數學變式訓練培養學生的思維能力

摘 要：數學變式訓練，即在數學教學過程中，對概念、性質、定理、公式以及問題進行不同角度，不同層次，不同情形，不同背景的改變，使其條件、結論的形式或內容發生變化，而本質不變，也就是所謂的“萬變不離其宗”。變式訓練有利于培養學生觀察、聯想、轉化、探索和多向發散的思維能力，有利于培養學生的歸納概括思維能力，且對學生的創新思維能力的培養極其重要。

關鍵詞：變式訓練；思維能力培養；一題多變

數學學習中常常出現“兩極分化”的現象，一部分學生反映數學難學，“題海戰術”和單一的教學方法是重要因素，學生在過程與方法和情感上無法體驗到成功，那么在知識與技能目標上就很難達到預期。而同樣的一道題，另一部分學生會認為極其簡單，這是因為他們已經掌握了數學相關的系統知識。數學學習不單單是教會學生解題，更重要的是幫助學生獲取數學思想，形成良好的數學品質?！笆谌艘贼~不如授人以漁”這句話充分說明了教師教學方法的重要性，而數學教學過程中的變式訓練就是激發和培養學生思維能力的教學方法。

一、 一題多用培養學生的思維品質

如果說一題多變培養學生的發散思維和創新思維，那么一題多用則是使知識系統化，提高歸納綜合能力，是培養應用意識的有效途徑。

例 某中學八年級一班共有48人，每兩人握一次手，一共需要握幾次手？

解：48×47=2256

2256÷2=1128

分析：這是我們初一學習的數學知識，每個人與班級余下47人握手，每個人握手47次，又由于彼此握手只是握手一次，因此得數需要除二。應用這個數學模型，能夠解決很多數學問題。

變式：n邊形中，共有多少條對角線？

答：共有n·n-32條對角線。

分析：n邊形中共n個頂點，每個頂點與不相鄰的所有頂點連接形成對角線。

應用同一個數學模型，我們很容易得到答案。同一模型我們還可以解決許多問題，如“八年級二班共有60人，圣誕節每位同學互贈賀卡，共需多少張卡片？”等等。這些問題形式上雖然千差萬別，但是所建立的數學模型是相同的，由點及面可見，一題多變可以訓練學生的歸納整理概括能力，與此同時，深化了學生的建模思想和應用數學模型的意識，訓練學生的聚合思維，讓學生把所學知識整合起來解決問題。

二、 一題多解培養學生的思維品質

在數學教學課堂上，中學教師運用得最多的變式訓練之一則是一題多解，一題多解和一題多用恰好相反，通過一道題來發散學生的思維，使學生能夠多角度分析問題，靈活運用已有知識，使學過的知識融會貫通，構建完整地知識系統。

下面以九年級的一道幾何題為例，淺談一題多解的應用與作用。

例 如圖一，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，∠D=60°，AB=6，BC=4，求CD的長度。

方法一：

解：如圖二，延長AB與DC交于點E

∵∠A=90°，∠D=60°∴∠E=30°（三角形三個內角和為180度）

∴AD=12DE（直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半）

在Rt△BCE中，同理可得：BE=2BC=8

∴AE=AB+BE=14

由勾股定理可得CE=43

在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2

即DE=2833

∵DC=DE-CE

∴DC=1633

分析：當問題的條件不足時，添加輔助線構成新的圖形，形成新的關系，使得看似分散的已知條件集中，把問題轉化為自己熟悉的知識。

方法二：

解：如圖三，過點A作BC的垂線交BC的延長線于點E，過點A作BC的平行線交CD于點F

∵∠A=90°，∠C=90°，∠D=60°∴∠ABC=120°（四邊形四個內角和為360度）

∴∠ABE=60°∴∠BAE=30°則BE=12AB=3

∵BC=4

∴AF=CE=CB+BE=7

在Rt△ADF中，由勾股定理可得：DF=733

同理可得：CF=AE=33

∴CD=CF+DF=1633

一題多解可以使學生多角度，從不同知識領域看同一個問題，而教師在講解了不同的解法之后，一定要引導學生比較哪種方法最簡便，哪種思路更加簡單快捷，更容易理解，拓寬學生的思維空間，提高學生的邏輯思維能力，培養學生的發散思維。

三、 小結

學習的起因是思考，思考起源于疑問，而疑問誘導創新。變式訓練是數學課堂中教師和學生良好地交流方式，也是學生與數學素養間的一道堅不可摧的橋梁。

參考文獻：

[1]張成文.數學教學中變式訓練與學生思維能力的培養[J].讀寫算（教師版）.素質教育論壇，2012（23）.

[2]趙華.變式訓練是提高學生數學思維能力的有效途徑[J].中學數學，2017（1）.

作者簡介：王婉心，四川省南充市，西華師范大學數學與信息學院。