“三量法則”及在列方程中的應用

摘 要：許多學生對應用題感到害怕，實質是苦于找不到題中所蘊含的等量關系。具有三個量的類型的應用題，可根據“三量法則”提供的線索去設元和列方程。“三量法則”是“知一量，設一量，列得方程用第三量。”它不僅能為設元和列方程指明方向，而且能讓學生徹底理解何時該直接設元，何時該間接設元；對某些較難的應用題的解答大有幫助。

關鍵詞：三量法則；應用題；設元；列方程；指明方向；幫助

許多學生對應用題感到害怕，實質是苦于找不到題中所蘊含的等量關系；即使通過抓關鍵句、關鍵詞、關鍵字，通過畫線段圖，畫示意圖等也不能快速找到等量關系。基于此，本文介紹一個我自己在教學過程中總結的“三量法則”，本人認為它不僅能為設元和列方程指明方向，而且能讓學生徹底理解何時該直接設元，何時該間接設元；對某些較難的應用題的解答大有幫助。

一、 “三量法則”的意義

應用題的類型很多，有些應用題比較容易列方程，如勞力調配問題，和、差、倍、分問題等，等量關系題中給的比較明顯；而有些復雜的行程問題或者是工程問題等，等量關系題目給的不直接，或是不容易找到。怎么辦呢？別怕！“三量法則”能給你方向指引！

我們知道：行程問題主要涉及路程、速度和時間這三個量；工程問題主要涉及工作總量、工作效率和工作時間這三個量；像這種具有三個量的類型的應用題，我們可根據“三量法則”提供的線索去設元和列方程。

“三量法則”是：知一量，設一量，列得方程用第三量。

二、 例說“三量法則”的應用

下面我們通過《新課標人教版〈數學〉七年級（上冊）》（2012年6月第一版2014年6月第一次印刷）第99頁習題3.3的兩道題，給大家舉例說明“三量法則”的應用。

（一） 例題講解

例1 （第99頁習題3.3第10題）王力騎自行車從A地到B地，陳平騎自行車從B地到A地，兩人都沿同一公路勻速前進。已知兩人在上午8時同時出發，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12點，兩人又相距36千米。求A、B兩地間的路程。

1. 分析解釋：

在這個問題中，通過審題可知：

（1）時間是已知量，上午8時騎到上午10時，然后繼續騎到中午12點；從出發到上午10時騎行所用時間為：10-8=2（小時），從出發到上午12時騎行所用時間為：12-8=4（小時）——知時間。

（2）要求A、B兩地間的路程，如果直接設元，那么我們設A、B兩地間的路程為x千米——設路程。

（3）這樣，我們知時間，設路程，所以應該用速度關系來列方程。這就是：知一量（時間），設一量（路程），列得方程用第三量（速度）。

（4）根據“勻速前進”可知兩人的速度不變，因此兩人的速度和不變！利用“速度和=兩人前進的路程和時間”分別表示兩次騎行的速度和可列得方程。

（5）解法一：設A、B兩地間的路程為x千米，

依題意，得：x-3610-8=x+3612-8

（列方程就是用兩種不同的方式表示同一個量）

解得：x=108。

答：A、B兩地間的路程為108千米。

（6）如果我們間接設元，設這兩人的速度和為y千米/時，

①知一量（時間），設一量（速度），列得方程用第三量（路程）。

②而路程有何等量關系？A、B兩地的路程不變！利用“路程和=兩人前進的速度和×時間”分別表示A、B兩地的路程可列得方程。

③解法二：設甲乙兩人的速度和為y千米/時，

依題意得：（10-8）y+36=（12-8）y-36

解得：y=36

∴（10-8）y+36=2×36+36=108（千米）

答：A、B兩地間的路程為108千米。

（7）說明：在上述的兩種解法中，我們驚喜地發現：“三量法則”清晰地為我們指明了設元和列方程的方向，在分析清楚知道的量之后，另外兩個量中，任意一個用來設元，而最后一個量就用來列方程。多妙的事呀！

（二） 鞏固練習：請同學們先試著解答（習題3.3第99頁第9題）

有一些相同的房間需要粉刷墻面。一天3名一級技工去粉刷8個房間，結果其中有50m2墻面未來得及刷；同樣時間內5名二級技工粉刷了10個房間之外，還多刷了另外的40m2的墻面。每名一級技工比二級技工一天多粉刷10m2墻面，求每個房間需要粉刷的墻面面積。

1. 分析解釋：通過審題我們知道：本題可以看成工程問題，房間的面積屬于工作量，每名技工一天粉刷的面積為工作效率，工作時間都是一天。

（1）工作時間是已知量，都是一天時間。

①如果我們設每個房間需要粉刷的墻面面積為xm2，那么由“三量法則”，知時間，設工作量，列效率。

②如果我們設每名二級技工每天粉刷的墻面面積為y m2，那么由“三量法則”，知時間，設效率，列工作量。

（2）這樣，我們也有以下兩種列方程的思路。

①解法一：（直接設元），設每個房間需要粉刷的面積是xm2，

依題意，得：8x-503=10x+405+10

②解法二：（間接設元）設每名二級技工每天粉刷墻面y m2，則每名一級技工每天粉刷墻面（y+10）m2，

依題意，得：3（y+10）+508=5y-4010

三、 小結提升

1. “三量法則”：知一量，設一量；列得方程第三量。

2. “三量法則”能為設元、列方程指明方向。

3. 友情提示：列方程就是用兩種不同的方式表示同一個量。

作者簡介：江為德，男，1985年8月畢業于南平師專，1993年6月函授畢業于福建師范大學，現為中學數學高級教師，喜歡總結，在cn刊物上發表多篇論文，或有多篇論文獲省地市獎。本文是1994年任教于沿山中學時所總結的法則，現在想來還是值得書寫，另外2012年11月參加福建省第二屆中小學教師技能大賽獲三等獎，2005年被評為福建省中小學優秀班主任，2018年3月參加邵武市說題比賽獲一等獎……