讓規律可視 促思維拔節

戚洪祥 張秀花

一、教學背景

生活背景：4月23日——世界讀書日，應邀參加江蘇省師培中心舉辦的“藍天杯”優課送培活動。在全民閱讀的時代要求下，各級各類學校都廣泛開展閱讀活動，而數學閱讀對于許多學校而言，仍是學校課外閱讀體系中的一個短板。在這樣的特殊時間點，選擇《神奇的數》作為載體，將課外閱讀與課堂教學進行有機融合，激發學生的數學閱讀興趣。

知識背景：“142857”“495”這樣的數，是許多數學課外讀物的常客。在蘇教版教材四年級下冊練習七的第11、12題，編者通過有限的篇幅讓學生初步認識了“142857”“495”這兩個數。本節課的教學，以課外讀物內容為切入口，以乘法計算為知識基礎，借助計算器簡化計算便于發現規律，深入感受數學的神奇，讓規律教學體現其特有的育人價值。

二、教學內容

《神奇的數》（自編內容，適用于蘇教版四、五年級）

三、教學目標

1.學生能正確使用計算器進行乘法、加法的運算，在此過程中獨立觀察、深入探究、發現規律。

2.使學生經歷觀察比較、探究分析、歸納總結、質疑反思等思維活動，初步形成探索數學規律、發現數學結論的學習能力。

3.在獨立思考和合作交流中培養學生觀察、歸納、概括、推理的數學能力，培養學生學習數學的興趣和探索意識。

4.使學生在探索過程中，感受數學知識的奧秘和魅力，激發學生的閱讀興趣和求知欲。

四、教學準備

教師：多媒體課件、自主學習單、教具小紙條。

學生：計算器一只。

五、課前談話實錄

師：知道今天是什么日子嗎？

生：世界讀書日。

師：我們先來聊一聊關于讀書的事。你喜歡讀書嗎？說出一本你最喜歡讀的書？

生1：我最喜歡讀《狼王夢》。

生2：我最喜歡讀《水滸傳》。

…………

師：看來你們都是愛讀書的孩子。我們的數學也有許多適合閱讀的課外書，你們讀過嗎？

生1：我讀過《馬小跳玩數學》。

生2：我讀過《數學王國奇遇記》。

…………

師：原來你們讀過這么多的數學課外書呀！喜歡閱讀是一個好習慣，打開一本書，就是打開了一扇了解世界的窗子。

【設計意圖：從“世界讀書日”到“課外閱讀”，再到“數學課外閱讀”，從學生已有的生活背景出發，構建了和諧的師生關系，為引入本節課的學習內容打下鋪墊。】

六、課堂教學實錄

1.激趣導入，引發問題

師：課前我們聊到了課外書。今天的數學課就從一本書開始，這本書的名字叫《課本上學不到的數學》（出示PPT）。在這本書中有一個內容叫“神奇的數”，今天這節課戚老師就和你們一起來研究，神奇的數。（板書課題：神奇的數） “神奇的數”中有一句話，我特別感興趣（出示PPT），誰來讀一讀這句話。

生：“142857”是一個十分神奇的數。用它分別乘1、2、3、4、5、6，你會有意想不到的發現！

師：她在讀的時候，有的同學在數，這個數的數位特別多，我們還沒有學過多位數的讀法，所以不會讀。今天這節課，我們約定一下，按照順序一個一個數字把它讀出來就可以了，我們就把它讀作：1、4、2、8、5、7。（師示范逐個讀出）

師：下面請每位同學把這句話默讀一遍。

生默讀。

師：讀完了這句話，你現在頭腦里面有沒有什么問題呢？

生：怎么只乘到6，沒有7呢？

師：是呀！你還有什么問題？

生：算完之后，會有什么意想不到的發現呢？

師：是呀，這個問題問得可真好。你還有什么問題嗎？

生：“142857”哪里神奇呢？

【設計意圖：引用課外讀物中的一段原文，利用“神奇”“意想不到”這樣的詞語，吸引學生的眼球，學生的求知欲瞬間被激發。同時約定本節課中“142857”的讀法，幫助學生越過識讀障礙，為后面探索規律做好準備。】

2.嘗試探究，感知規律

師：同學們的問題真多，數學學習就應該從一個又一個的問題開始。下面我們就帶著這些問題，開始我們的探究之旅吧！（出示PPT）先看探究活動的要求，請你來把活動要求讀一遍。

生讀活動要求。

師：三個要求聽明白了嗎？下面請大家拿出“自主學習單”，按要求開始活動吧！

學生自主探究，師巡視并參與學生的交流。

師：我請陳奕文同學作為小老師，帶著學習單，與大家分享他的學習收獲。

陳奕文同學：我計算的得數分別是：142857，285714，428571，571428，714285，857142。你們的結果與我一樣嗎？

生：一樣的。

陳奕文同學：我將這些得數與原來的“142857”進行比較，發現它們都是由6個數字組成的。

師：陳奕文同學的發現，你們聽明白了嗎？誰來說得更具體一點。

生：每個得數中都有1、4、2、8、5、7這六個數，只是順序不同。

師：是嗎？我們在“乘5”的得數中找一找，有沒有1、4、2、8、5、7這6個數。

師生邊說邊指。

【設計意圖：學生在獨立探究過程中，不斷發出驚嘆之聲，他們每算出一個得數就會被“142857”沖擊一次，規律的震撼之感慢慢積淀。從學生不斷地急于表達自己發現的情景來看，魔術般神奇的規律呼之欲出。】

3.再次探究，規律可視

師：既然得數中都有這六個數字，是不是隨便將這六個數字寫出來就一定是某一道乘法的積呢？

生：不一定。

師：這些得數與原來的“142857”之間有什么關系呢？如果老師把這六個答案全去掉，不用計算器，讓你直接寫得數，你還能寫出來嗎？（電腦去掉算式的得數）

生猶豫不決，有些說能，有些說不能。

生：乘1，還是142857。（電腦出示）

師：這個好像大家都會喔！其他的算式怎么辦呢？

生：如果不用計算器，我就列豎式一位一位地乘。

師：列豎式是可以算出得數。如果要你像口算一樣，直接寫出得數，你覺得可能嗎？

生不敢回應，有些同學在搖頭。

師：有人總結出了直接寫得數的第一種方法。請看（PPT逐句出示）：寫下142857，找到得數的個位，前面所有數整體移動到后面。

師：你能看明白嗎？不著急，繼續看電腦的演示。

電腦動畫演示，師配合講解。

師：先寫下原來的142857，然后找到得數的個位。以“乘2”為例，你知道它的個位是幾嗎？

生：是4，因為2乘7得14，所以個位是4。

師：這里的4就是個位，然后將4與前面的所有數整體移動到后面，這樣得到的285714就是這道算式的答案了。

師：你看明白了嗎？請你把這句話再默讀一遍，邊讀邊體會它的方法。

生邊讀邊想。

師：還有第二種方法，也能寫出得數（PPT逐句出示）：寫兩次142857，找到得數的個位，確定得數。

電腦動畫演示，師配合講解。

師：先寫兩次142857，然后找到得數的個位，我們還以“乘2”為例，得數的個位應該是4。現在有幾個4？

生：兩個。

師：我們找到了兩個4，只要從第一個4后面劃出六位數，就是得數了。

師：你現在學會了幾種方法？

生：兩種。

師：還有第三種想不想學？

生：想。

師邊說邊演示：將1、4、2、8、5、7寫在一個紙條上，然后將它圍成一個圈，找到得數的個位4，然后在4的后面撕開，現在請你來讀一下紙條上的數。

生：285714。（啊！其余學生異口同聲）

師：是不是很神奇。這種方法需要我們提前準備好一些紙條給大家，所以我們常用前面的兩種方法。現在想不想不用計算器，自己來試一試？

生：想！

師：很好，孩子們！老師已經幫你在練習紙上列出了“142857”和“142857142857”，請你在上面移一移，劃一劃，直接寫出乘3、乘4、乘5、乘6的得數吧。

生嘗試自己動手操作。

師：好，有的孩子已經舉手了，說明已經寫好了。現在請把你的方法和同桌分享一下。

生交流分享學習體會。

【設計意圖：根據原數“142857”和另一個乘數來推算得數，這一過程，讓學生初步感知的“都是這6個數”的規律變得更加理性。利用教具、多媒體動畫將三種不同的方法呈現，讓知識的規律可視，讓學生的思維可視，給學生的思維拔節提供腳手架。】

4.尋根溯源，指導學法

師：我們剛剛學了一個本領，直接口算寫出得數。下面請大家繼續觀察這組算式，我記得剛開始的時候，這個孩子提了一個問題，大家還記得嗎？請你重復一下你的問題。

生：為什么只能乘1、2、3、4、5、6，不能繼續往下乘？

師：假如繼續往下乘，會怎么樣呢？不忙算，先猜一猜。

生：肯定還是由這6個數字組成的。

生：不對，我口算了一下，末尾應該是9。

師：大家出現了分歧，口說無憑，用計算器算算看就知道了。

伴隨著不斷的“啊”聲，學生報出答案：999999。

師：你剛剛為什么這么驚訝呢？

生：因為全是9。

師：原來乘7的時候，不再是原來的六個數字了，而是一下子來了六個9。其實“142857”和9的關系非常密切。請你繼續算。（電腦出示：14+28+57=）

學生用計算器計算并報得數為：99。

師：再算。（電腦出示：142+857=）

學生邊算邊驚訝：999。

師：有的孩子已經忍不住了，覺得真神奇啊，對不對？面對這么神奇的數，這時你頭腦有沒有新的問題呢？

生：這個神奇的數哪來的呢？

師：對呀，它是哪來的呢？你平時在學習的時候碰到這樣的問題，怎么辦？

生1：問老師。

生2：查資料。

生3：上網查。

師：是的，當我們碰到一些問題的時候，動手探索、尋問他人、查閱資料、上網搜索都是比較好的方法。

師：通過閱讀數學課外書，戚老師知道了，原來用一道除法就可以讓這個神奇的數現身。請你用計算器算一算：1÷7。

生嘗試計算。

師：你在計算器的屏幕上看到142857了嗎？

生：看到了。

師：在書中，老師還看到一個有關“142857”的故事呢？請聽。

電腦播放動畫：這組神奇的數字最發現于埃及金字塔里，埃及人用它來證明一個星期有7天。我們來看，從星期一到星期六，都是由1/4/2/8/5/7這6個數字上班，他們每天擔當不同的職位。到了第7天，他們累了，于是都休息，由9/9/9/9/9/9來代班。

【設計意圖：引入數學文化，讓“142857”及其背后的規律披上一層神秘、有趣的色彩，激發學生閱讀數學課外讀物的熱情。同時對遇到困難時的學習方法進行有機滲透，充分承擔起數學學科的育人價值。】

5.深入探究，發散規律

師：聽完了剛才的故事，現在你頭腦里有沒有新的問題？

生：乘8等于多少呢？

師：好，趕快乘。

生用計算器計算。

師：請你把答案報一下。

生：1142856。

師：觀察這個得數，你想說什么？

生：與原來相比，少了一個7。

師：看來沒有規律了，還想繼續乘嗎？（想）繼續乘9吧！

生：1285713。

師：這次你想說什么？

生1：這次4沒有了，其他的數還在。

師：你還想說什么？

生2：我發現每次都要少掉一個數。

師：是這樣嗎？繼續乘一個。

生：1428570，這個“乘10”口算就行了。

師：你又想說什么呢？

生：他們又全出來了。

師：一會7消失，一會4沒有，一會又全出來了，看來是沒有規律了。不著急，請大家橫過來觀察，智慧的眼睛就能發現這里的奧秘。

生：我發現“142857”與“1142856”相比，原來末尾的7現在變成了6，但是最前面多了一個1，6和1加起來正好是7。

師：看來7并沒有消失，而是搖身一變，變成了1和6。了不起的發現，接著他的思路看下面一個呢？

生：“285714”與“1285713”相比，4也沒有消失，而是變成了1和3。

師：接著這樣的思路，你能口答出 “乘11”“乘12”“乘13”和“乘14”的得數嗎？試試看。

生1：因為142857×4=571428，將末尾的8分成1和7，所以142857×11=1571427。

生2：因為142857×5=714285，將末尾的5分成1和4，所以142857×12=1714274。

生3：因為142857×6=857142，將末尾的2分成1和1，所以142857×13=1857141。

生4：因為142857×7=999999，將末尾的9分成1和8，所以142857×14=1999998。

師：孩子們，你們真了不起，一會兒工夫就得到了這么多的發現。現在你頭腦中有沒有新的問題呢？

生：如果再向下乘又會怎么樣呢？

師：是呀，這個問題我們可以課后繼續去研究。

師：剛才老師和同學一起認識了一個神奇的數是（板書：142857）。在研究“142857”這個數時，我們首先從課外書中的一段話產生了問題，帶著問題去思考、探索并得到結論，觀察得到的結論又產生了新的問題，這是一個非常好的學習方法。

【設計意圖：如果規律僅限于一個周期（1至7）以內，學生頭腦中的問題得不到有效化解，規律的延展性得不到有效彰顯。此時，根據學生的問題，大膽地從一個周期走出，完成第二個周期規律的探究。同時，在回顧反思的過程中，師生一起建構學習模型，讓學生的學習走向深入。】

6.拓展延伸，深度體驗

師：學到這里，你頭腦中有沒有產生新的問題呢？

生：如果用142857×142857又會怎么樣呢？

師：你還沉浸在142857當中呢，這個問題，課后可以接著研究。

生：除了142857，有沒有其他神奇的數了？

師：這個問題問得好，剛才的那本書中，還有一個數字黑洞呢，我們再來探究一下。

（出示PPT，生讀）在1～9中，任意選擇3個數字，將它們組成一個最大三位數和最小三位數，用最大三位數減去最小三位數，將得到的差的三個數字，重新組合成一個最大三位數和一個最小三位數，再相減，這樣不斷反復計算后，你能發現什么？

師：請大家拿出自主學習單，開始探究吧！

生自主嘗試，然后同桌交流。

生1：我選的數是7、8、9，算了之后，得到的差都是495。

生2：我選的數是1、3、5，最后也得到了495。

師：大家都得到了495嗎？

生：是的。

師：回頭想一想這個探究活動，再看看495，你又想問什么呢？

生1：如果不是取三個數，取四個數會出現什么結果？

生2：取出的三個數中如果有相同的，會怎么樣？

生3：為什么這里的數沒有0？

師：是啊，當我們面對“495”時，可以產生許多的問題。希望同學們把這樣的問題意識、質疑精神用在平時的學習中，你會發現，不但有些數是神奇的，其實整個數學都是神奇的。

【設計意圖：一節課只研究“142857”，容易讓學生形成思維定式，產生負遷移，不能有效彰顯趣味數學的魅力。再次引入課外讀物，設計探究活動，引入“數字黑洞495”，將學生的觀察視野從“142857”，引到“495”，再引向更加廣闊的數學天地。】

七、專家評析

《神奇的數》一課是戚老師基于蘇教版小學數學教材自編的一個教學內容，這是一節規律探究課，一節趣味數學課，更是一節指引學生學好數學的學法指導課。

1.創設大情境，讓探究活動高質高效

“數學來源于生活”，我們應該選擇與學生身心發展相適應、易于學生親身經歷去解決的問題情境，營造整節課的大情境。本節課中，戚老師創設了以“世界讀書日”“數學課外讀物”為核心的大情境，從包含“神奇”“意想不到”等詞語的一段話入手，激發學生興趣，引發學生開展探究活動的原動力。從數學讀物中的“趣味故事”“數字黑洞”入手，引入數學文化，引出第二次探究活動。兩次探究活動創設自然，高質高效，學生樂在其中。

2.引思大問題，讓深度學習真實發生

從學生思維發展來看，一節好課的標準應該是：是否讓學生的思維動起來，是否讓深度學習真實發生。縱觀平時的課堂，師生對話多以低效的一問一答、半問半答式呈現。在這節課中，戚老師的提問充分體現啟思、引思的特點。他多次提出“你頭腦中有沒有什么問題”，以此作為本課的大問題，不斷將學生的探究活動、思維體驗推向深入，不斷揭示規律的本質。整節課以問題驅動學生思考，并根據學生的提問輔以可視化媒介，助推學生思維拔節，讓學生的深度學習真實發生。

3.構建大格局，讓素養培育落地生根

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出發展學生的“數學素養”，數學素養是核心素養在數學學科的具體化、實踐化表述。本課的教學中，戚老師與學生一起走出“只知規律是什么”的樊籠，通過規律的自主探究，培養學生的問題意識，養成有序思考的習慣，讓教學走向“能力培養”“學法創新”的境界。師生一起回顧學習過程，提煉出“問題→探究→結論→新問題→……”的學習模型，這種學習模型與育人的大格局相一致，是課堂教學中培育核心素養的有效路徑。

【作者簡介】

戚洪祥，教育碩士，江蘇省首批教學名師，江蘇省“333”工程高層次人才培養對象，江蘇省中青年學術技術帶頭人，江蘇省優秀教育工作者。教育部“西部支持計劃”特聘授課教師，曾多次應邀到新疆、甘肅、青海、寧夏等地送教送學。曾獲全國、省、市課堂教學比賽一等獎，出版個人專著《小學數學思想方法簡論》，研究成果獲省、市基礎教育成果獎一等獎，目前主持兩個省級重點資助課題的研究工作。

張秀花，江蘇省特級教師，江蘇省人民政府教育督導團專家組成員，省小數會常務理事，揚州市教科院小數教研員。榮獲全國教科研先進個人，省先進教育工作者，省“333”高層次人才培養對象，江蘇省教師資格證書考試省級考官，揚州市“領雁工程”第一層次培養對象，多次應邀到貴州、青海、山西、湖南等地公開教學和科研講座。在《人大復印資料（小學數學教與學）》等中文核心期刊發表多篇科研論文，科研業績入編《特級教師思想錄》。個人專業發展成果在《小學數學教學》《小學教師培訓》等雜志以名師在線、特級訪談等形式推介。2017年前往美國加州長灘州立大學研修畢業，目前主持兩項省“十三五”規劃重點課題。