一類系統譜的上界的不等式

吳 平

(蘇州職業大學 數理部，江蘇 蘇州 215004)

1 問題提出

設Ω?Rm是一個逐片光滑的區域，考慮的譜的估計，其中n是邊界?Ω的單位法向量，

(1)

根據相關方程理論知道問題(1)的譜都是正實數且是離散的，離散譜又稱特征值。

問題(1)可寫成矩陣式，設

問題(1)可寫成矩陣形式

(2)

設問題(2)的譜為：

0≤λ1≤λ2≤···≤λn≤···

對應的正交規范特征向量為u1,u2,···,un,···,即滿足：

(3)

利用分部積分，得：

(4)

設：

其中，

顯然，φik與uj正交(i,j=1,2,···,n,k=1,2,···,m)，且滿足：

于是，根據Rayleigh定理，得到下列不等式：

(5)

計算得：

(6)

(7)

由(7)式，有：

(8)

(9)

用λn替代(6)式中的λi，則(λn+1-λn)U≤I。

(10)

2主要引理

(11)

(12)

同理，

化簡，由分部積分法，Schwartz不等式，有：

(13)

由式(11)和式(13)，得：

既得引理1。

證明 由恒等式和分部積分法，得：

(14)

由(14)式，有：

(15)

由于：

(16)

(17)

(18)

由分部積分，得：

(19)

(20)

由(18)式，(19)式，(20)式和分部積分，有：

即得引理2。

引理3 對于φik和λi(i=1,2,···,n,k=1,2,···,m)，則：

證明 由φik的定義，有：

(21)

顯然：

(22)

由Schwartz不等式和引理1，有：

即得引理3

3 主要結論

定理1 如果λi(i=1,2,···,n+1)是問題(3)的譜，則：

23)

(24)

證明 利用引理3，再利用(10)式和引理2，我們可得定理1的(23)式，在(23)式右端用λn替代λi，可得(24)式。

定理2 對于n≥1，則：

證明 選擇參數σ>λn，由(9)式，得：

(25)

利用(22)式和Young不等式，得：

(26)

其中δ>0為待定常數。

由(25)式，(26)式和引理1，化簡得：

(λn+1-σ)U+V≤I，

(27)

(28)

為了使(28)式右端的值達到最小，取

(29)

將(29)式代入(28)式，得：

(30)

根據引理2，(27)式和(28)式，得：

(31)

其中σ>λn，選擇σ使(31)式右端等于零，即：

(32)

易知，f(σ)是在(λn,+)內單調減少連續函數，其值域為(0,+)，因此，存在唯一的σ使等式(32)成立。從(31)式知σ≥λn+1，用λn+1來替代等式中σ，即得定理2。

4 結語

數學學科研究的一個重要領域就是方程的特征值問題，偏微分方程及偏微分方程組特征值問題的研究就是其中很重要的一個方面。本文所研究的問題就屬于這一方面的內容，文中采用了分部積分、Rayleigh定理以及不等式估計等數學方法，得到了問題(1)的譜的上界的不等式。其結果應用廣泛，特別在物理學和力學等領域。