數形結合思想在高中數學教學中的應用

王健平

摘 要：數形結合思想作為數學問題研究中的重要思想方法，已經貫穿了整個中學數學教學的課堂中。“數”與“形”的相互轉化，相互結合更是中學生解題時應用的最為快捷，最為有效率的方法，在這個過程中理解并掌握數形結合思想，有利于提高學生的數學素養和解決數學問題的能力。本文以高中數學教材為基礎闡述數形結合思想在高中數學教學中的實際應用。主要通過對各部分知識中涉及到數形結合思想的典型題目的觀察、分析來探究數形結合思想在中學數學教學中的實際應用。

關鍵詞：數形結合思想 應用 中學數學教學

一、數形結合在中學教學中的應用

1.利用數形結合思想解決函數最值問題

函數的最值問題，一般情況是求某個代數式或者函數的最大值或者最小值。有些是利用函數的性質解決，有些是利用不等式（均值不等式等）知識解決。針對比較復雜繁多的式子，通常采用結合其幾何意義來進行分析和解決。以下是利用數形結合思想來解決函數最值問題的幾個例子：[1]

（1）轉化為兩點間距離問題：

案例1：求函數 的最小值

解析：觀察式子結構，從純代數的角度出發，很難求解，這時就應該考慮其幾何意義，利用數形結合思想將代數問題轉化為集合問題，巧用兩地那間距離公式，即轉化為：

則y表示x軸上的點p（x，0）到A（1，1），B（2，2）兩點的距離之和，用圖像表示即為：

令A（1，1），B（2，2），P（x，0），則問題轉化為在X軸上求一點P，使有最小值，由于AB在x軸同側，故取A關于x軸的對稱點C（1，-1），故最小值為點評：類似這種形式的函數求其最值，常采用這種找出對稱點，并利用兩點之間線段最短的形式來解。

（2）轉化為點到直線間距離問題：

案例2：已知，則的最小值是多少？

解析：可由代入消去變量x或y，再運用有關函數的性質必可求解。但這種的方法計算量較大，學生容易在計算的過程中出現錯誤，所以我們應該試著去嘗試從其幾何意義方面進行解決問題。注意到可以看作直線上的點（x， y）與點（1，2）間的距離，從而可以簡捷求解，如下圖所示：

從而最小值為：

（3）轉為直線斜率問題：

案例3：如果實數x，y滿足等式，那么的最大值是多少？

解析：看到可以讓我們想起斜率公式，所以不妨嘗試利用其幾何意義解決問題。明顯等式為一個以（3，0）為圓心，為半徑的圓。而則表示圓上點（x，y）與標原點（0，0）的連線的斜率。 那么問題可轉化為如下幾何問題：動點A在以

（3，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，如下圖：

由圖可見，當點A在第一象限，且與圓相切時，0A的斜率最大，經簡單計算，得最大值為：=

總之，“數”和“形”的結合是依靠題目特征，即所包含的幾何意義而存在的。在做題的時候，首先要確定此題目是否具備應用數形結合思想的特征，如果通過對題目的觀察、分析之后確定了思想，那么其次就要考慮題目中的哪些數量關系可以轉化成其幾何意義，找準了幾何意義之后就可以借助圖形來解決問題了。[2]

2.利用數形結合思想解決線性規劃問題

相性規劃問題是完全應用圖形進行解答的一種類型題目，每套高考題都會有填空題或者選擇題，已經成為了高考的熱點題 ，如果學生可以準確把握題目本質，即可解答。

案例：

設m>1，在約束條件下，

目標函數的最大值小于2，則m的取值范圍是多少？

解析：不等式組 所表示的可行域如圖所示：

當直線系過點時，

目標函數取得最大值，，

解得，又由，可得.

線性規劃這部分的題目類型分為三類，只要在直角坐標系中根據其約束條件準確的畫出可行域，再按照題目將代數式進行轉化，多數轉換成縱坐標的最值或者斜率的最值或距離的平方等，然后再進行計算。

二、運用數形結合思想應注意的問題

1.教師在應用數形結合思想應該注意的問題

（1）教師應具備傳授學生運用數形結合思想方法解題的教學意識

在明確教學目標的前提下，對教材進行更加深入的鉆研。課前充分的準備教案，并設想預期達到的效果。在授課的過程中，對每道例題都進行詳細的分析，并歸納總結出哪些題型可以運用數形結合思想，而且在講授的過程中重點提出，以便幫助學生理解、記憶。在課后，針對數形結合的題目要讓學生多做練習，鞏固對數形結合思想的認識和掌握。

（2）教師應注重培養學生對“數”與“形”之間的轉化

在學生對此部分類型題有所了解的基礎上，教師在授課的過程中每當遇到應用數形結合思想的題目就應該給學生鞏固加強一遍，來加深學生的印象。這樣會讓學生達到一種看到題目就會猜想其是否可以應用數形結合思想來解答，達到一種條件發射，這樣才可以讓學生更好的運用數形結合思想。

（3）教師應注重培養學生的直觀思維

授課過程中，教師不要死板的告訴學生其解題方法，而是通過讓學生觀察、猜想、探討得出結論。這個過程可以讓學生自己創建數學模型，產生直觀的視覺效果，從而達到目的。

2.學生在應用數形結合思想應該注意的問題

在運用數形結合思想的過程中，我們發現主要以數軸和直角坐標系為工具進行輔助解題。要想讓學生更好的運用數形結合思想大致可分為了解、理解、掌握、靈活運用等幾個步驟。在這個過程中對學生的自主學習能力要求較高，因為數形結合的類型題種類很多，這就要求學生要定期的對老師教授的方法進行歸納總結，而且課后要多加練習，鞏固知識內容。在鞏固練習的過程中，有能力的同學盡量做到對題目進行變式，活稍微修改題目條件看能否繼續應用數形結合思想解答，既培養了學生對數形結合思想的應用能力也增強了學生的創新意識。

總之，運用數形結合思想解題，對于學生來說不僅僅是完成一道問題，也會增強學生的認知結構，培養數學思維，提高解題能力和創新能力。尤其對于剛剛走入新課改的我們，有效的利用數形結合思想可以將以往復雜的純代數進行轉化，以繁化簡，抽象變具體，在這個過程中讓學生體會到數學的樂趣。

參考文獻

[1]宋玉軍.高中數學有效運用數形結合思想的教學研究[D].東北師范大學碩士學位論文，2010，5.

[2]劉興楠.數形結合思想在中學數學教學中的應用[D].遼寧師范大學碩士學位論文，2011，03.