數學解題教學的“五個境界”

☉江蘇省西亭高級中學 馬宇杰

數學教學離不開解題，雖然解題不是數學學習的全部，但它卻是掌握數學的一個重要的途徑.正如美國數學家哈爾莫斯所言：“數學真正的組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟.”波利亞也曾說過“掌握數學就是意味著善于解題，中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練”.因此，解題教學自然成為數學教學的重要組成部分，如何開展更有效的解題教學是廣大一線教師不得不思考的問題.

境界一、關注題目解法，追求聽懂會做

“解題”與“解題教學”是兩個不同的概念.解題就是“解決問題”，即求出數學題的答案，這個答案在數學上也叫做“解”，“解題”是以獲得“答案”為最終目的.解題教學是揭示解題過程的一種教學活動，它通常由對例題、習題以及數學結論的分析、探索、講解和反思等環節組成，“解題教學”關注更多的是過程.要進行“解題教學”教師首先必須“會解題”，但教師“會解題”未必“會解題教學”.比如，教師講得頭頭是道，學生聽得云里霧里；又或者學生能夠聽懂卻不會自己解答.這樣的現象就稱為“解題”與“解題教學”“脫節”.

圖1

“解題視角”的不同是造成“脫節”的主要原因.對一道題目來說，“解題視角”一般有三個，如圖1所示，一是標準答案視角，即命題者視角，它舍棄一些“不重要”的步驟，把解題過程以最精煉形式呈現出來，但對教師與學生而言，這是一種“閹割”的解題過程；二是教師視角，它立足教師的已有經驗與思維水平，展現的是教師對問題的分析過程，并“想當然”的認為學生也能夠理解并接受；三是學生視角，不同學生對同一問題的思索，暴露出來的是“稀奇古怪”思維障礙.因此，在開展解題教學之前，教師首先要對這三種視角進行分析整合，內化標準答案，結合學生的學情，優化解題步驟，把解題過程以易于學生理解的方式呈現出來，進而實現“解題”與“解題教學”的統一，這就是解題教學的第一個境界.

境界二、關注教學“套路”，追求課堂效率

顯然，“境界一”的關注點是“某道題”，因此很難擺脫“就題論題”的局限性.題目是“做不完，講不盡”的，而教學課時是有限的，因此解題教學的關注點應該從“題”的層面上升到“課”的層面上，重點探索解題教學的“套路”.“套路”是網絡流行語言.而在解題教學中，“套路”指的就是比較成熟的、被證明是有效的、易于學生接受的操作步驟與教學模式.

圖2

筆者在解題教學中就經常采用“嘗試—碰撞—提煉—訓練”的套路，如圖2所示.當然，解題教學的套路不一而足，它往往“因人而異”、“因題而異”某種程度上還受教師的教學理念、學校教學傳統等因素的影響.

境界三、關注理論引領，追求知識個性

“套路”更多的是從宏觀的角度把握課堂教學的方向與節奏，它解決了普適性的問題，實現了“只要是解題教學，都可以用套用”的目的，但過度追求共性就容易產生忽視知識點個性的弊端.比如，立體幾何解題教學，重點在于培養空間想象能力，而解析幾何解題教學，重點是發展“幾何關系代數化”的能力，若采用同一套路就很難圓滿達成教學目標.因此，在“套路”的大框架下，我們還需根據知識的特點以及要達成的教學目標，引入先進的教學理論，然后立足理論的內涵，設計更具針對性的教學流程.