例談高中解析幾何常考的幾種問題

◎盧桂英

一、解析幾何常考的幾種問題以及應對方法

1.求參數的值的問題 求參數值的問題一直是高考中最重要的考點之一，常常會以選擇題的形式出現在試卷之中。求參數值問題主要考察我們對曲線的性質的認識能力，應對這種問題，我們應當從曲線的性質入手，根據他們的變量關系構造方程[1]。

【2016年2卷4題】圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1，則a=

【解析】圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標準化方程為（x-1）2+（y-4）2=4，所以圓心為（1，4），，由此我們可解得a

2.存在性問題 存在性問題是解析幾何中考察考生對曲線性質以及平面坐標系的認識深度的重要題型，學生們需要根據平時所學的知識并運用幾何思想來分析問題。存在性問題多以是否存在這樣的常數作為問題的核心探索思路，例如是否存在這樣的常數，這樣的點這樣的直線或者這樣的圓。我們只要根據掌握的圓錐曲線的基本性質，轉化條件，優選解題方法，這類問題自然就迎刃而解了[2]。

（I）當K=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（II）y軸上是否存在點P，使得當 K變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

【解析】針對于（II）的問題，我們可以先做出簡單判斷，然后利用設而不求的思想將點代入曲線C的方程，將其轉化成關于x的一元二次方程，化幾何問題為代數問題，設出M，N的坐標和P點坐標，將直線PM，PN的斜率和用a表示出來，直線PM和PN斜率為0，即可求出a，b關系，從而找出合適條件的P點坐標。

存在符合題意的點，證明如下：

設 P（0，b）為符合題意的點，M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為 k1，k2，

將y=kx+a代入C的方程整理得x2-4kx-4a=0。

x1+x2=4k，x1x2=-4a

當b=-a時，有k1+k2=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補

所以∠OPM=∠OPN，所以 P（0，-a）符合題意。

3.考察圓錐曲線的基本概念和性質 圓錐曲線的基本概念和性質是整個解析幾何的基礎，隨著近幾年高考題目的不斷改革，高考中解析幾何的問題也隨之從探索性問題轉變到考察學生的基礎性問題上來，考察圓錐曲線的基本概念和性質的相關問題逐年增多。考生們常常容易將雙曲線與橢圓和圓的相關公式混淆，造成失分。

【解析】這是一道標準的考察考生圓錐曲線基本概念與性質的題目。做題時我們應當根據題意，找到合適方法與公式進行運算。

根據橢圓的對稱性，必過P3，P4，又因為P4橫坐標為1，所以橢圓必不過P1，過P2，P3，P4三點將P2與P3的坐標代入橢圓方程可得a2=4，b2=1

4.利用向量求曲線方程和解決相關問題 這部分問題通常放在高考試卷的最后，也就是我們俗稱的壓軸題，它考察了學生對直線與橢圓的理解能力以及運用雙曲線和平面向量等綜合知識去解決實際問題的能力。想解決這部分問題，要求學生們對數形結合，方程轉化有比較深入的理解，同時要具備很強的綜合分析和探索能力[4]。

【2016年三卷20題】已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點。

（I）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR//FQ；

（II）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求 AB中點的軌跡方程。

記過A，B兩點的直線為L，則L的方程為2x-（a+b）y+ab=0。

由于F在線段AB上，故1+ab=0.

記AR的斜率為k1，FQ的斜率為k2，則

所以可證明AR//FQ.

（Ⅱ）設 l與 x軸的交點為 D（X1，0），

設滿足條件的AB的中點為E（x，y）.

當AB與x軸不垂直時，由KAB=KDE可得.

當AB與x軸垂直時，E與D重合.所以，所求軌跡方程為y2=x-1

5.最大（小）值問題 最大（小）值問題也就是我們常說的最值問題，其出題形式多為求解某變量的最大值或者最小值，或者是取值范圍。我們可以通過代入法來建立關于求解目標的變量函數，通過運用基本的不等式或者構造函數的方法來解函數的最值。

（I）當 t=4，AM=AN時，求△AMN的面積；

（II）當2AM=AN時，求k的取值范圍。

二、結束語

隨著近年來高考的不斷改革，解析幾何在高考數學中的難度在不斷下降，然而它的分值比重仍然很大，一般會占據22分左右，所以解析幾何的教學應當引起我們足夠的重視。只要牢牢掌握圓錐曲線的基本概念和性質，配合相應的解題思路以及數形結合的思想，就能將參數值問題、存在性問題、最值問題以及綜合應用問題完美解決，保證了學生分數的提升。