數學建模中的常用最小二乘方法

摘 要 在數學模型的構建過程中經常會遇到對測量、收集、計算數據的分析、整理等問題。解決這類問題的常用方法便是借助計算程序，把大量實驗數據進行可視化或者函數化處理，以期得到直觀認識。其中最小二乘法是數據擬合問題中比較常用的一類方法。本文總結對比了最小二乘近似（LS）與移動最小二乘近似[1]（MLS）兩類常用最小二乘方法。通過數值實驗發現，LS相比較而言相對粗糙，不能有效表達大波動奇異數據的特征，建議在數學建模工作中處理該類問題的時候采用MLS方法。

關鍵詞 最小二乘近似 移動最小二乘近似 數學建模

0 引言

LS方法因為其出現時間較早、相關理論成熟，matlab也有可以直接調用的函數，是目前使用最為廣泛的一類擬合算法工具。隨著其它研究的需要，學者們又由LS方法進一步演繹出了如MLS法、偏最小二乘回歸[2][3]（PLS，partial least squares approximation）等其它的最小二乘類方法。MLS法、偏最小二乘回歸兩個方法的事前近似函數構造原理不同，但在最優結果的計算上均使用了最小二乘原理。因為有可以直接調用的函數或成熟的程序，在現行的數學建模中使用的比較多的是LS法和MLS法。

1 基本原理

1.1 最小二乘近似

LS法最早被用來研究兩個變量（）之間的相互關系，從中得到較理想的擬合直線（函數）。通常在實驗過程中得到一組數據對，希望由該組數據尋找出一個理想的直線方程，使得該數據對對應的點列到這一直線距離的平方和最小。因為該線性最小二乘問題是凸的，故存在唯一的封閉解。在科學實驗數據的處理、分析中，LS可以將實驗數據擬合出給定次數的多項式函數。

LS的目標擬合函數格式為，為擬合多項式的最高次數。在matlab中常用的函數是polyfit，其調用格式為：

其中輸入部分（）為實驗數據、為給定的擬合多項式的最高次數。輸出部分中為所得擬合多項式由高次到常數項的系數；為結構數組，包括（系數矩陣的分解的上三角陣），（自由度）和（擬合誤差平方和的算術平方根）。

若想直接擬合成多項式形式，可以采用下面的復合函數：

其中''表示擬合函數自變量為。

需要注意的是，LS模型由于其自身要求，只能擬合最高次數小于有效實驗數據數階數的問題，即最小二乘法只能用來處理超定問題。

1.2 移動最小二乘近似

MLS方法突破了多項式擬合的局限，目標擬合函數的格式為，其中 為給定的基函數，為基函數的項數，為待定系數函數。對目標擬合函數與實驗數據結點采用加權最小二乘近似。取的最小值，從而求得目標函數中的系數函數，回代，得到目標擬合函數。其中N為數據結點個數，為緊支撐權函數，[4]它的支撐域僅在結點附近。

正是由于緊支權函數的引入才使得MLS能夠較好地體現擬合的局部特性。故在MLS中緊支撐權函數、基函數系的選擇十分重要，也正由于影響因素的增多，使得MLS在真正數值實現中需要設置一些經驗參數。

目前在matlab中還沒有MLS方法的軟件包，有興趣的同志可以翻閱一下張雄、劉巖編著的《無網格法》或王建明、周學軍譯的《無網格法理論與程序設計》等書籍的相關章節，里面列有對MLS介紹及相應的matlab環境下的程序及.m文件，計算時可以直接復制運行。

2 數值實例

2.1 數據擬合

例1，表1 為某商品的折舊價格調查資料，以表示使用年數，表示相應年份二手市場價格，分別用LS和MLS擬合與之間的關系見圖1。

例2，表2為一組實驗數據，其中含有奇異數據（時），現給出分別采用LS與MLS擬合結果見圖2。

2.2 誤差分析

就上述兩個例題，針對兩種擬合的誤差狀況給出分析數據見表3。

3 結論

由表3可見：對于波動變化不劇烈的數據，采用兩種方法的擬合效果相當，和方差差別不大；對LS而言，提高擬合多項式的次數不一定能有效提高擬合精度；對于含有奇異點的數據進行曲線擬合，MLS較LS優勢明顯，和方差相差約倍。若建模過程中，實驗數據帶有奇異點，建議采用更能夠體現局部特征的MLS。

與LS相比，MLS問題內容更加豐富，其中有很多的問題可以進一步研究、完善，近年來該方面的研究[5] [6]引起了一些學者的關注，其應用領域[7]也越來越廣泛。同時，MLS是數據擬合問題及數值近似問題常用的構造方法，有興趣的同志可以進行深入研究。

參考文獻

[1] 程玉民.無網格方法（上）[M].北京：科學出版社，2015：19-20.

[2] 李雪.一種改進的偏最小二乘回歸方法研究[J].儀器儀表用戶，2017.24（5）；16-19.

[3] 丁立.單因變量偏最小二乘回歸程序設計及其應用[J].勘察科學技術，2015（1）：47-51.

[4] 趙國群，王衛東.金屬塑性成形過程無網格數值模擬方法[M].北京：化學工業出版社，2013：40-43.

[5] 韓加坤.無網格法中MLS參數的選取[J].數學學習與研究，2016（23）：145-145.

[6] 冷亞洪.移動最小二乘代理模型支持域半徑的優化方法[J].計算機科學，2016（S1）：95-98.

[7] 周研，雙遠華.基于最小二乘無網格法的金屬變形過程模擬[J].太原理工大學學報，2016（3）：294-298.