重視運(yùn)算說(shuō)理，優(yōu)化運(yùn)算思維，提高運(yùn)算能力

商丹青

【摘要】運(yùn)算是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，運(yùn)算的正確、靈活、合理和簡(jiǎn)潔是運(yùn)算能力的主要特征。教學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)讓學(xué)生清楚地意識(shí)到實(shí)施運(yùn)算中的算理，學(xué)生只有理解了計(jì)算中的算理，才能夠理解和掌握計(jì)算方法，才能正確、迅速地運(yùn)算。小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)除了教給學(xué)生正確、基本的計(jì)算程序以外，教師更應(yīng)該使學(xué)生掌握一系列的計(jì)算策略，逐步形成運(yùn)算技能，并將運(yùn)算提升到思維的層面。思維的“多層次”，在于學(xué)生從眾多的解法中比較、反思、分析出解法的優(yōu)劣，最終能夠選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑，這是運(yùn)算能力發(fā)展的重要內(nèi)容，也是運(yùn)算思維達(dá)到一個(gè)新的高度的重要標(biāo)志。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算能力；說(shuō)清算理；算法優(yōu)化

運(yùn)算是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程的各個(gè)學(xué)段中，運(yùn)算都占有很大的比重。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力去學(xué)習(xí)和掌握關(guān)于各種運(yùn)算的知識(shí)和技能。《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算規(guī)律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。”運(yùn)算的正確、靈活、合理和簡(jiǎn)潔是運(yùn)算能力的主要特征。

運(yùn)算能力的形成不是一蹴而就的，運(yùn)算能力的發(fā)展總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低級(jí)到高級(jí)、從具體到抽象，有層次地發(fā)展起來(lái)的。因此，從低年級(jí)起，打好學(xué)生的運(yùn)算基礎(chǔ)就顯得尤為重要。低年級(jí)孩子不具備一定的抽象思維能力，他們的計(jì)算往往是單純的記憶或簡(jiǎn)單的模仿，缺乏學(xué)習(xí)興趣和真正的理解，這樣掌握的計(jì)算，往往會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，是很多孩子運(yùn)算能力差的一個(gè)重要原因。所以，在適度的訓(xùn)練，逐步熟悉的基礎(chǔ)上，對(duì)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)不僅應(yīng)“知其然”，更應(yīng)“知其所以然”，清楚地意識(shí)到實(shí)施運(yùn)算中的算理。算理，從字面理解，既為運(yùn)算的原理或道理，是解決問(wèn)題的操作程序，解決“為什么這樣算”的問(wèn)題。學(xué)生只有理解了計(jì)算中的算理，才能夠理解和掌握計(jì)算方法，才能正確、迅速地運(yùn)算。

“口算兩位數(shù)減一位數(shù)（退位減）”是蘇教版一年級(jí)下冊(cè)第79-80頁(yè)內(nèi)容。之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)“口算兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位加）”，這些是后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)稍復(fù)雜的筆算加減法的基礎(chǔ)。教材提供了30-8 、34-8兩道例題，教材上呈現(xiàn)的都是同一種算法，即從十位退一到個(gè)位，個(gè)位加十再減，十位退1再減。我反復(fù)研讀教材，以及根據(jù)自己多次教學(xué)這部分內(nèi)容的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為這兩道例題尤其是34-8，可以挖掘出多種算法，對(duì)于激活學(xué)生的思維靈活性很有幫助，并且能教會(huì)學(xué)生根據(jù)不同的題目合理選擇不同的算法，而讓學(xué)生真正理解每種算法的算理，并能自主優(yōu)化，就顯得格外重要。例題的教學(xué)主要分兩段進(jìn)行：

【片段一】教學(xué)30-8

師：30 - 8，你會(huì)算嗎？先想一想，如果有困難可以用小棒擺一擺。

學(xué)生自己試著算一算，擺一擺，教師巡視。

組織反饋：

指名演示擺法，邊用小棒擺一擺，邊說(shuō)一說(shuō)自己是怎樣想的。（先擺3捆小棒，表示30，拿出1捆拆開(kāi)變成10根，從10根中去掉8根，剩下的2根和2捆合起來(lái)就是22根）

師：將一捆小棒拆開(kāi)變成10根，就是將30分成了20和10。

師： 如果不擺小棒，你還會(huì)算嗎？（先算10-8=2，再算20+2=22）

指名幾人說(shuō)說(shuō)怎么算的。

這個(gè)片段的教學(xué)，主要是解決退位的原理和方法。低年級(jí)的學(xué)生，及時(shí)、適時(shí)的動(dòng)手操作，對(duì)學(xué)生理解抽象、復(fù)雜的知識(shí)有著無(wú)可替代的作用。學(xué)生一邊用腦思考，一邊用手操作，一邊用語(yǔ)言說(shuō)清楚操作的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生能夠?qū)⒁坏烙?jì)算題說(shuō)清楚的情況下，也必定能夠理解其中的算理。在操作中說(shuō)算理，便于學(xué)生建立起操作和計(jì)算的聯(lián)系，所以教師在課堂上適當(dāng)安排“說(shuō)算理”步驟，要求學(xué)生將自己的思考過(guò)程說(shuō)清楚，一方面能夠迅速地實(shí)現(xiàn)口算，另一方面能夠讓學(xué)生明確算法。

【片段二】教學(xué)34-8

30-8大家已經(jīng)會(huì)算了，那34-8呢？大家想想看，有困難也可以請(qǐng)小棒幫幫忙。

反饋如下：

方法一：

個(gè)位上4減8不夠減，看成14-8=6，再把6和剩下的20合起來(lái)就是26。（分析）這種算法是前面學(xué)過(guò)的30-8的自然遷移。需要理清的算理是：14是哪里來(lái)的？20又是哪里來(lái)的呢？可以借助小棒，幫助學(xué)生理解：從4根小棒里面減去8根不夠，可以拆開(kāi)一捆小棒，將拆開(kāi)的10根小棒和4根合起來(lái)就有了14根，剩下的2捆小棒就是20了，也就是將34分成了20和14。接下來(lái)從14根小棒里減去8根，剩6根，和2捆合起來(lái)是26根。

方法二：

30-8已經(jīng)學(xué)過(guò)了等于22，那么34比30多4，所以得數(shù)也多4，在22上面加4就是26。

（分析）30和34都是被減數(shù)，低年級(jí)的孩子說(shuō)總數(shù)更好理解。總數(shù)原來(lái)是30現(xiàn)在是34，增加了4，但減掉的還是8，所以剩下的得數(shù)也會(huì)增加4。

這種算法的算理比較難以表述，就不一定要讓學(xué)生完全表達(dá)清楚，只要讓學(xué)生意識(shí)到它就可以了，將要明確的算理蘊(yùn)藏在具體的計(jì)算中。

方法三：

把34-8看成34-10=24，多減了兩個(gè)再加上去，24+2=26。（板書(shū)：34-10+2=26）

方法四：

從34里面拿一個(gè)10來(lái)減8，等于2，再把剩下的24和2加起來(lái)等于26。

方法五：

把34-8看成34-4-4，34-4=30，30-4=26

（分析）以上三種算法，都和“湊整”策略有關(guān)。方法三中，為什么把8看成10來(lái)減？因?yàn)楹⒆佑X(jué)得10算起來(lái)簡(jiǎn)單。教師可適時(shí)點(diǎn)撥：“可不是嘛！10無(wú)論算加算減都比其他數(shù)簡(jiǎn)單，所以才會(huì)有“湊十法”呀！不止是10，只要是整十?dāng)?shù)的計(jì)算都比較簡(jiǎn)便。”方法五中，教師可以追問(wèn)幾句：“34-4-4和原來(lái)的34-8意思一樣不一樣？都是從34里面減去幾？”“34-8看成34-4-4有什么好處？看成34-2-6可不可以？”通過(guò)追問(wèn)幫助學(xué)生理解為什么這樣算，在算法和算理之間架起一座橋梁，使學(xué)生真正理解算理和算法之間的關(guān)系，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算從感性上升到理性的高度。

片斷二的教學(xué)主要激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)散他們的思維，拓寬解題思路。小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)不僅僅是放在教給學(xué)生正確、基本的計(jì)算程序，教師更應(yīng)該使學(xué)生掌握一系列的計(jì)算策略，包括湊整、補(bǔ)償、分割、重新組合等。其中“湊整”策略是運(yùn)用比較多的一種，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“整五數(shù)”“整十?dāng)?shù)”比較熟悉。在學(xué)生熟練地運(yùn)用這些策略解決個(gè)位數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)上，還可以將這些策略應(yīng)用于兩位數(shù)、三位數(shù)的更復(fù)雜的運(yùn)算中。不管哪種運(yùn)算策略，都要讓學(xué)生搞清楚計(jì)算過(guò)程的依據(jù)和合理性，在師生對(duì)話、生生對(duì)話中，引發(fā)對(duì)“怎樣算？”“為什么這樣算？”“這樣算有什么好處？”等一系列問(wèn)題的思考。長(zhǎng)此以往，學(xué)生不僅會(huì)逐步形成運(yùn)算技能，還會(huì)將運(yùn)算提升到思維的層面，這是運(yùn)算能力發(fā)展的重要內(nèi)容。

【片段三】自主優(yōu)化算法

師：你們想了這么多方法，到底哪種方法比較簡(jiǎn)便呢？現(xiàn)在老師這有幾道題，用你覺(jué)得簡(jiǎn)便的方法做做看：

46-9

生1：我用的是把9看成10 的方法，46-10=36，再加上1等于37。

師：你為什么選這種方法？

生1：9很接近10，減去10 以后，只要再加1就行了。

師：確實(shí)很簡(jiǎn)便。

生2：我是先用的16-9=7，因?yàn)?6-9=7我們學(xué)過(guò)了，再算30+7=37。

師：是啊，這兩種方法都能很快算出得數(shù)。

52-6

師：52-6呢？

還是生1站起來(lái)說(shuō)：老師，這題我沒(méi)有把6看成10來(lái)算，因?yàn)?不接近10。我用的是12—6=6，6+40=46。

生3：我也是用的這種方法。

師：看來(lái)不少同學(xué)都喜歡用十位退1的方法，把 2看成12來(lái)減。這種方法正好把我們很熟練的20以內(nèi)的口算用上了，所以我們更容易掌握一些。

（分析）教師不急于對(duì)各種算法進(jìn)行評(píng)價(jià)，尊重學(xué)生自主的選擇，保護(hù)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的積極性。然后給學(xué)生一道題，46-9 ，學(xué)生可以按自己的經(jīng)驗(yàn)選擇不同的方法進(jìn)行計(jì)算。 學(xué)生自然而然地篩選出兩種方法：把9看成10來(lái)減，以及傳統(tǒng)的十位退1，用16-9的算法。教師仍對(duì)這兩種算法給予肯定，緊接著又出一題52-6，學(xué)生又在這兩種算法中肯定了后一種，而這也是教材上要求學(xué)生掌握的算法。從循序漸進(jìn)的角度來(lái)講，20以內(nèi)的口算退位減給這種算法做了鋪墊，利于學(xué)生掌握；而從長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度來(lái)看，這種算法又是以后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的筆算退位減的基礎(chǔ)。

這個(gè)片段的教學(xué)告訴我們，在實(shí)施運(yùn)算的過(guò)程中，會(huì)遇到多因素的情況，需要不同的思維方向、不同的解題思路和不同的解題方法。一題多解和多題一解出現(xiàn)在運(yùn)算過(guò)程中是十分普遍的，一題多解體現(xiàn)了運(yùn)算的靈活性，是激活解法的核心。一題多解的目的并不是一味強(qiáng)調(diào)“解法的多樣化”，而在于思維的“多層次”，在于學(xué)生從眾多的解法中比較反思、分析出解法的優(yōu)劣，最終能夠選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑，這是運(yùn)算思維達(dá)到一個(gè)新的高度的重要標(biāo)志。

課改初期，我們?cè)谟?jì)算教學(xué)上走過(guò)彎路：過(guò)分注重算法的多樣化。老師課堂上花費(fèi)很多時(shí)間致力于算法的挖掘，思維快的學(xué)生能想出好幾種，而一些思維慢的學(xué)生搞得眼花繚亂，無(wú)所適從，最終也不知道哪個(gè)方法最好。一段時(shí)間下來(lái)，學(xué)生的計(jì)算能力大不如以前，速度和準(zhǔn)確率都不高。計(jì)算教學(xué)中一味追求計(jì)算技能的提高和過(guò)分強(qiáng)調(diào)計(jì)算方法的多樣化，是兩種極端，都是不可取的。缺少明明白白的說(shuō)理和計(jì)算方法的提煉，必然導(dǎo)致算理不突出、算法不扎實(shí)，學(xué)生運(yùn)算能力下降。

要提高學(xué)生的運(yùn)算能力，在平時(shí)的教學(xué)中，必須要讓學(xué)生真正搞懂為什么這樣算，明確了算理和算法，就便于靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。計(jì)算方法的多樣化如體現(xiàn)同一層面的，沒(méi)有很明顯的優(yōu)劣之分，可以遵循學(xué)生的個(gè)體意愿，讓學(xué)生自由選擇；有明顯優(yōu)劣之分的，教師要進(jìn)行合理引導(dǎo)。數(shù)學(xué)中“算法最優(yōu)化”的含義是要求在眾多算法中尋找最簡(jiǎn)捷、速度快、不易錯(cuò)的方法，而不是你喜歡怎么算就怎么算。這一點(diǎn)，教師在課堂教學(xué)中要十分明確，要負(fù)責(zé)任地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)算理去比較、去評(píng)價(jià)，并使學(xué)生掌握那些公認(rèn)的最佳的、最優(yōu)的、最基本的算法，只有這樣，才能更好地保證學(xué)生正確計(jì)算，提高他們的運(yùn)算能力。

還要注意兩點(diǎn)，一是強(qiáng)調(diào)算理的教學(xué)，并不等于每種算法都要讓學(xué)生把算理表達(dá)出來(lái)，對(duì)于有的算理，小學(xué)生是難以表述的，只要讓學(xué)生感悟就可以了。二是通常不需要在計(jì)算教學(xué)中把算理提出來(lái)進(jìn)行專門的教學(xué)，而是把它蘊(yùn)藏在計(jì)算過(guò)程之中，讓學(xué)生在計(jì)算中明確這樣算的道理。

【參考文獻(xiàn)】

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