數(shù)值求解一維時間—空間分數(shù)階擴散方程

李玉山（甘肅政法學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，甘肅 蘭州，730070）

1 引 言

進入21世紀以來,隨著分數(shù)階微積分在反常擴散、非牛頓流體力學(xué)、多孔介質(zhì)力學(xué)、粘彈性材料力學(xué)、地球物理、生物醫(yī)學(xué)工程、經(jīng)濟學(xué)等諸多領(lǐng)域的建模及廣泛應(yīng)用[1-6],分數(shù)階微積分的理論及應(yīng)用開始受到越來越多的關(guān)注,相關(guān)的結(jié)果也陸續(xù)出現(xiàn),參見Podlubny, Kilbas等人的專著[7、8]以及中文專著[9、10]。分數(shù)階反常擴散方程是由經(jīng)典擴散方程推廣而得到的。相比整數(shù)階擴散方程，分數(shù)階擴散方程更適合描述反常擴散現(xiàn)象，因為分數(shù)階導(dǎo)數(shù)能夠描述具有記憶和遺傳性質(zhì)的非均勻物質(zhì)[12、13]。

時間-空間分數(shù)階擴散方程

02α＜＜被運用在反常擴散模型中，通常,若考慮時間相關(guān)性或擴散的記憶性，就得到時間分數(shù)階擴散方程；若考慮空間相關(guān)性或非局域性，則得到空間分數(shù)階擴散方程；如果既考慮時間相關(guān)性，又考慮空間整體性，則得到所謂的時間-空間分數(shù)階擴散方程。對于時間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值求解，已經(jīng)有了很多的研究成果[15-20]。對于時間-空間擴散方程的數(shù)值求解，相對來說，研究的比較少，劉發(fā)旺等[21,22]給出了空間分數(shù)階拉普拉斯算子的處理辦法，但是時間項依然是整數(shù)階的。

本文將探討一維時間-空間擴散方程的數(shù)值求解，利用矩陣轉(zhuǎn)換技術(shù)處理空間分數(shù)階拉普拉斯算子和有限差分法處理時間分數(shù)階項，得到代數(shù)方程組，同時利用分離變量法得到解析解表達式，并且給出數(shù)值算例作比較。

2 問題的提出

考慮如下的齊次Dirichlet邊界條件的時間-空間分數(shù)階擴散方程的初邊值問題：

其中Γ為伽馬函數(shù)。

為階數(shù)為α(0 ＜α≤2)的空間分數(shù)階拉普拉斯算子，由拉普拉斯算子-（）Δ的譜分解來定義，定義如下：

設(shè)

那么對于任意的fγ∈F，定義分數(shù)階拉普拉斯算子為：

本文考慮給定f(x),p(t),g(x)和方程(1)-(3)，數(shù)值求解u(x,t)。

3 數(shù)值方法

利用矩陣轉(zhuǎn)換技巧求解齊次Dirichlet邊界條件的時間-空間分數(shù)階擴散方程的初邊值問題。先考慮標準的一維擴散方程：

取 正 整 數(shù) 1N＞ ,空 間 步 長 1/hN= ,ixih=(0iN≤≤)，引進標準的中心差分離散二階空間導(dǎo)數(shù)：

利用文獻[21,22]的結(jié)果，方程（14）-（16）可以離散為如下矩陣形式

取正整數(shù)1M＞,時間步長(0jM≤≤)，用隱式差分格式離散時間分數(shù)階項[20]：

將（19）寫為矩陣形式，代入（17）得：

利用Matlab軟件求解代數(shù)方程組（20），即可得到問題（1）-（3）的近似解。

為了驗證本文的方法，利用分離變量法，給出問題（1）-（3）的解析解如下：

其中,Eβ β為廣義的Mittag-Leffler函數(shù)，定義如下：

在計算（21）的過程中，只計算無窮級數(shù)的前50項來近似得到u(x,t)，利用Matlab程序[23]計算Mittag-Leffler函數(shù)時取精度為10-6。

4 數(shù)值例子

例:取T=1,初始值u(x,0)=g(x)=x(1-x),f(x)=sin(x),p(t)=t,u(0,t)=u(1,t)=0,γ=1,M=N=100。

圖1 α =1.2, β =0.3時的數(shù)值解、解析解以及誤差圖

圖2 α =1.8, β =0.3時的數(shù)值解、解析解以及誤差圖

圖3 α =1.2, β =0.7時的數(shù)值解、解析解以及誤差圖

圖4 α =1.8, β =0.7時的數(shù)值解、解析解以及誤差圖

表1 數(shù)值解和精確解CPU占用時間對比 單位（s）

圖1-圖4給出了例1中α=1.2,1.8和β=0.3,0.7的數(shù)值結(jié)果，并與解析表達式（3.15）做了比較，可以看出，本文中的方法很有效，并且具有較高的精度。由表1可以看出，隨著時間和空間離散點的增加，解析解的CPU占用時間遠高于本文提出的數(shù)值方法的CPU占用時間，這是由于利用解析表達式（3.15）計算時，牽涉到計算兩個無窮級數(shù)、數(shù)值積分以及Mittag-Leffler函數(shù)，在時效上有很大的缺陷，而本文提出的方法避免了這一缺陷，只需要在每一時間層解一個線性方程組，有較高的精度，且占用極少的CPU時間。

5 結(jié) 語

本文研究了一維具有齊次Dirichlet邊界條件的時間-空間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值求解，采用矩陣轉(zhuǎn)換技巧求解且給出了數(shù)值例子，并和解析解做了比較。數(shù)值例子表明，1）本文的方法是很有效的，具有較高的計算精度，可以處理實際問題；2）矩陣轉(zhuǎn)換技巧求解只需要求解線性方程組，而利用解析表達式求解計算比較復(fù)雜，且占用CPU時間較長；3）利用矩陣轉(zhuǎn)換技巧可以推廣到第二類、第三類邊界條件以及非齊次邊界條件的問題。