基于Hawkes因子模型的股價共同跳躍研究

劉志東,鄭雪飛

(中央財經大學管理科學與工程學院，北京 100081)

1 引言

Merton[1]較早地提出了擴散-跳躍模型，他在經典B-S期權公式的理論框架下加入了跳躍項，認為跳躍是一些特殊信息引起價格的不連續變動。Barndorff-Nie1sen等[2-3]利用已實現變差(Realized Variance，簡稱為RV)和雙冪次變差(Bipower Variance，簡稱為BV)的漸進分布來檢驗跳躍，Andersen，Bollerslev和Dobrev[4]、Lee和Myland[5]提出了局部波動率的概念，提出了能夠識別準確時間的跳躍檢驗方法。在ABD、LM跳躍檢驗的基礎上，如果同時對多只股票進行跳躍檢驗，則可以把相同時間發生的跳躍稱之為共跳(Cojumps)。對共跳問題進行分析有助于對系統性風險、市場風險傳導等問題進行深入研究。其他對于共跳的研究是從二維資產價格過程開始的，如Barndorff-Nie1sen和Shepharcl[6]、Gobbi和Mancini[7]、Jacod和Todorov[8]等。Bollerslev等[9]在二維資產價格研究的基礎上提出了BLT共跳檢驗，他們在利用BN-S方法檢驗股票和由個股組成的等權重指數跳躍時發現，個股跳躍頻率比指數跳躍頻率要高，而且個股之間的跳躍和指數之間的跳躍沒有明顯的關系。作者進而提出了基于CP統計量(Cross Product)的共跳檢驗方法，這種方法的邏輯是，如果一個可分散風險組合發生了跳躍，這個跳躍只能是由于資產同時跳躍產生的，即共跳。Liao Yin等[10]基于BLT提出了First-High-Low-Last方法。這種方法本質與BLT類似，但是用到了每個時間區間的開盤價、最高價、最低價以及收盤價。作者利用這四種價格的線性組合對共跳進行檢驗，并且證明利用這種方法得到的估計量相比于BLT方法中的估計量更為有效，均方根誤差更小。

Bajgrowicz等[11]提出了基于錯誤發現率(FDR)的閾值跳躍檢驗，作者認為目前的非參數檢驗方法由于多重檢驗問題而存在大量偽跳。隨后，作者基于高頻數據進行了跳躍檢驗，結果顯示，之前的非參數檢驗結果90%左右均是偽跳，沒有顯著的證據說明跳躍存在聚集性，不能拒絕“泊松跳”的假設，并且沒有觀察到所有樣本股票共跳的現象，說明跳躍風險是可以分散的。在描述跳躍特征方面，目前主流的理論和實證研究認為純跳躍是復合泊松過程。泊松跳躍過程的優勢是解析式可處理，然而，現實中不僅單個資產價格中的跳躍過程呈聚集性，而且，隨著金融市場的聯系越來越緊密，不同資產價格跳躍發生的時間也表現出某種同步性。這種同步性最明顯的例子是2010年5月6日發生在美國市場的“閃電崩盤”。根據美國證券交易委員會和美國商品期貨交易委員會的統計，“閃電崩盤”最初發生在EMiniS&P 500市場價格急速下跌，然而，在非常短的時間，這種價格下跌向ETFs、股票市場指數及其成份股、衍生品擴展和傳播，道瓊斯工業平均指數在數分鐘之內下跌9%，這種傳染效應在流動性市場極其迅速，導致很多資產價格出現明顯的同步不連續跳躍。這些系統性事件不能被假設價格跳躍是獨立過程的泊松模型描述。Gilder等[12]采用高頻數據發現股票趨向于系統性共跳的證據，拒絕了股票跳躍發生時間獨立的假設。

基于這些明顯偏離獨立泊松模型的經驗和事實，有必要采用合適模型表示資產跳躍過程。Bormetti等[13]認為“泊松跳”不足以解釋觀察到的資產價格跳躍聚集性和大量共跳存在的事實，建議將Hawkes過程應用于跳躍和共跳研究。Hawkes過程最早由Hawkes[14]提出，之后主要應用于地震數據的研究。在Bormetti等[13]之前，已經有學者開始將Hawkes過程應用于數理金融和計量經濟學領域的研究。例如，Bowsher[15]將Hawkes過程應用于金融時間序列分析中，Bacry等[16]將Hawkes過程應用到對一維和二維逐筆數據的方差建模中，借此來研究微觀噪聲(如均值回復)和Epps效應等。

Hawkes過程由于其跳躍強度是時變的，這一特性可以很好地解釋跳躍的聚集性。但是，直接將單個Hawkes過程擴展到多維資產過程時卻存在問題，其中之一是多維Hawkes過程需要估計的參數呈指數形式上升。A?t-Sahalia等[17]采用多維Hawkes模型描述跳躍擴散過程，來刻畫在危機期間的金融傳染，并給出在此條件下對數效用投資者最優消費和投資問題，采用廣義矩估計方法對模型參數進行估計。但是該方法由于參數估計計算效率較低，使其應用中維數受到限制，多數情況下只能用來研究兩種資產跳躍。而采用因子Hawkes模型可以解決此問題。

目前，國內學者對于共跳的研究較少。唐勇和林欣[18]采用常用的日內跳躍檢驗方法，構建了共同跳躍(協)方差和連續樣本路徑(協)方差，并擴展HAR-RV-CJ模型，將(協)方差、共同跳躍置于統一波動模型框架內。通過對上證綜指和深圳成指高頻數據的實證分析，結果顯示兩指數共同跳躍占其各自的跳躍比例較大，且基本上都是同方向的跳躍；共同跳躍(協)方差和連續樣本路徑(協)方差對已實現(協)方差的影響都是顯著的，考慮共同跳躍影響有助于提高(協)方差建模的準確性。在跳躍、共跳和宏觀信息方面，趙華和秦可佶[19]采用非參數跳躍識別方法，利用滬深300指數的高頻數據，對中國股市跳躍性和宏觀信息沖擊的關系進行研究。

為此，本文擬引入Hawkes因子模型描述系統性的共跳，假定存在一個無法觀測的點過程表示市場因子，當該因子發生跳躍時，每種資產以不同的概率發生跳躍。通常每種資產價格跳躍也包含異質性點過程。為了捕捉跳躍聚集性，本文采用Hawkes過程對點過程建模。并給出如何對模型進行估計，以及如何區分系統性跳躍和異質性跳躍。并通過實證和仿真研究展示該模型能夠在縱向和橫向截面上重現多資產跳躍過程。

2 共跳檢驗方法比較

共跳檢驗方法可以分成兩大類，一種是基于單個資產跳躍檢驗的共跳檢驗，這包括：BN-S檢驗方法、ABD和LM檢驗方法。由于這些方法在研究單個資產跳躍中應用較多，本文在這里不再詳細贅述，具體可參見相關文獻。本問在這里重點介紹基于多資產的共跳檢驗方法。

考慮一維資產的價格過程，通常認為，資產的對數價格pt滿足以下過程：

dpt=μtdt+σtdWt+κtdQt

(1)

其中，μt表示漂移系數，在研究高頻數據時，一般假設漂移系數為0。σt表示擴散系數，Wt是一個標準布朗運動，κtdQt在這里表示一個純跳列維過程，通常假設這個列維過程是一個復合泊松過程，本文用κt表示跳躍的幅度，其跳躍強度是常數，而跳躍的幅度是獨立同分布的。

研究中，對于單個資產，每天可觀察到的等時間間隔的對數價格有M+1個，時間間隔為δ，那么，第t天第j個收益可表示為:

(2)

這樣得到了每個交易日M個收益的收益序列。

定義交易日t的已實現變差RVt(Realized Variance)為：

(3)

在有跳躍的情況下，當M→∞時，RVt將收斂于積分變差和跳躍平方之和：

(4)

其中，Nt表示第t個交易日跳躍的數量。

2.1 BLT方法

BLT方法是在BN-S檢驗方法的基礎上建立起來的。首先，Bollerslev等[9]構建了n只股票的等權重組合(Equiweighted Portfolio)：

(5)

將BN-S中的RV、BV概念移植到等權重組合中：

(6)

相應的還有：

BVEQW,t=

(7)

(8)

這里為了方便表示，本文應用了不同的符號，當n足夠大時，上式中的第一項可以忽略，第二項的系數近似等于1，因此：

(9)

為了檢驗共跳，Bollerslev等[9]提出了CP(Cross Product)統計量：

(10)

CP統計量描述了多只個股之間兩兩協同運動情況，將t交易日的CP統計量相加，得到：

(11)

當n足夠大時，第二項可以忽略不計，這說明cpt對單個股票的特異性運動是不敏感的，而對組合的同時性運動即共跳是敏感的，當組合出現跳躍時，有理由相信cpt的值將變大。

從理論上很難證明CP統計量的分布情況，本文采取靴攀法(Bootstrap)，首先將CP統計量標準化：

(12)

其中，

(13)

(14)

然后利用蒙特卡羅模擬確定該統計量在要求的顯著性水平下的閾值。

2.2 FHLL方法

BLT方法只利用了每個交易區間的開盤價和收盤價，Liao Yin和Anderson[10]在BLT方法的基礎上提出了FHLL方法。FHLL方法利用了每個交易區間的開盤價ptj-1、收盤價ptj、最高價htj-1和最低價ltj-1。在前面的BN-S跳躍檢驗方法中，RVt可以表示為：

(15)

(16)

基于以上理論，FHLL方法構建了更加有效的估計量：

(17)

本文將FHLL方法中的統計量記為FHLLC，和CP統計量類似，可以構造相應的檢驗統計量：

(18)

其中，FHLLVEQW,t是等權重組合的FHLLV值，在構建組合時，首先分別計算每個時刻所有樣本股開盤價、收盤價、最高價、最低價的平均值，然后以平均值計算出組合在每個時刻的FHLLV值，再將每個交易日的FHLLV值累積求和，得到組合一個交易日的FHLLVEQW,t的值。

同樣，將FHLLC統計量標準化，得到：

(19)

其中，

(20)

和BLT方法類似，FHLL方法統計量的閾值也需要通過蒙特卡羅模擬進行計算。

3 共跳檢驗的實證分析

3.1 數據描述

本文從滬深300成分股中選取了50只股票，這些股票在2013年1月21日至2016年1月21日三年的時間跨度中均沒有停牌，交易記錄是連續完整的，本文所有交易高頻數據均來自WIND金融咨詢。本文通過兩個指標來確定較為合適的數據頻率，一是Andersen等[20]提出的波動率特征圖，即通過計算不同數據頻率下日平均RV，選擇使得RV較為平穩的數據頻率，如果RV相對平穩，則說明微觀噪聲的影響已經弱化。二是零收益占比，如果數據中出現較多的零收益，會對跳躍檢驗產生影響。本文計算了部分樣本股的日平均RV和零收益占比，結果顯示，數據頻率大于5分鐘之后，其日平均RV較為平穩。各股零收益占比隨著數據頻率的降低顯著下降，數據頻率大于5分鐘之后，零收益占比較為穩定，大部分在5%以下，值得注意的是，樣本股中市值最大的個股工商銀行(601398)交易較為活躍，零收益占比較高，但5分鐘頻率數據比1分鐘頻率數據的零收益占比下降了近50%。結合A?t sahalia等[21]的研究，為兼顧數據信息量和微觀噪聲影響，本文選擇5分鐘數據頻率。

本文從WIND獲取了50只股票除權除息之后的5分鐘高頻數據。由于每日開盤數據受到隔夜信息的影響，本文剔除了開盤價，價格序列從每個交易日的9點35分開始，到15點整結束，每只股票每個交易日有48個觀察數據。2016年開始試行熔斷機制，導致市場在新年第一個交易日就經歷了熔斷，隨后馬上再次出發熔斷。為了避免熔斷對數據的影響，本文剔除了兩次熔斷發生當日的交易數據，即2016年1月4日、2016年1月7日，處理后，每只股票共計728個交易日、34944個交易價格。

這50只樣本股覆蓋了25個不同行業，本文計算了樣本股2015年最后一個交易日的市值，最低為天津港189億元，最高為工商銀行15751億元，從行業和市值的分布情況看，樣本股對于市場具有非常大的代表性。

由于高頻數據存在波動率的日間U效應，即在開盤和收盤階段，股票價格的波動率要大于其他時間，因此需要對數據進行處理，消除這種效應對跳躍和共跳檢驗的影響。根據Bormetti等的方法，本文將日間收益數據除以一個日間效應因子。

3.2 LM跳躍和共跳檢驗結果

50只樣本股的LM跳躍檢驗結果顯示，每只股票平均發生了103次跳躍，占數據總數的2.94%，最少的個股發生了51次跳躍，最多的個股天津港(600717)則發生了171次跳躍。巧合的是，跳躍發生最多的是市值最小的公司。本文統計了這些股票跳躍的方向、跳躍時間等信息，這里選取了10只股票的跳躍結果。

表1中選取的10只股票，跳躍次數從66次到171次不等，這里的跳躍概率由跳躍數量與總收益數據量相除得出，可以看到，這10只股票的跳躍概率最低為0.19%，最高為0.49%，以最高概率為例，大概200個收益序列中會出現一次跳躍，說明跳躍事件的發生頻率是較低的。另外，平均跳躍收益統計了當跳躍發生時該股票在跳躍時間間隔的收益絕對值的平均值，本文挑選的10只股票中，平均跳躍收益最大的是機器人(300024)，達到了3.34%，這只股票來自創業板，這與市場直觀印象是一致的：創業板的股票波動性更大，其他個股的平均跳躍收益基本在3%以下。

表1 部分樣本股跳躍檢驗結果

本文研究了10只股票的跳躍方向，將跳躍發生時刻是正收益的跳躍稱為正向跳躍，將跳躍發生時刻是負收益的跳躍稱為負向跳躍，可以看到，10只樣本股跳躍中大部分是正向跳躍，正向跳躍平均占比達到了74%，最低占比比例為59.4%，最高占比比例為83.08%，說明在上漲行情時，市場更容易追漲，使得價格在短時間內迅速拉升，觸發跳躍。另一方面，由于我國股市存在漲跌幅限制，對于利好消息的反應不能一步到位，有可能是多個漲停才能徹底消化，這也進一步持續了上漲行情。但是本文注意到，雖然負向跳躍的數量占比很低，但是，本文選取的10只樣本股中，只有兩只股票的負向平均跳躍收益小于正向平均跳躍收益，有三只股票正負向平均跳躍收益基本相同，而有五只股票負向平均跳躍收益明顯大于正向跳躍時的數值。本文認為，相比于上漲行情，引起快速下跌行情的情況較少，但是這些情況都比較嚴重，如有時個股會遭遇“黑天鵝”事件，這種事件的觸發幾率很小，但是觸發后對價格的負面影響很大。

對于共跳，很多學者將兩只或以上資產價格同時跳躍即作為共跳來處理，如Lahaye等[22]、Gilder等[12]，當發生共跳時，用公式表示如下：

(21)

其中，Ⅱ{Jumpt,i,j>0}稱為共跳指示函數，當同時發生跳躍的資產大于2時，指示函數取1，不滿足條件時，指示函數取0。Gilder也將這種判別標準稱為“超越數”規則。

在個股LM跳躍檢驗的基礎上，本文依照上述規則整理出了共跳的情況，本文將這種檢驗稱為LM共跳檢驗。

表2統計了不同數量股票共跳的情況。一共觀察到709次共跳，占數據總數的2%，這一比例要大于單只股票跳躍所占比例。同時有4只股票或以上跳躍的情況有146次，而至少20只股票一起跳躍的次數有9次，最多的情況發生在第一次熔斷之后的首個交易時段，即2016年1月5日9點35分，一共有42只股票同時發生跳躍，占所有樣本股票的84%；其次是第二次熔斷之后的2016年1月8日9點35分，有30只股票同時發生跳躍。由于本文將熔斷發生的兩天交易數據剔除，可能導致前后交易數據連續性受到影響，因此本文單獨將這兩次大規模共跳定義為熔斷共跳。

表2 LM共跳檢驗結果

針對20只股票以上的共跳情況，本文進行了詳細分析，表3列出了這9種情況的具體時刻。9種情況中，除2016年兩次熔斷共跳外，2015年發生了5次，2013年發生了2次，2014年沒有觀察到這種情況。本文搜集了這9種情況發生時市場表現和重大事件，發現這9種情況都是在市場暴漲暴跌狀態下發生的:兩次熔斷共跳、三次股市暴跌、兩次深V反轉、一次大漲、一次極端事件。從2014年7月開始，我國股市進入了上漲行情，滬深300指數從2014年7月1日的2164.56點一路上漲到2015年6月9日的5380.43點，漲幅高達148.6%，隨后股市開始斷崖式下跌，2015年8月26日，跌到2952.01點，隨后市場開始小幅反彈，但進入2016年，又開始新的一波下跌潮。2015年經歷了完整的市場動蕩，因此大規模股票共跳次數最多。這說明市場在極端情況下，個股表現和市場關聯度非常大，極易遭受市場情緒影響，這也解釋了為什么大規模共跳發生時，個股跳躍方向基本是一致的，(除兩次熔斷共跳有跳躍方向不一致的情況發生外，其余情況共跳發生時，所有跳躍股票的跳躍方向是一致的)當市場趨勢形成時，更容易出現追漲殺跌的情況，導致大多數股票價格隨著市場行情方向運動。

表3 20只以上股票共跳情況

另一方面，2015年股市經歷了多次暴漲暴跌，如上證綜指跌幅超過5%的共有12次，檢驗結果只記錄到這12次暴跌中的3次，說明并不是每次暴跌都會引起多只股票共跳，如果下跌行情是持續緩慢的，則價格路徑也可能是連續的，并非能造成跳躍。相比于暴漲，暴跌可能更容易造成大規模共跳，因為2015年上證綜指漲幅超過3%的情況有19次，但檢驗結果只記錄了一次2.97%的漲幅情況。

本文對LM共跳的日間時間分布進行了分析，結果顯示，開盤時間共跳數量最多，9點35分共跳占所有共跳的4.9%，達到了35次，而每個時間段的平均共跳個數是14次，開盤半小時內的共跳占全部共跳的14.5%。另外，由于我國股市有午間休息時間，下午13點開盤后，共跳數量也有所上升，下午開盤半小時內發生共跳占比達到了16.4%，高于上午開盤半小時內的共跳數，但各個時間段共跳數量分布相對平均，這說明市場對午間休息時積累的信息反應沒有隔夜信息那么多，釋放速度也較為緩慢，沒有導致開盤即大量共跳的現象發生。其他時間段中，臨近尾盤的14點30分共跳是最少的，隨后共跳數量有所上升，但收盤階段半小時的共跳只占所有共跳的10.5%，說明尾盤時間個股波動沒有開盤時間劇烈。

3.3 BLT共跳檢驗情況

在討論BLT共跳檢驗結果之前，首先要通過蒙特卡羅模擬確定BLT檢驗的閾值。

利用Euler分解模擬出50×1維的純隨機擴散過程(即沒有跳躍項)，且漂移率為0，方差協方差矩陣為Σ=CC′,且模擬出的資產對數價格滿足如下公式：

dps=C′dW(s)

(22)

這里，本文用ps表示50只股票的對數價格運動路徑，W(s)是50×1維的相互獨立的標準布朗運動。方差協方差矩陣Σ則采用了50只實證股票的對應數據。本文設置每天的時間為T=1，K表示每天模擬的收益數量，則每一個時間間隔表示為Δt=1/k，N表示一共模擬的天數。

首先生成Z1,Z2…Zk個相互獨立的符合標準正態分布的R50隨機向量，設置布朗運動的初始狀態W(0)為50×1的零向量，則有：

(23)

對數資產價格的初始狀態p0設置為50×1的零向量，則有：

pth+1=pth+C′W(th+1),h=0,…,K-1

(24)

這樣就模擬出50只股票的對數價格路徑，然后計算出相應的收益數據。

這里，每次模擬100個交易日的數據，再將這個過程重復100次，如果模擬5分鐘數據，則每天生產48個交易價格，每天有47個收益數據，一共47萬個檢驗統計量的原分布，然后計算出0.1%顯著性水平下的臨界值。從模擬情況下的檢驗統計量的分布情況，可以看出，BLT統計量呈現明顯的右偏分布:

在模擬中，本文計算了不同時間頻率、不同股票數量下CP統計量的臨界值情況:

表4說明，CP統計量的臨界值在不同顯著性水平下差異較大，但同一顯著性水平下，臨界值對股票數量不敏感，三組不同數量的股票結果基本相同，但是臨界值對數據頻率非常敏感，在0.1%、1%水平下，隨著數據頻率的增多，臨界值也明顯增大，0.1%水平下，每日16個價格頻率的臨界值大概在3.5左右，但每日96個價格頻率的臨界值則在6左右。在5%水平下，臨界值呈現不一樣的特征：隨著數據頻率增多，臨界值減少，但減小的幅度不明顯。CP統計量呈現明顯的右偏分布，在降低顯著性要求時，臨界值會迅速減少，但減少到一定程度后，由于大量數據都集中分布在左側，臨界值會趨于穩定。

表4 CP統計量臨界值

根據本文數據的實際情況，選取5.32作為0.1%顯著性水平的臨界值，得出了BLT檢驗結果。結果顯示，50只股票一共出現了130次共跳，從共跳的年度分布看，2013年發生了43次，2014年發生了37次，2015年發生了48次，因為2016年數據量較少，只有兩次共跳發生，但有一次共跳發生在2016年1月5日9點35分，即第一次熔斷之后的首筆交易。

從共跳發生時的CP統計量的值看，有些時間段的共跳較為集中，但有些時間段共跳較少，共跳呈現一定的聚集性特點，本文將在后面的部分深入討論這個問題。

本文針對BLT共跳的日間時間分布進行了統計，BLT共跳結果顯示，開盤9點35分一共發生15次共跳，占比為11.53%，開盤半小時內的共跳占所有共跳的16.2%，其他時間段的共跳分布普遍在5次以下，下午14點之后，共跳數量有所增大，但臨近尾盤階段共跳數量明顯減少。雖然方法不同，但和基于單個資產的LM共跳檢驗類似，大部分共跳發生在10點之前。

3.4 FHLL共跳檢驗情況

在描述BLT方法時，本文利用蒙特卡羅模擬得出了CP統計量的閾值。進行FHLL共跳檢驗時，依然遵循這一思路，由于FHLL需要得到每個時間段的開盤價(對數值，下同)、收盤價、最高價、最低價，在進行模擬時，本文設定每個時間間隔內有細分的10個觀察值，在這10個觀察值中，取首尾兩項為開盤價和收盤價，除首尾外的最高價、最低價作為這個時間段的相應最高價和最低價，由此構建FHLL統計量，然后模擬得出了FHLL共跳檢驗的臨界值為4.42，這一閾值比BLT的結果要小，這與Yin Liao和Anderson[10]的結論是一致的。FHLL檢驗結果顯示，共有70次共跳發生，共跳次數是三種共跳檢驗方法中最少的，FHLL共跳的日間時間分布和之前的兩種方法有所不同，由于共跳次數較少，有5個時間段的共跳次數時最多的，分別是9點35分、11點、13點20分、15點。雖然開盤9點35分的共跳次數也較多，但只占到所有共跳的5.7%，且沒有明顯比其他時間多，開盤半小時的共跳為10次，占比為14.28%。從FHLLV統計量的結構來看，由于用到了開盤收盤、最高最低等價格，此時的共跳條件要比單純利用開盤收盤要嚴格，因此共跳的頻率減少了。

3.5 共跳檢驗結果比較

本文對三種共跳檢驗方法進行了統計：

表5 不同共跳檢驗方法結果

三種方法中，檢驗共跳數量最多的是LM方法，其次是BLT方法的130次，最少的是FHLL方法的70次，BLT和FHLL方法的本質類似，由于FHLL利用了更多的數據，且其檢驗統計量的漸進方差最小，因此結果有所減少。

從三者的共跳時間分布來看，第一個檢驗點9點35分所占比重最大的是BLT方法，為11.5%，最小的是LM方法，為4.9%，但是除FHLL共跳外，其他兩種方法9點35分共跳數量是所有時間段中最高的，且要明顯大于其他時間段。10點之前的共跳比例最高的依然是BLT方法，為16.2%，最少是FHLL方法，為14.3%。從三種檢驗方法結果來看，每個交易日開盤時刻以及交易最初半小時是共跳發生頻率較大的，說明市場在開盤階段，協同運動效應是最明顯的，這可能是由于市場開盤階段要對一些宏觀經濟信息以及非交易時間的隔夜信息進行反應。

本文對三種方法檢驗共跳的重合部分進行了研究，并統計了重合共跳個數占各種方法的比例：

表6 不同共跳檢驗重合情況

對比結果顯示，BLT和FHLL、LM和FHLL的重合時間均較少，為5次、10次，而BLT和LM的重合時間較多，為59次。從比例上來講，LM與其他兩種方法重合部分分別是8.3%、1.4%，BLT和其他兩者重復分布分別為45.4%、3.8%，FHLL與其他兩種方法重合部分分別占到7.1%、14.3%。總體而言，由于LM共跳數量最多，導致與LM共跳重復的比例占其他共跳比例較高，但占LM自身比例較少，雖然BLT檢驗方法和LM不同，但是利用的數據都是收益數據，因此兩者的重合率較高，而FHLL方法與其他兩者的重合率較低。在檢驗的時間范圍內，有5次共跳是三種方法同時檢驗到的，具體時間如下：

表7 三種共跳檢驗重合時間

在LM共跳檢驗分析時，本文對20只以上股票同時跳躍的時刻進行了分析，其中包括了上述共跳重復時間中的2015年1月19日、2015年10月8日和2015年6月4日，這三個交易日市場波動明顯。2014年11月17日是滬港通正式開始交易的時間，受此影響，上證綜指高開隨后又迅速下降，導致開盤階段波動明顯，LM共跳檢驗顯示有8只樣本股發生跳躍，2015年5月21日上證綜指上漲1.87%，但沒有發現其他異常情況。因此，在5個重復共跳時刻，有4次市場有明顯的波動行情，這說明三種共跳檢驗都能夠檢驗到市場的異常波動，只是各種方法在處理數據和利用的數據結構上存在差異，導致不同方法對異常波動的敏感性不同，因此大部分檢驗結果在時間存在不一致性。

4 Hawkes過程與泊松過程

對跳躍研究的主流觀點認為，跳躍項是復合泊松過程。“泊松跳”有兩個基本假設，一是單個資產跳躍和跳躍之間是獨立的，二是不同資產之間的跳躍是獨立的。然而，越來越多的證據表明，無論是單個資產還是資產組合之間的跳躍都呈現出和泊松跳不一樣的特點。個股跳躍發生的密度呈現出明顯的聚集性，有些時間內跳躍很少，有些時間內發生跳躍之后會接著發生多次跳躍。另外一個和泊松跳假設不符的現象就是共跳。前文用不同的方法證實了共跳存在的普遍性，過去的2015年，中國股市上演了多次的千股漲停和千股跌停，綜合指數在短時間內有很大幅度的下挫，而創業板更是經歷了多次指數跌停，這些現象都說明市場的融合性在不斷提高，多個資產之間的同時性、同方向、大幅度的價格跳躍現象越來越多，這些同時性問題顯然是違背每個資產的跳躍是獨立的泊松跳的假設。

根據Bormetti等[13]的方法，本文將同一只股票在一段時間窗口內至少有兩次跳躍的事件定義為MJ(Multiple Jump)事件，本文用下面的估計量來表示MJ事件的概率：

(25)

其中，N表示總的時間長度，w表示選擇的時間窗口長度，?N/w」表示N/w的整數部分，Ιsi≥2是一個指示性函數，當一只股票在選定的w窗口內至少發生兩次跳躍時，該函數取值為1，否則為0。這個估計量很好地反應了個股跳躍的聚集性，另一個類似的事件可以描述不同股票之間的共跳情況，本文將這個情況定義為CJ(Cross Jump)時間，同樣有：

(26)

本文首先檢驗泊松跳的假設，如果認為個股的跳躍是相互獨立的泊松跳，那么根據泊松跳的性質，上述兩個估計量的均值方差計算如下：

(27)

其中，pw,λ=P({s≥2})=1-eλω(1-λw)，λ是泊松過程的密度。對于CJ估計量，類似有：

(28)

其中，qw,λt=P({si≥1})=1-eλiw。

根據中心極限定理，MJ統計量的分布近似于正態分布，可以根據正態分布計算臨界值。

對于本文選取的50只樣本股MJ統計量計算結果，在時間長度從10分鐘到240分鐘(即一個交易日的時間)跨度中，有47只股票實際計算出的MJ統計量均落在了99%臨界值之外。三個例外個股情況分別是600009、600362、000983，但是，50只股票在最長100分鐘的時間跨度中，所有股票的結果都不符合泊松跳的假設。因此可以得出結論，這些個股的跳躍不可能來自于泊松跳躍。

既然個股跳躍不符合泊松過程，就需要一個更為合適的模型去描述資產價格的跳躍，然后利用實證數據去驗證這個過程是否較泊松過程更為有效。一個直觀的想法是，可以放松一些泊松過程的假設條件，比如非齊次泊松過程，考慮到實證數據中一個跳躍可能激發另一個跳躍，本文采取了Hawkes過程作為代替泊松過程的點過程，這類過程的特點是密度是隨機的、時變的，當一個跳躍發生之后，跳躍強度傾向于增大。

考慮單個點過程N(t)，如果該過程的密度滿足以下條件，稱之為Hawkes過程：

(29)

本文參考Ozaki的算法，采用極大似然估計方法估計參數。由于篇幅限制，這里對極大似然函數和參數估計結果等省略，有需要的可以和作者索取。在參數估計的基礎上，利用算法模擬Hawkes過程，將上述參數帶入模擬算法，得到結果，在結果的基礎上計算MJ統計量。在模擬Hawkes過程時，本文參考Ogata[23]、Ozaki[24]等關于點過程模擬的算法。

從計算結果看，在Hawkes過程的假設下，在較小時間間隔下，大部分MJ統計量已經在99%置信區間內，隨著時間間隔的增大，MJ統計量完全落入了99%的置信區間內，說明單變量Hawkes比泊松過程更好地描述個股跳躍的聚集性特征。

既然Hawkes過程能夠很好地描述個股跳躍的聚集性，那是否可以描述多只股票跳躍的互激性呢？本文計算了數對股票的CJ統計量，利用模擬算法模擬1000次每對股票在Hawkes跳躍假設條件下的CJ統計量，然后計算99%置信區間，結果顯示，獨立的多維Hawkes過程不能描述多只股票之間的互激性，以000623、600030股票為例，結果顯示，所有時間間隔長度下，CJ統計量均不在99%置信區間內，實證結果的CJ統計量要顯著大于獨立Hawkes假設條件下的模擬值。獨立的Hawkes過程難以描述個股跳躍之間的聚集性，是否可以設立多維Hawkes過程，通過設置互激參數來描述多只股票跳躍之間的關系？

考慮K維Hawkes過程，多維密度為I(t)=(I1(t),…,IK(t))'，第k種資產的密度可以表示為：

(34)

上式中，所有的參數都是非負的，保證該過程的平穩性，參數矩陣

(35)

其值應小于1。參數αkk、βkk表示第m種股票價格路徑的自激性參數，其余2K(K-1)個αkm、βkm表示第m種股票價格跳躍對第k種股票價格的互激參數。可以計算，當只有2種資產時，需要估計的參數是10個，K種資產則需要估計K(2K+1)個參數，數量較大，因此本文放棄多維Hawkes過程的假設。

5 Hawkes因子模型及其參數估計

5.1 泊松框架下的因子模型

參照Bormetti等[13]的研究思路，本文先建立一個“虛擬”因子模型，以闡述因子模型的主要思路，并說明因子模型在描述多只股票跳躍關系的優勢。假設在市場中存在一個不可觀察的因子，這個因子可以用一個點過程來描述。當這個因子發生跳躍，即代表市場因子的點過程發生跳躍時，不同的個股會依照各自特有的概率而發生跳躍。先考慮由兩種股票S1、S2組成的市場組合，當市場因子跳躍時，股票S1有p1的概率會發生跳躍，股票S2有p2的概率會發生跳躍。當因子不發生跳躍時，這兩只股票價格均不會發生跳躍，但是，如果觀察到兩只股票都沒有發生跳躍，并不說明市場因子沒有發生跳躍。本文用密度是λF的泊松過程表示市場因子，總時間長度為T，則因子發生跳躍的期望為λFT。個股跳躍和因子跳躍數之間的關系如下：

p1λFT=n1

(36)

p2λFT=n2

(37)

p1p2λFT=n12

(38)

其中，n12表示兩只股票觀察到的共跳數量。上述方程式中，前兩個式子要求個股實際發生的跳躍數量和期望發生的跳躍數量相等，而最后一個式子保證了觀察到的共跳和理論上共跳的期望值相同。n1、n2、n12、T都是已知量，未知參數可以表示為：

(39)

(40)

(41)

以000623、600030兩只個股為例，000623發生了78次跳躍，即n1=78，600030發生了99次跳躍，即n2=99，兩只個股同時跳躍的數量為24次，即n12=24。根據上述模型的假設，可以計算得出λF=0.0092，p1=0.24，p2=0.31。

在上述計算結果的基礎上，首先模擬1000次密度為λF的泊松跳躍過程，在每一次模擬結果的基礎上，加入符合二項分布的個股跳躍數據，然后得出每一次因子跳躍之后兩只個股的跳躍情況，根據跳躍情況計算出CJ統計量的值，綜合多次模擬結果計算出CJ統計量的均值和99%置信區間。從計算結果可以看到，泊松因子模型假設下CJ統計量都落在了模擬均值的附近，說明因子模型能夠很好地描述股票跳躍之間的關系。但是，基于泊松過程的模型假設與實際情況不相符，泊松跳的假設不能很好地描述個股跳躍的聚集現象；另外，上述模型假設資產價格所有跳躍均來自于因子跳躍，不能發生特異性跳躍。

5.2 基于Hawkes過程的因子模型

本節將構建基于Hawkes過程的因子模型。在泊松因子模型中，假設存在一個不被觀察的市場因子，而在Hawkes因子模型中，首先需要找到一個能夠代表市場的因子的“事件”。怎樣的事件才能代表市場因子，最明顯的是當所有股票全部跳躍時，幾乎可以肯定這時發生了系統性“事件”，可以認為是市場因子在發揮作用。但是，本文之前對50只樣本股的跳躍實證檢驗說明，全部股票同時跳躍的事件是極其罕見的，最多觀察到42只股票同時跳躍，這種現象發生在首個熔斷機制觸發之后的第一個交易日的首個交易時間段。當然，因子事件的識別也不能基于太少股票同時發生跳躍，比如2只股票，2只股票同時發生跳躍的次數共發生了709次，不能排除有一些2只股票共跳是“偶然發生的”。因此，本文將“因子”事件定義為3只或以上股票同時發生跳躍。

Ρ(Ns(t)在時間[t,t+Δt]發生跳躍t)=Is(t)Δt

(42)

其中，Ρ代表在長度為Δt的時間內，該計數過程在歷史信息t的基礎上發生跳躍的概率。假設樣本股復合N維獨立的Hawkes過程，前文已經通過極大似然估計計算出相應的參數值，然后針對共跳因子出現的時間，可以計算出個股在這些時間(設為t=1,…,TF)內跳躍的概率矩陣：

(43)

如果這些個股符合獨立Hawkes過程的假設，可以計算在每個因子時間點，這些股票中恰好有3只股票同時發生跳躍的概率：

(44)

(45)

這樣就得到了個股特異性跳躍的時間點和因子事件的時間點，然后可以通過極大似然估計重新對這些跳躍時間進行參數估計，以確定因子事件參數λF、αF、βF，以及個股特異性參數λs、αs、βs。

和之間泊松因子模型類似，當因子事件發生時，個股不一定全部跟著跳躍，跳躍與否和各自的概率ps有關:

(46)

下面針對以上模型設定進行實證分析。在35只樣本股中，3只股票或以上同時跳躍情況有172次，本文計算了這172次的Ρ(Jt=3)的值，剔除了其中23次概率值大于0.01的情況，最終確定149個因子事件，然后對因子事件和個股特異性跳躍進行參數估計。由于篇幅限制，這里參數估計結果等省略。有需要的可以和作者索取。

在參數估計的基礎上，本文通過蒙特卡羅模擬來計算前文中的MJ、CJ統計量的均值及99%的置信區間。在模擬時，每只個股的總跳躍由兩部分構成：一是特異性跳躍，二是以一定概率跟隨因子事件的跳躍。首先利用因子事件的參數模擬出因子跳躍發生的時間，然后通過個股各自的ps值確定由因子事件產生的跳躍，隨后利用個股的跳躍參數模擬出特異性跳躍，將兩種跳躍取并集，得到個股跳躍的一次模擬結果，最后將上述模擬過程重復1000次。

本文選取了具有代表性的四只個股:000538、300024、000623、600030。其中，000538和300024的ps值較小，分別是0.09、0.06，000623和600030的ps較大，分別是0.13、0.17。本文計算了四只個股的MJ統計量，并通過模擬計算了相應的均值和置信區間。計算結果顯示，在小于100分鐘的較小時間間隔內，四只個股的MJ統計量基本落在99%置信區間內，有個別時間間隔在置信區間外，如000538，有些個股的MJ統計量基本在模擬均值附近，如600030。當時間長度大于100分鐘時，所有個股的MJ統計量都在99%置信區間內。這和獨立Hawkes假設條件下得出的結果基本一致，說明因子模型能夠很好地描述個股跳躍的聚集性。

本文計算了兩對個股的CJ統計量：000538和300024、000623和600030，前對組合特異性跳躍數、共跳數和ps值均小于后面的組合，這樣的組合選擇可以研究在不同參數組合情況下因子模型是否穩健。計算結果顯示，第一組組合的CJ統計量都落在了均值附近，第二組組合在小時間長度下，CJ統計量在99%置信區間的邊緣，當時間長度大于100分鐘時，完全落在置信區間內，其他股票組合的結論與此類似。總的來看，因子模型能夠解釋多只股票共跳之間的同時性關系，但對互激關系較為密切的股票組合且時間窗口長度較小時，模型解釋力要弱于其他股票組合，具體成因還有待進一步研究。

6 結語

本文選取了三種共跳檢驗方法對共跳進行了研究，LM檢驗方法識別的共跳數量最多，達到了709次，占數據總量的2.03%；BLT檢驗方法識別了130次共跳，而FHLL檢驗方法識別出70次共跳。從共跳日間時間分布情況來看，盡管剔除了數據的日間效應，三種方法結果都顯示開盤時間的共跳數量是最多的，開盤半小時內的共跳數量占到所有共跳的15%左右。LM共跳檢驗結果顯示，同時有超過20只個股共跳的情況基本都發生在市場有劇烈波動的情況下，其他兩種共跳檢驗也捕捉到了一些劇烈波動，三種方法在檢驗時間上有5個時間點是重合的，這些時間點主要是市場處于暴漲暴跌行情時，另外，2016年首個熔斷機制觸發后的交易日時間也被三種方法識別為共跳，本文稱之為“熔斷共跳”。總體而言，三種方法對于市場較大波動的情況都能有效識別，但LM方法由于利用了個股跳躍結果，能夠識別更多的市場波動，BLT方法和FHLL方法對于共跳識別較為謹慎， BLT方法與LM方法都只利用了收益數據，因此重合率較高，而FHLL方法利用了更多數據，與其他兩種方法識別結果的重合率較低。但對于不同特征高頻數據，由于微觀噪聲影響，通過LM方法識別的共跳可能是由于噪聲的干擾，存在“偽共跳”，而BLT方法通過CP(Cross Product)統計量估計協方差也并不一定是最好的選擇。FHLL方法對于共跳識別較為謹慎，利用了更多數據，對協方差估計更有效。但是FHLL方法對中等大小的共同跳躍更敏感。

引入Hawkes過程能夠較好地描述個股跳躍的聚集性，通過對個股跳躍聚集性的MJ統計量和個股共跳聚集性的CJ統計量的計算發現，泊松跳的假設和實證數據相差較大，在假設個股跳躍符合Hawkes過程的基礎上，50只個股中有35只個股的相關參數是顯著收斂的，而且Hawkes假設下的MJ統計量計算結果與實證結果相吻合，但CJ統計量的計算結果說明獨立的Hawkes過程不能描述共跳的聚集性，而多維Hawkes過程的推廣又存在待估參數過多的問題，因此本文建立基于Hawkes過程的因子模型，在特異性跳躍的基礎上，當市場因子跳躍時，個股依據不同的概率跳躍。本文將3只及以上個股的共跳作為市場因子事件，并剔除了此類事件發生概率較高的時間點。對因子參數和個股參數的估計結果顯示，市場因子參數是顯著收斂的，35只個股中有30只的參數是顯著收斂的，且基于模型的MJ統計量、CJ統計量和實證數據的擬合程度較好，說明因子模型能夠更好地描述跳躍和共跳的聚集性。