線性變換與特征向量的幾何化教學探索

陳志彬 張愛平 王學斌

【摘 要】 在低維空間中用幾何圖形描述線性變換具有的特性，及特征向量在線性變換中具有的不變性，引導學生將研究低維空間的方法向高維空間推廣，獲得高維空間中研究特征向量數形結合的方法，讓學生的思維由形象思維過渡到抽象思維，加深學生對代數中抽象概念的理解，在教學中開展研究性教學，探索線性代數中幾何化教學的途徑。

【關鍵詞】 線性變換；特征根；特征向量；幾何化

Exploration of geometric teaching of linear transformation and eigenvector

CHEN Zhibin1， ZHANG Aipin2， WANG Xuebin3

（School of Science， Hunan University of Technology Zhuzhou Hunan， 412000， China）

【Abstract】 The properties of linear transformations and the invariance of feature vectors are described using geometric graphs in low dimensional space ， guide students to extend the research methods of low dimensional space to high-dimensional space ， obtaine the methodes of combining number and shape of characteristic vectors in high dimensional space， let the students' thinking transfer from image thinking to abstract thinking， deepen students' understanding of abstract concepts in algebra， carry out research teaching in teaching， and explore ways of geometric teaching in linear algebra.

【Key Words】 linear transformation； characteristic root； eigenvector； geometrization

【中圖分類號】 G642.2 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2018）07-0-03

1.前言

線性代數是工科院校的基礎理論課，是為學生學習專業課和將來從事專業工作打下必要基礎的課程，也是培養學生的思維能力和分析問題解決問題能力的一門學科，它屬于數學中的代數系列。在其內容描述上，線性代數通常有三種模式：抽象模式﹑代數模式和幾何模式。若模式不同，則使用的語言也不同，抽象模式使用形式語言，代數模式使用代數語言，幾何模式使用幾何語言。三種語言的發展由三種思維形式主導，綜合幾何思維形式用于幾何模式，解析算法思維形式用于代數模式，解析結構思維形式用于抽象模式。因此，這三種模式語言及其轉換讓學生覺得線性代數內容具有高度抽象性，使得抽象的內容與個人的知識結構聯系不上，在短時間內較難適應線性代數課程的教學。教學實踐表明：線性代數課程的教學難點集中在概念的抽象上，這些抽象的概念多數具有直觀的幾何背景，不足的是傳統的線性代數教材[1，2]中幾乎沒有提供直觀幾何背景知識的感性材料，將代數與幾何很好地聯系起來，做到數形結合。因此，這使得初學者在認識上難以將新知識與已學過的知識發生聯系，有效地產生知識遷移，反而因基本概念難理解常常產生畏懼心理，學習熱情受挫，喪失興趣，給學習線性代數造成障礙。

為了解決教學中的這些問題，教學的最有效辦法便是由低維空間到高維空間，將幾何化教學融入“線性代數”課程的教學中。其方法首先是從代數到幾何，結合線性代數教材中已有的教學內容，挖掘抽象概念中的幾何原型，賦予抽象概念的幾何意義，將運算﹑變換的過程轉化成對應幾何圖形的變化，建立初學者對線性代數的感性認識；其次，由幾何到代數，利用代數的方法針對性地處理一些復雜的幾何問題，讓學生感受代數處理幾何問題的方便與簡潔。這種由形象到抽象﹑再由抽象到代數的“形象與抽象”相互結合的教學形式，有助于學生加深知識的理解，增強幾何直觀分析問題的能力，促進思維的發展，有效化解線性代數課程知識體系中具有的抽象性，減少恐懼心理，提高學習興趣。

2.線性變換幾何化

線性變換是研究線性空間中元素之間的最基本聯系，是線性空間上的一種自映射。線性空間上的一個自映射被稱為它的一個變換或算子，但一個變換不一定就是一個線性變換，只有這個變換在線性空間上對線性加法運算封閉時才是線性變換。便于理解，下面先給出相關概念的定義：

定義2.1[3]設是數域上的線性空間，是的自映射，使對于中的任意向量都有中的唯一向量與之對應，則稱是的一個變換或算子，通常記為，稱為在下的象，是的原象。

定義2.2[3]如果數域上的線性空間的一個變換或算子具有性質

其中，則稱是的一個線性變換或線性算子。

定義2.3[3]設是線性空間的線性變換，中所有向量的象構成的集合，稱為的值域，用表示，即

中所有被變為零向量的原象構成的集合，稱為的核，用表示，即

這個知識點呈現給學生的問題是要確定線性變換，如果有確定它的方法，引導學生探究線性變換的結構，這無疑會有助于學生對線性變換概念的理解，把抽象的定義用代數算式表達。

下面以有限維線性空間上的線性變換為例探究線性變換的結構。首先，將向量用基組向量的坐標表示出來，再通過坐標把線性變換用矩陣表示，由矩陣具有的幾何背景將線性變換幾何化，讓學生直觀的理解線性變換。在有限維線性空間上，任意向量都可以用它的基向量組作唯一線性表示，根據線性變換確定基向量組的象，則能獲得中任意向量在下的象即獲得線性變換矩陣運算形式的等式。

設是維線性空間的線性變換，向量且是的一個基，則有

，（2.1）

（2.2）

其中為向量關于基向量組的坐標列向量，同時由（2.2）式得，中的任意向量的象由基象向量組唯一確定，再根據線性變換是上的自映射得基象向量仍屬于，于是基象向量組被基向量組唯一線性表示，故令

（2.3）

其中為基象關于基向量組的坐標列向量，通過矩陣運算形式，將（2.3）式簡單表示為

（2.4）

其中為階方陣，教材中[1]將矩陣稱為線性變換關于基向量組的矩陣。結合（2.1），（2.2）和（2.4）式，以基向量組、方陣和的坐標列向量的矩陣運算形式，得到象的代數等式如下：

（2.5）

在（2.5）式中矩陣的列向量是基象關于基向量組的坐標列向量，是向量的象關于基向量組的坐標列向量。（2.5）式是線性變換最關鍵的等式，當基向量組被確定時，它將定義2.1抽象的線性變換表成了一個具體的以矩陣運算形式相乘的代數等式。由（2.5）式可知：在理解線性變換的代數等式時，應該結合選定的基向量組理解矩陣的變化，方陣由中選定的基向量組唯一確定，若基向量組改變，則方陣亦改變，但同一個線性變換在不同基向量組下的矩陣存在著一種相似關系，這是一種等價關系，因此，一個線性變換對應著一類相似矩陣。在線性變換（2.5）式中，還隱含著到的一種坐標之間的線性對應關系，即原象的坐標對應著象的坐標，它是上的線性變換，用如下的代數等式表示：

（2.6）

在教材中常以矩陣（2.6）式的形式作為線性變換教學的主要內容，事實上它是伴隨一個具體的線性變換在選定基向量組時，在上原象的坐標與象的坐標相對應的變換；反之，若知道形如（2.6）式在上的一個坐標對應關系式，則在已知基向量組的條件下，亦可以反推得到上的線性變換。

例1 設且線性變換，求下列基向量組矩陣運算形式的線性變換

1）已知基向量組；

2）已知基向量組。

解 1）由得基向量組的象

其中矩陣

對于任意給定的向量，用矩陣運算形式得到線性變換：

（2.7）

2）同問題1）的方法推得基向量組的象

其中矩陣

（2.8）

針對實例中的問題1）與問題2），根據圖形變化及代數等式的表示引導學生從如下兩方面理解線性變換的概念：

一方面，（2.7）與（2.8）式表明：同一線性變換通過矩陣運算表示成了兩個不同的代數等式。因此，在線性空間中對于同一個線性變換，當選取的基向量組不同時，得到的代數等式一般也不同，但線性變換的兩個基向量組的矩陣與彼此相似，所求關系式的過程演示如下：

且

令，得矩陣與的關系式或。

推廣到一般有結論：同一線性變換不同基向量組的矩陣彼此都相似。

另一方面，將兩個線性變換與置于空間直角坐標系中，用圖形描述原象與象的變化得知：其象坐標的向量和由原象的坐標向量繞坐標原點在空間經過旋轉且伸縮得到，且都落在直角坐標平面上，所得到的象空間為二維平面向量空間，維數等于矩陣或的秩；結合線性空間的性質若用代數等式表示，則象與相應用矩陣和矩陣的列向量作線性表示，象空間的結構由這兩個矩陣的列向量確定，矩陣的列向量極大線性無關組的個數等于象空間的維數，與矩陣的秩相等。

以上實例針對低維的三維線性空間，對象空間具有的結構特點進行了分析，在教學中，如果將低維空間具有類似的這些特點，逐步地推廣到高維空間，這將有助于學生理解定義2.2與定義2.3。因此，在任意有限維向量空間中如下描述兩個集合及的代數與空間的幾何意義，學生也就不難理解了：

如果線性變換的基向量組矩陣為，則中象的坐標列向量由原象的坐標列向量繞坐標原點在空間旋轉經過伸縮得到，并落在由矩陣的列向量組所張成的多面體中；象集合對線性運算是封閉的，其維數等于矩陣的秩，是的線性子空間；若中的向量用坐標的代數等式表示，則它的坐標列向量是矩陣的列向量組的線性組合；線性變換的核對線性運算同樣也是封閉的，是的線性子空間，其維數等于齊次線性方程組解空間的維數，且關于維數有一個重要結論：原象空間的維數等于象子空間維數與核子空間維數之和。

3.特征向量幾何化

線性空間中有一些非零向量經過線性變換，得到的象向量與原象向量是線性相關的，這些向量與零向量構成的集合是的子空間，具有某些共同的特征，若用幾何化的方法將這些特征呈現給學生，抽象的代數等式則轉變成為向量幾何圖形，線性變換對應著幾何圖形中原象向量與象向量的變化。

下面首先定義具有此種特征的向量，爾后通過實例說明數形結合，再在空間中描述這些向量的特性。這將有利于促進學生思維的發展，掌握好線性變換中的不變量。

定義3.1[3]設是數域上的線性空間的線性變換，且對中某一數，存在非零向量，使得

（2.9）

成立，則稱數為的特征值，為的屬于的特征向量。

由線性變換的定義及（2.9）式表明：如果是的屬于特征值的特征向量，則任意數與的乘積也是屬于特征值的線性變換的特征向量，即等式成立；如果矩陣是線性變換關于基向量組的矩陣，當屬于特征值的特征向量用坐標形式表成時，由（2.9）式易得向量的坐標等式

（2.10）

其中是階單位矩陣，（2.10）式是一個齊次線性方程組。根據特征向量，則有結論：

齊次線性方程組（2.10）式有非零解，當且僅當行列式。

行列式是的一個次多項式，在教材中被定義為矩陣的特征多項式，方程被定義為矩陣的特征方程，的坐標向量稱為矩陣屬于的特征向量。

定義3.2[3]設是線性空間的線性變換，是的一個特征值，則的子空間

（2.10）

稱為的屬于的特征子空間。

例2 設是線性空間的線性變換，已知關于基向量組的矩陣是

求的特征值、特征向量和特征子空間。

解 易求出矩陣的特征多項式

于是，得到線性變換的特征值（二重特征值），.

當特征值時，齊次線性方程組的一個基礎解系為，，這兩個向量是矩陣的特征向量，矩陣屬于的全體特征向量表示為（且不同時為零）。根據與的特征向量之關系，線性變換屬于的兩個線性無關的特征向量為

，.

線性變換屬于的全體特征向量表示為

（且不同時為零）（2.11）

的特征子空間是一個二維向量空間，可表示為

（2.12）

若將（2.12）式用的基向量組作線性表示，則由（2.11）式可得特征子空間

（2.13）

當時，齊次線性方程組的一個基礎解系為，矩陣屬于的全體特征向量表示為（且不為零）。同理，可得線性變換屬于的全體特征向量

（且不為零）（2.14）

的特征子空間為

（2.15）

例2中（2.11）與（2.13）兩式表明：從幾何圖形觀察，特征子空間由的全體特征向量與零向量構成，特征向量都落在向量與所張成的二維平面上，而落在與所張成平面上的非零向量都是的屬于特征值的特征向量；屬于特征子空間中的向量與象向量共線，象向量由原象向量反向拉伸得到，向量的模長彼此相等。

根據（2.14）與和（2.15）兩式同上表明：特征子空間中的向量由的全體特征向量與零向量構成，與共線，而落在向量所在直線上的非零向量都是的屬于特征值的特征向量；屬于特征子空間中的向量與象向量共線，且象向量由原象向量同向拉伸得到，模長是的五倍。

以上的實例，詳盡地探討了三維線性空間中線性變換及其基向量組矩陣的特征值與特征向量的問題，以直觀感性的幾何變化建立學生對低維空間中特征向量的理解與認識，讓學生正確理解的特征向量與矩陣的特征向量之間既有密切聯系但又有區別。的特征向量是線性變換象空間中的量，而的特征向量則是的原象向量關于基組的坐標向量在坐標空間中的量，而在各自的空間中，兩者的幾何位置是一一對應的。因此，由定義3.1表述的特征向量所具有的代數與幾何意義，在三維空間與高維空間中是類似的，用幾何語言作如下描述：

維向量空間中的線性變換，在確定基向量組后，它對應著一個方陣，同一線性變換下不同基向量組的矩陣彼此相似；線性變換的過程就是把原象空間中的任意一個向量與對應的坐標向量在各自的空間中進行旋轉、伸縮，得到方向或長度多數不同的新向量；如果線性變換與它對應的矩陣分別對某些原象及原象的坐標向量只進行同向（特征值為正）或反向（特征值為負）或變成零向量（特征值為零）的伸縮變換，而無旋轉變化，則這些向量相應的就是線性變換的特征向量及它所對應矩陣的特征向量，對于非零特征值的特征向量，其伸縮比等于特征值的絕對值；特征向量的不變性表現為原象向量與象向量共線即是線性相關的，特征向量所在的直線及特征子空間在線性變換下保持不變。

4.結束語

在線性變換與特征向量教學中引入幾何化方法，由低維空間逐步過渡到高維空間，學會用幾何圖形的變化描述代數等式運算的過程，將抽象的概念形象化，獲得高維空間中研究線性變換與特征向量數形結合的方法，讓學生的思維由形象思維過渡到抽象思維，提高學生理解抽象概念的能力，這是一條探索線性代數教學的有效途徑。

參考文獻：

[1]周勇，朱礫.線性代數[M].上海：復旦大學出版社，2010.

[2]陳志杰.高等帶式與幾何[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]程云鵬，張凱院，徐仲.矩陣論[M].西北工業大學出版社，2001（2）：29-35.

[4]李尚志.從問題出發引入線性代數概念[J].高等數學研究，2006（6）：15-17.