一類超線性Schr?dinger方程非平凡解的存在性

，，

隨著科學技術的不斷發展，非線性泛函分析能很好地解釋自然界各種現象，已成為現代數學的重要研究方向.非線性Schr?dinger方程來源于數學物理、數學生物和物理學等學科，目前研究[1,2]較為活躍.

本文研究下面超線性Schr?dinger方程解的存在性

(1)

h(x,t):RN×R→R+是一個連續函數,并且滿足

(h1) 當t≤0,h(x,t)=0;當t→0+,在RN中一致有h(x,t)=o(|t|);

(h4)在RN中,μ>2對?t≥0有0≤μH(x,t)≤th(x,t)；

1 證明

顯然 (1)的解是下面泛函的臨界點

(2)

由于泛函I(u)在一般的Sobolev空間H1(RN)沒有定義,所以我們進行如下變量變換

(3)

(4)

(5)

(6)

1.1 引理 1.1[3]

證明見文獻[4].接下來，建立山路引理的幾何條件[3].

1.2 引理 1.2 存在ρ0,a0>0,使得所有的‖v‖=ρ0,均有J(v)≥a0.

證明：令

則由(h1)(h2)和引理1.1得

(7)

(8)

因此存在常數C>0,使得

(9)

有

(10)

所以當‖v‖=ρ0時,選擇很小的ρ0,結論成立.

1.3 引理1.3 存在v∈H1(RN),使得J(v)<0.

事實上,因為G-1(v)≤v,由(h4)和引理2.1,當t→+∞時,我們有

(11)

結論得證.

由引理1.2和1.3的結果，根據山路引理，對于常數

其中Γ={γ∈C([0,1],H1(RN)),γ(0)=0,γ(1)<0},存在一個關于c的Cerami序列{vn},即J(vn)→‖vn‖)‖J′(vn)‖→0.

有如下引理：

1.4 引理1.4

對于任意的c>0,J的任意Cerami序列有界.

證明設{vn}?H1(RN)是一個Cerami序列.用反證法，假設{vn}無界，且滿足

J(vn)→c,‖vn‖→+∞,‖J′(vn)‖→0.

(12)

我們聲明

(13)

否則,對于一些常數δ>0,我們有

(14)

因此,根據(h3)和引理1.1,我們可得

(15)

利用引理1.1和(15)，我們有

(16)

顯然矛盾!所以(13)得到證明.

1.5 Lions集中緊引理

根據Lions集中緊引理,在空間Lr(RN)中,我們有wn→0,g∈(2,2*).

現在，我們定義一族線性泛函TnH1(RN)→R,如下

有

(17)

所以,{Tn}是一族定義在H1(RN)上的有界線性泛函.從共鳴定理知,{Tn}對n一致有界,即:存在與n無關的常數C>0,使得‖Tn‖(H1(RN))*

在(2.17)選擇φ=wn，在空間Lr(RN)上有wn→0r∈(2,2*),可以得知

(18)

顯然矛盾！因此原假設不成立，{vn}有界，引理1.4得證.

2 主要結論

(19)

因為{vn}是一個Cerami序列,根據引理1.4知{vn}有界，所以存在v∈H1(RN),使得H1(RN)vn→v.由Lebesgue 控制理論,得

(20)

所以，v是(1.1)的一個弱解.

下面證明v≡0,反證法：假設v=0,則對所有的R>0,有

(21)

即{vn}消失,通過Lions集中緊引理,對任意的r∈(2,2*),在Lr(RN)中vn→0,因為t=G(G-1(t))≤g(G-1(t))G-1(t),由引理1.1和(h1)-(h2),我們有

(22)

這意味著

(23)

由δ→0和q∈(2,2*)得

(24)

由

(25)

所以

(26)

由引理1.1,(24)和(26),當n→∞時,我們有

這樣得到了一個矛盾結果J(vn)→c>0.所以,存在V(x),R>0和{yn}?RN,使得

(27)

所以推得