φ(v)可以求出聯合分布函數F(u,v)的密度為

f(u,v,ρuv)=c(F(u)，F(v))φ(u)φ(v)，

(13)

則

(14)

其對數似然函數為

lnL(f(u,v,ρuv))=Πf(u,v,ρuv)=

(15)

通過計算可得到參數估計值ρuv=0.036 4。

同理可得：ρvw=0.191 2，ρwu=0.263 8。

由(8)和(10)式得到其概率密度模型為

(16)

由于隨機變量y1服從正態分布，其概率密度為

(17)

將(13)式代入(16)式得

(18)

根據表1中的數據，通過概率密度最小二乘法使等式兩邊最接近時估計參數λi(i=1,2,3)為λ1=0.276 1，λ2=-0.081 6，λ3=0.018 3。同理對(16)式進行參數估計可得κ1=0.067 5，κ2=-0.264 3，κ3=0.197 4。

將λi和κi代入(8)式和(16)式得變量之間的數學模型為

(19)

概率密度的數學模型為

(20)

從該模型中可以看出，在載荷作用下軸承內外圈溝道的相互作用對外圈徑向跳動影響最大，其次是外圈溝道與球之間的相互配合。而外圈溝道與球的相互作用對外圈端面跳動影響最大，其次是球與內圈的相互作用。

5 試驗驗證

為檢驗所建立數學模型的有效性和精確性，另外隨機抽取100套6204深溝球軸承進行試驗，部分數據見表4。模型計算數據與測量值的對比結果見表5。由表可知，數學模型模擬出來的結果與實際測量結果接近。

表4 測量數據

表5 實測與計算結果對比

6 結束語

將軸承視為多個零件組合在一起的系統，各零件相互作用、相互配合。軸承零件幾何精度及其相互作用影響著軸承的旋轉精度?；贑oupla函數分布估算法，通過研究軸承內外圈溝道和球的尺寸精度對軸承外圈徑向與端面跳動量的關系，用概率密度構建其數學模型，將滾動軸承旋轉精度與零件的幾何精度聯系起來，通過該理論可以對軸承的精度等級進行預測。但建立的模型僅適應于單一型號軸承旋轉精度的估算，其他型號軸承旋轉精度的估算需另外建立模型。