中考中的“隱旋轉(zhuǎn)變換”

◎鄒思思

“圖形變換”包括圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似四種，其中軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)同屬于全等變換。旋轉(zhuǎn)在解決一些有難度的中考幾何題中應(yīng)用廣泛，屢建奇功！也充分體現(xiàn)了思維的靈活性和綜合解題能力。事實(shí)上，圖形與旋轉(zhuǎn)結(jié)合構(gòu)造考題是中考的熱點(diǎn)。我們先來看一道2018年中考22題。

例1：（2018年江西）在菱形ABCD中，∠ABC=600，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊ΔAPE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化。

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE。BP與CE的數(shù)量關(guān)系是______ ，CE與AD的位置關(guān)系是______。

（2）當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）。

（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上時(shí)，連接BE，若，求四邊形ADPE的面積。

分析：從已知可以看出，P是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，而E是隨著P的變動(dòng)而變動(dòng)。題目中有兩個(gè)等邊三角形，分別為ΔABC，ΔAPE；一個(gè)全等變換，ΔBAP?ΔCAE。實(shí)際上也隱藏著一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，ΔBAP繞定點(diǎn)A沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600得到ΔCAE。本題的解答中也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和整體思想。

解：（1）BP=CE，CE⊥ AD

（2）成立，理由如下：如圖5，連接AC交BD于O點(diǎn)，當(dāng)P在線段BD上時(shí)，設(shè) CE交 AD于 H點(diǎn)，在菱形 ABCD中，∠ABC=600，∵BA=BC∴ΔABC為等邊三角形∵BA=CA∴ΔAPE為等邊三角形∴AP=AE，∠PAE=∠BAC=600，∴∠BAP=∠CAE

在ΔBAP和ΔCAE中

當(dāng)P在BD的延長線上時(shí)，證明方法同第一種情況。

（3）如圖6，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接CE交AD于M點(diǎn)，由（2）可知，CE⊥AD，CE=BF，∵AD||BC∴EC⊥BC

例2：如圖：（1-1）：設(shè) P是等邊 ΔABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度數(shù)是______.

分析：在正ΔABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，實(shí)際上隱藏著一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，將ΔACP繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)600，使得AC與AB重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-2）中的一個(gè)ΔP′BP中，此時(shí)ΔP′AP也為正三角形。

解：在ΔABC的外側(cè)，作∠BAP′=∠CAP，且 AP′=AP=3，連接P′B，則 ΔBAP′? ΔCAP。易證 ΔAPP′為正三角形，ΔPBP'為 RtΔ，

∴∠APB=∠APP′+∠P′PB=1500

例3：如圖，在 ΔABC中，∠ACB=900，BC=AC，P為 ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度數(shù)。

分析：在RtΔABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，實(shí)際上隱藏著一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，將ΔACP繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)900，使得AC與AB重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個(gè)ΔP′CP為等腰直角三角形。

解：在RtΔABC的外側(cè)，作∠BCP′=∠ACP，且CP′=CP=2，連接PP′，則 ΔBCP′? ΔACP。易證 RtΔP′CP為等腰直角三角形，在 ΔPBP′中，BP′=3，BP=1，由勾股定理的逆定理可知，ΔPBP'為直角三角形，∠P′PB=900，

∴∠BPC=∠CPP′+∠P′PB=450+900=1350

以上三題抓住了特殊平行四邊形、特殊三角形角的特殊性，為旋轉(zhuǎn)提供了很好條件，當(dāng)然把所求的問題也簡單化。

綜上所述可知，實(shí)際上很多幾何題，都隱藏著旋轉(zhuǎn)變換，本質(zhì)上都是利用旋轉(zhuǎn)解幾何計(jì)算題關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，結(jié)合幾何定理和特殊圖形，通過計(jì)算得解。在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該多灌輸這樣的解題思想，這樣可以提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生能更好地體會(huì)旋轉(zhuǎn)的靈活性，也更好的掌握了數(shù)學(xué)常用的轉(zhuǎn)化思想。