讓微專題教學(xué)更具“主動探究”的味道
——以“阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用”為例

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 陳益龍

“微專題”是指一個相關(guān)聯(lián)的、可以單獨研究的知識體系，或者某種數(shù)學(xué)思想方法、一個研究主題等.“微專題”教學(xué)是指針對某一具體知識點，從該知識的基本概念、基本原理、基本規(guī)律入手，內(nèi)化知識，構(gòu)建結(jié)構(gòu)進行知識遷移，整合并運用基本概念和原理解決實際問題的一種“小切口”教學(xué)方法.在高三數(shù)學(xué)大專題復(fù)習(xí)中，適當(dāng)?shù)卮┎濉拔ｎ}”教學(xué)，不僅有助于難點的有效突破，知識點的有效落實，而且有助于促進學(xué)生深度學(xué)習(xí).雖然“微專題”教學(xué)的優(yōu)勢已經(jīng)得到越來越多教師的共識，但在實際操作中“微專題”很容易異化為簡單的例題聚集，“微專題”教學(xué)也很容易異化為純粹的解題活動.

最近，筆者觀摩了一堂高三微專題復(fù)習(xí)課，上課的主題是“阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用”，具體教學(xué)流程如圖1所示.

教師首先給出阿波羅尼斯圓的定義，然后組織學(xué)生證明預(yù)先列出的相關(guān)性質(zhì)，最后應(yīng)用性質(zhì)解題.整堂課從表面上看似乎井然有序，高效緊湊，但深入分析的話，所有的性質(zhì)都是教師事先給出的，學(xué)生只是在教師的指令下做機械的運算，這種用“灌輸”來代替學(xué)生“主動探究”的行為顯然與微專題教學(xué)的理念背道而馳.那么，這節(jié)課該如何改進呢？筆者做了如下的嘗試.

一、在比較分析中發(fā)現(xiàn)主題

微專題的選題視角多樣，不一而足，可以來自考點的細化、知識點的延伸、易錯點的辨析、模型結(jié)論的應(yīng)用，但不論選用哪個視角，都要立足于學(xué)生的實際需求，即所謂的“真問題”“、實問題”，那些由教師直接給定的主題可能無法引發(fā)學(xué)生的認知共鳴，從而使微專題的教學(xué)效果大打折扣.因此，對于微專題的選題，學(xué)生要有一定的決定權(quán)，要體現(xiàn)出自然發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的思維過程.

解析：此題通常的解法是利用余弦定理，把面積表示為函數(shù)，然后求函數(shù)的最值，具體如下：

筆者以這道題目作為課前作業(yè)，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生都采用了上述解法，但有個別學(xué)生用了另一種解法：

設(shè)A（-1，0），B（1，0），動點C（x，y），由AC=BC點的軌跡是以D（3，0）為圓心，2為半徑的圓.

兩種方法都實現(xiàn)了解決問題的目的，但它們的視角不一樣，前面一種方法采用了常規(guī)的解三角形的視角，后一種則采用了解析幾何的視角，把幾何問題坐標(biāo)化.通過比較兩種方法的優(yōu)劣，前一種雖然容易想到，但運算煩瑣不易做對，后一種形象直觀更容易獲得正確的答案.從思維層次看，后一種的思維含量更高一籌.但我們不能就題論題，僅止步于正確答案的獲得，而是要引導(dǎo)學(xué)生深究其背后蘊藏的數(shù)學(xué)原理.于是，引發(fā)了對于“C點”軌跡的思考：滿點的軌跡是圓，那么且λ≠1）是否是圓？最終引出了本節(jié)課的研究主題——“阿波羅尼斯圓”.

阿波羅尼斯圓：在平面上有相異兩定點A，B，設(shè)P點在同一平面上且滿時，P點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓.

二、在解決問題中提煉性質(zhì)

微專題中所包含的知識點往往是命題的熱點，具有深遠的背景，因此在設(shè)計微專題時，很多教師的做法是把知識點往深處挖，通過大量的拓展性的發(fā)掘，讓學(xué)生掌握更多的性質(zhì)與結(jié)論.但這樣的做法無形中加大了學(xué)生的負擔(dān)，“微專題”也就失去了“微”的特征.正確的做法是根據(jù)學(xué)情控制拓展的深度、廣度和難度，在解決具體問題的過程中讓學(xué)生主動提煉相關(guān)的性質(zhì)與結(jié)論.

練習(xí) 在等腰△ABC中，AB=AC，D為AC的中點，BD=，則S△ABC的最大值是______.

分析：與引例類似，本題也可以利用三角形面積公式與余弦定理加以解決，但有了先前的經(jīng)歷，學(xué)生不禁會思考，能否利用阿波羅尼斯圓的性質(zhì)進行解答.不難發(fā)現(xiàn)，B、D為定點，2為定值，故點A的軌跡為阿波羅尼斯圓.

通過對引例與練習(xí)的解答，學(xué)生感受到阿波羅尼斯圓在解題中的重要應(yīng)用，進而引發(fā)對阿波羅尼斯圓的探究興趣.尤其是針對上述題目，最后的面積問題都與對應(yīng)的阿波羅尼斯圓的圓心與半徑有關(guān)，這樣自然引發(fā)了對阿波羅尼斯圓圓心所在位置

與半徑大小的思考.

定理：A，B為兩已知點，P，Q分別為線段AB的定比為λ（λ≠1）的內(nèi)外分點，則以PQ為直徑的圓O上任意點到A，B兩點的距離之比為λ.

而P，Q，C同時在到A，B兩點距離之比等于λ的曲線（圓）上，不共線的三點所確定的圓是唯一的，因此，圓O上任意一點到A，B兩點的距離之比恒為λ.

借助上面的定理就很容易得到下面的兩個非常有用的性質(zhì)：

性質(zhì)1：當(dāng)λ＞1時，點B在圓O內(nèi)，點A在圓O外；當(dāng)0＜λ＜1時，點A在圓O內(nèi)，點B在圓O外.

三、在綜合應(yīng)用中深度學(xué)習(xí)

解析：此題很難直接進行運算，若從幾何的角度進行分析，題目就會明了許多.設(shè)

微專題教學(xué)不僅要“微”，而且要更加注重知識間的整合和聯(lián)系，強調(diào)“大處著眼，小處著手”，綜合應(yīng)用是必不可少的環(huán)節(jié).因此，有針對性、選擇性地在知識交匯處設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}，讓學(xué)生帶著問題去思考，去發(fā)現(xiàn)，把學(xué)生的思維深入地融入教學(xué)過程中，把新的知識與解題技巧有機地融入自己原有的認知結(jié)構(gòu)中，從而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目的.

設(shè)2|PA|=|PC|，則f（α）=|PC|-|PB|.又因為|PC||PA|=2，所以P點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其中圓心與A、C共線，于是問題轉(zhuǎn)化為滿足條件的點C是否存在.假設(shè)C（m，n），則由此，滿足條件的點C存在，如圖3所示，f（α）=2|PA|-|PB|=

圖3

此題考查學(xué)生綜合運用阿波羅尼斯圓性質(zhì)的能力，同時也引發(fā)了對阿波羅尼斯圓定義本身的思考.如果對定義中的條件與結(jié)論進行標(biāo)號：①在平面上相異兩定點A，B，②設(shè)P點在同一平面上λ＞0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓.思考：若把①②③其中兩個視為條件，另一個視為結(jié)論，能得到多少個正確的命題呢？

探究1：如果將定理中的題設(shè)“①平面內(nèi)給定相異兩點A，B”，與結(jié)論“③P點的軌跡是個圓”互換，命題是否成立呢？

微專題教學(xué)的本質(zhì)是探究性教學(xué)，因此整個教學(xué)過程要體現(xiàn)出探究性學(xué)習(xí)的特征，即在嘗試中發(fā)現(xiàn)問題，在設(shè)問和釋問中優(yōu)化思維品質(zhì)，在解決綜合問題的進程中獲得能力，從而促進學(xué)生主動建構(gòu)知識，獲得感悟和體驗，達到見微知著的效果.F