在多元表征中深化數學概念理解

倪芳華

【摘要】數學概念是整個數學知識結構的基礎，是數學方法的載體、基礎知識的起點及邏輯推理的依據，是正確、合理、迅速運算的保證。對它的理解和掌握，直接關系到學生數學素養的形成和發展。針對小學生的心理發展特點，采用動作表征、形象表征、符號表征、言語表征等多元外部表征，幫助學生從多角度深入理解數學概念本質，建立真正反映概念本質的內在表征，發展學生的數學思維能力，提升概念教學的實效性。

【關鍵詞】多元表征；數學概念；理解

在小學數學教材中的概念，根據小學生的接受能力，表現形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。平時教學中，教師往往存在著重趣味，輕實效；重內涵，輕外延；重抽象，輕表象；重結論，輕過程；重實物，輕語言；重建立，輕運用的現象。如何遵循小學生認知規律，提高概念教學的有效性是很值得我們研究的問題。筆者結合最近聽的《因數和倍數》和《分數的初步認識（二）》兩節教學展示課，談談如何運用多元表征來豐富對數學概念的理解和認識。

一、借助動作表征引入概念，激發學生主動思維

小學生的思維以直觀形象思維為主。概念教學時，教師應選擇動態的直觀材料，通過操作演示，引導學生觀察、感知隱藏在動作或實物中的數學概念，幫助學生形成概念的直觀表象。也就是我們通常所說的運用動作表征引入概念。所謂動作表征，是指通過動作反應對知識進行表征，有些數學概念的定義就是通過動作的描述來表征的。

如劉老師在教學《分數的初步認識（二）》的課始，出示學生熟悉的分蛋糕情境圖，并進行動畫演示，讓學生回憶怎樣分公平？分得結果怎樣？得出把一個蛋糕平均分成2份，每份是這個蛋糕的二分之一，喚起學生已有的知識經驗和生活經驗，為新知的有效構建做了很好的鋪墊。緊接著出示一盤桃，要求均分給2只小猴，問題是每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？教學時，劉老師先展示“預學單”，呈現課前學生分的三種結果，鼓勵學生大膽闡述自己的觀點，在學生疑難處、意見分歧處，教師再借助課件演示，引導學生觀察理解，及時加以點撥引導：把這6個桃用一個圈圈起來，看作一個整體，平均分成2份，就用一條虛線從中間隔開，我們就說把一盤桃平均分成2份，每份是這盤桃的1/2。這既滿足了不同學生的差異需求，又激發了學生參與課堂的興趣，有助于促進學生學習力的可持續發展。“預學單”既是學生學習過程中的操作單，也是展開學習過程的重要工具。在教師的巧妙引領下，學生實現了從“一個物體的幾分之一”到“一個整體的幾分之一”的順利遷移。徐老師在教學《因數和倍數》時，首先出示題目：用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，每排擺幾個，擺了幾排？要求學生用乘法算式表示自己的擺法或想法，在學生匯報的同時教師用課件呈現不同的長方形和乘法算式，幫助學生直觀感知并建立因數和倍數的概念。通過組織的操作活動，使學生明白因數和倍數表示的是一個數與另一個數的關系，它們是兩個相互依存的概念，不能單獨存在。這樣既挖掘了數學本質，又建立了數學模型。

古希臘哲學家亞里士多德認為：“思維從問題、驚訝開始。”新授課的導入是引導學生進入學習最佳狀態的方式，是教與學的起點，是課堂教學的一個有機組成部分，是學生學習活動前一個不可缺少的啟動環節。兩位老師的新知引入可謂真實、有趣、有味、有效。

二、探究多元表征的實施路徑，豐富數學概念認識

隨著認知心理學的發展，概念教學有了新的變化，從單一表征到多元表征，從突出強調概念本質到與尋求意義并重。不同的表征形式是為了對概念或者問題進行不同的解釋，即從不同的角度不同的視角闡述其本質。為此，教師在數學概念教學時，積極引導他們經歷動作表征、情境表征、符號表征、圖像表征、體驗表征的過程，并在綜合表征中內化概念，幫助學生把握數學概念的本質內涵，促使他們深刻地理解和掌握概念。

1.充分感知，豐富表象

感知直觀素材，建立表象，雖然只是對事物的表面現象與外部特征的認識，即獲得感性認識，但是對學生掌握概念來說是極其重要的。因為學生的感性認識越豐富，表象越清晰，想象也就越生動，理解和掌握概念就越容易。

但豐富的感知不是單一的或者是數量上的重復，而是要通過多種途徑與方法為學生提供更為豐富而直觀的感性材料，讓學生可以通過不同方位、不同形式、不同感官體驗在記憶中建立起較為具體而準確的表象。同時，利用學生的表象，將其轉化為數學思維。如劉老師在教學《分數的初步認識（二）》例題1后，追問：這里6個、4個、8個桃的總個數不同，每份的個數也不同，卻都可以用1/2來表示？如果是分10個桃、48個桃、100個桃，甚至更多的桃，還是這樣分，你有什么想說的？教師呈現了一組總數不同，均分的份數相同的6盤桃的圖片，再引導學生進行觀察、比較、思考、交流，而后隱去桃子，換成其他物體，最后出示這樣一個圖標，指出這個整體可以是一盤桃，也可以是生活中其他物體組成的整體，只要把它平均分成兩份，每份都是這個整體的1/2。在比較辨析中，學生厘清了“部分與整體之間的關系”，獲得了對“一個整體的幾分之一”的深度理解，從具體走向綜合，把握了分數的本質。

2.數形結合，理解概念

數形結合指的是借助于直觀形象模型理解抽象的數學概念以及抽象的數量關系，它是“數形結合”思想方法的雛形。通過數與形的轉化來解決數學問題，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。

如徐老師在引入因數和倍數的概念時，用12個同樣的小正方形，擺出三種不同的長方形，得出三道不一樣的乘法算式。 由形到數，再由數到形，學生自主體驗其中倍數和因數的關系，為因數和倍數概念的理解打下了堅實的基礎，數形結合的思想得到了較好地體現。在練習時徐老師出示了這樣一道題：

教師做到了圖示與意義巧妙結合，通過動手操作、用腦想象、用眼觀察、用口表述和用耳傾聽等一系列學習活動，使學生在頭腦中迅速激活并強化關于外在感知對象的表象，通過數形結合更好地理解了12因數特征。

3.關注表達，促進理解

數學概念學習，一般應逐步由實物的直觀向圖形的直觀過渡，然后由圖形的直觀逐步到語言的直觀，即用形象的語言描述來代替實物和圖形的演示。用語言表述概念經歷“用自己的自然語言表達概念——用數學語言表述所學概念——用自己的個性化科學的語言表達”這樣一個螺旋上升的過程。

數學語言包括符號語言、文字語言和圖示語言。學生總是通過相對具體的語言符號來學習數學概念的。為此，在概念學習中，強化數學概念教學，引導學生正確理解數學概念，準確清晰地表述數學概念，靈活地使用數學概念，有利于他們掌握數學知識，感悟數學學習，體會數學的美妙。教學《因數和倍數》時，因數和倍數是全新的概念，需要教師的“傳授、講解”，需要學生的適當“記憶”——重復、仿照。徐老師根據4×3=12算式，幫助學生初步建立了因數和倍數概念后，提供了這樣一個語言模式：（ ）和（ ）是（ ）的因數，（ ）是（ ）的倍數，（ ）也是（ ）的倍數。要求學生仿照上題說出6×2=12和12×1=12中哪個數是哪個數的倍數，哪個數是哪個數的因數這樣將操作、思考、表達融為一體，既能培養學生的語言表達能力，又能發展學生的思維。數學表達就是數學學習不斷外化并進行實踐應用的過程。而理解數學概念的內涵就是要求學生能把事物的本質屬性揭示出來，并用簡潔、明了的合乎邏輯的語言進行表達。

4.經歷過程，建立模型

小學生掌握數學概念需要經歷“感知素材——建立表象——抽象概念——概念具體化”的認知過程。在數學概念教學中，教師要為孩子們提供充分的觀察、分析、思考、歸納等機會，讓他們積極參與到建模、比較、操作、同化、變式等數學活動中來，親身經歷概念的產生、形成、發展和應用的過程，從具體、感性的認識逐步過渡到抽象、理性的認識，讓概念的“形象”清晰起來，讓概念的本質屬性凸顯出來。

如劉老師執教的《分數的初步認識（二）》，教學時，她結合具體情境，通過問題驅動，借助直觀操作活動，讓學生在觀察、比較、感受、體驗、歸納中理解一個整體的幾分之一的含義。通過兩次比較辨析，讓學生在變與不變中把握分數的本質屬性，即變總數，桃子總量變，分法不變；變份數，桃子總量不變，分法變，從而引導學生在比較中抽象概括、感悟變與不變的思想。再通過變式練習、新舊知識對比以及課尾的拓展延伸題，幫助學生打通了“感性到理性”“經驗到邏輯”“已知到未知”的通道，在頭腦中建立起知識的網絡，形成良好的認知結構；促進分數概念的生成：把一個物體（把一些物體看作一個整體），平均分成（ ）份 ，每份就是這個物體（整體）的1/（ ）。這樣，幫助學生實現了“實物操作——圖像操作——符號操作”的三次轉化與提升，充分運用多元表征對信息本質進行合理的外顯化及豐富化，有效引領學生對知識學習的意義建構，促使學生對概念的理解，并獲得成功的體驗，讓學生在“再發現”中學會“再創造”。

三、發揮多元表征學習魅力，培養良好思維品質

建構主義認為，學習是學生作為認知主體主動構建的過程，如何幫助學生把握概念的內涵和外延，多元表征在數學課堂中的運用，是促進新知識的生成，也是培養學生數學思維、提高解決問題能力的有效途徑。因為，多元表征可以多層次抽象數學概念，多視角歸納數學概念，多維度建構數學概念，讓學生的數學內在表征和數學思維過程可視可感，有著獨特的魅力。

如劉老師教學《分數的初步認識（二）》時，放手讓孩子們自主探究：“12個桃可以平均分成幾份？每份各是它的幾分之一？”在擺一擺、畫一畫、填一填、說一說的過程中，教師相機呈現不同的圖形和分數，隨后出示核心問題：“都是12個桃，表示每一份的分數為什么不同？”劉老師通過組織學生觀察、操作、舉例、解釋等直觀途徑，采用聽思結合、學思結合、手腦結合、說學結合等方式，讓學生經歷了創造分數的過程，使抽象的概念變得可感而可視、親切而活潑。教師巧妙引導學生將圖形表征轉譯成言語表征和符號表征的過程，抓住了數學表征內在的多元聯系，促使學生進一步體會分數與平均分的份數有關，平均分的份數不同，表示其中一份的分數也就不同，有效促進了學生對分數本質屬性的理解和掌握，在遷移、變式中實現了由“單個物體的幾分之一”到“一個整體的幾分之一”概念的轉化和成長，從而使學生建立了穩定且清晰的知識結構，積累了豐富的數學思維經驗，發展了學生的思維能力。

數學概念教學既要引導學生由具體到抽象，形成概念，又要讓學生由抽象到具體，運用概念。教師必須認真鉆研教材，掌握小學數學概念的系統，摸清概念發展的脈絡，并依據小學生的認知規律和學生的心理特點，采用恰當的表征方式優化概念教學的過程，使得概念教學扎實有效。同時，還要幫助和引導學生靈活運用多元表征走近生活，走近數學，學“有趣”的數學，學“生活中”的數學，學“有價值”的數學，用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界。數學概念表征的研究，還在路上……