巧用定義解圓錐曲線客觀題

江西省金溪縣第一中學 鄭蔚文

圓錐曲線的定義揭示了它們各自存在的條件、基本性質及幾何特征。橢圓、拋物線、雙曲線的定義既有相異的一面（第一定義），又有相同的一面（第二定義），定義就成了了解和研究圓錐曲線最重要的工具，下面不妨舉例說明。

例1 動點P為橢圓上運動，且保持AB∥x軸，則△AMB的周長l的取值范圍是（ ）。上異于頂點（±a，0）的一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點，動圓I與線段F1P、F1F2的延長線及線段PF2相切，則圓心I的軌跡為除去坐標軸上的點是（ ）。

A.拋物線 B.一條直線 C.雙曲線右支 D.橢圓

例2 已知點M（1，0），動點A，B分別在圖2中拋物線y2=4x及橢圓的實線部分

圖1

圖2

分析：易知點M為拋物線和橢圓的公共焦點，設A（x1，y1）、B（x2，y2），則根據(jù)橢圓和拋物線的定義可得|BM|=|AM|=x+1，1又|AB|=x2－x1，所以解＜4，選C。

例3 如圖3，已知拋物線x2=4y上的動點P在x軸上的射影為M，點A（3，2），則|PA|+|PM|的最小值為____________。

分析：延長PM交拋物線準線y=－1于點N，由拋物線定義知 |PN|=|PF|，則 |PA|+|PM|=|PA|+|PN|－ 1=|PA|+|PF|－ 1，要使|PA|+|PF|取最小值，點F、P、A三點必共線，此時|PA|+|PM|的最小值為|AF|－1=

圖3

例4 已知拋物線y2=4x，直線l的方程為x-y+4=0，在拋物線上有一動點P，P到y(tǒng)軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1+d2的最小值為（ ）。

分析：如圖4，設PM⊥y軸于M點，延長PM交拋物線準線x=－1于N點，根據(jù)拋物線的定義有|PN|=|PF|， 所 以d1+d2=|PF|+d2－1。 而 要|PF|+d2的值最小，只需過F作FH⊥l于點H，那么最小值為|FH|=選D也就很自然了。

例5 已知定點F1（－2，0）、F2（2，0），N是圓O：x2+y2=1上任意一點，點F1關于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是（ ）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓

分析：如圖5，當N取圓O的右半側時，因為直線NP為線段F1M的中垂線，所以|PF1|=|PM|，則 |PF1|－ |PF2|=|PM|－ |PF2|=|MF2|。連接ON，則ON為△MF1F2的中位線，所以|MF2|=2|ON|=2，即|PF1|－|PF2|=2。同理，當N取圓O的左半側時，有|PF2|－|PF1|=2，由雙曲線的定義知選B。

圖4

圖5

A.|OB|=e|OA| B.|OA|=e|OB|

C.|OB|=|OA| D.|OA|與|OB|關系不確定

分析：如圖6，設△PF1F2的內切圓I分別與 邊 PF2、PF1切于 點 C、D，延 長 F2B交 PF1于點E。由雙曲線定義可知|PF1|-|PF2|=2a，又所以|PF1|-|PF2|=|F1A|-|F2A|=2a，顯然點A為雙曲線的右頂點。又因為F2B⊥PI且PI為∠F1PF2的平分線，所以點B為F2E的中點，這樣，OB為△EF1F2的中位線，即兩次使用雙曲線的定義，可知|OA|=|OB|=a，選C。

圖6

因此，在求解圓錐曲線，特別是涉及焦點、焦半徑或準線等內容時，使用定義求解，往往能避免煩瑣的推理與運算，進而快速、準確地解決問題。