淺談立體幾何解題教學的三種意識

浙江省紹興魯迅中學 (312000) 陳少春 虞關壽

立體幾何作為培養學生空間想象能力的重要載體，在高考中一直有著非常重要的份量.另一方面學生從初中到高中，從平面幾何進入立體幾何，突然間就感覺到不適應.很多學生習慣于用平面幾何的眼光學習立體幾何，看不懂直觀圖，更不會根據題意畫出對應直觀圖.缺乏空間想象能力是學習立體幾何的最大障礙.筆者經過幾年的教學探究，覺得在立體幾何解題教學中有三種意識要滲透到位，也許對突破立體幾何障礙有些許幫助.

一、模型化意識

高中立體幾何課本中的線面、面面位置關系都是通過長方體這個大家非常熟悉的幾何體呈現的，也就是說長方體這個簡單完美的幾何體貫穿了高中立體幾何教學的始終，可以毫不夸張地說長方體是我們解決立體問題的“百寶箱”，因此在平時的概念教學中要利用好它來培養學生的空間感，同時在解題教學中也要重視它.

圖1

圖2

圖3

例3 (2013年“學數學”邀請賽)用四塊腰長為a，上下底邊長分別為a，2a的等腰梯形硬紙片，和兩塊長和寬分別為2a和a的矩形硬紙片，可以圍成一個六面體，則該六面體的體積為___________.

圖4

例4 (2015年浙江高考)如圖4，在A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M，N分別為AD,BC的中點，則異面直線AN與CM所成角的余弦值___________.

圖5

例5 已知A,B分別為直二面角α-l-β兩個半平面上的點，AB與這兩個半平面所成的角均為30°，則異面直線AB與l所成的角是___________.

圖6

二、降維意識

對空間圖形問題的研究經常都是借助或轉化為平面問題來解決的，我們教材中對三個空間角的定義與研究利用了這種轉化，教材中的各種位置關系的性質定理，也體現了這種轉化，平時的教學中要重視降維意識的滲透.因為這種轉化是解決空間圖形中許多問題的一種重要的思想方法，各省的競賽與高考中也頻頻考查，因此空間問題平面化的這種降維意識在我們的解題教學中要多加引導.

圖7

圖8

例7 (2016年溫州模擬17)已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線BD1和面對角線B1C上分別有兩動點E,F，G為底面ABCD上動點，求線段EF+EG的最小值___________.

圖9

解：如圖9，連結BC1交B1C于點P，連結BD，作EM⊥BC1于點M，EQ⊥BD于點Q.因為面ABCD⊥面BB1D1D，面ABCD∩面BB1D1D=BD，所以EQ⊥面ABCD，從而EG≥EQ；又由于B1C⊥面ABC1D1，EP?面ABC1D1，故B1C⊥EP，則線段EP為點E到面對角線B1C的距離，從而EF≥EP，EF+EG≥EP+EQ.又EM=EQ，則EF+EG≥EP+EM.

而EP、EM在平面BC1D1內，作面對角線B1C關

圖10

例8 (2016年浙江高考理14)如圖11，在ΔABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是___________.

圖11

解：由AB=BC=2,∠ABC=120°，可得AC=

三、升維意識

圖12

“空間問題平面化”是立體幾何里非常重要的思想方法，但是我們不能思維僵化，機械操作，有時候問題也需適度“復雜化”，線面問題轉化為面面問題，線線問題轉化為空間問題，棱錐“改造”成棱柱等.而我們教材中的線面平行和面面平行的判定定理中就隱藏著這種升維思想，我們的高考模擬卷里這種問題也不少，我們要多加關注.

解：過點D作DO⊥AC，垂足為O，則動點D′軌跡是以O為圓心，DO為半徑的圓.故問題可轉化為求圓錐上動點D′與定點B構成的動直線BD′與圓錐的軸AO所成角余弦的最大值.

圖13

圖14

例10 (2017年名校協作體)如圖14，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，在面對角線A1D上取點M，在面對角線CD1上取點N，使得MN∥平面AA1C1C，當線段MN長度取到最小值時，三棱錐A1-MND1的體積為 ___________.

解：作MM′⊥AD，NN′⊥DC,連結M′N′.因為MN∥平面AA1C1C,NN′∥平面AA1C1C，所以平面MM′N′N∥平面AA1C1C，平面MM′N′N∩平面

ABCD=M′N′,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,

圖15

圖16

解：求點A1到平面的距離本質上是要求直線AA1與平面α的線面角θ的正弦值，又因為AA1⊥面ABCD，故問題可轉化為求平面ABCD與平面α的二面角的余弦值.