不完全歸納推理法在平方數判斷中的應用

☉湖北省武漢市武鋼三中 孟工棋

不完全歸納推理又稱不完全歸納法，是以某類對象中的部分對象具有或不具有某一屬性為前提，推出以該類對象全部具有或不具有該屬性為結論的歸納推理.不完全歸納法在探求新知識的過程中具有極為重要的意義.平方數的判斷是初等數論中有趣的問題之一，兩個自然數的乘積是平方數，而這兩個自然數線性變換的乘積是否也為平方數呢？下面舉例說明判斷過程與不完全歸納推理在部分判斷過程中的應用.判斷過程中主要用到了不等式、平方差公式、一元二次方程根與系數的關系、不完全歸納思想等知識點.

一、問題的提出

若a，b是不相等的正整數，且ab為平方數，那么（a+2）b，（b+2）a，（a+2）（b+2）是否為平方數？

二、是否為平方數的判斷與推理

根據問題所給的條件，我們不妨規定正整數a＜b，ab=k2，k∈Ζ+，則a＜k＜b.

1.a（b+2）是否為平方數的判斷

因為a＜k，所以2a＜2k＜2k+1.由于k2=ab，且a∈Z+，所以k2＜a（b+2）.另外，a（b+2）=ab+2a，且ab=k2，a＜k，則ab+2a＜k2+2k＜k2+2k+1=（k+1）2，即a（b+2）＜（k+1）2.可見a（b+2）介于平方數k2與（k+1）2之間，所以a（b+2）不可能為一個平方數.

2.（a+2）b是否為平方數的判斷

假設（a+2）b為平方數，即（a+2）b=m2，m∈Z+，由于ab=k2，我們有

注意到（m-k）+（m+k）=2m為偶數，因此（m-k）與（m+k）同為奇數或偶數，而（m-k）（m+k）=2b為偶數，因此m-k，m+k都為偶數，不妨設

因為k∈Z+，所以s≠t.

②式代入①式中有，2b=（2s）（2t），即b=2st.而ab=k2，故

3. （a+2）（b+2）是否為平方數的判斷

假設（a+2）（b+2）為平方數，即（a+2）（b+2）=m2，m∈Z+，則ab+2a+2b+4=m2，那么2a+2b+4=m2-ab=m2-k2，即

2a+2b+4=2（a+b+2）=（m-k）（m+k）. ③

與前面的討論類似，m-k與m+k同為奇數或偶數.由③式可知，（m-k）（m+k）為偶數，因此m-k與m+k都是偶數，設

根與系數的關系可知，a與b是方程x2-（2st-2）x+（t-s）2=0

由此可見，（a+2）（b+2）是否為平方數主要取決于a，b的取值.

要使a，b都是整數，只需要

此時有

三、討論a，b的取值

由⑤式注意到當s=1時，t=1，與④式中的t＞s矛盾，所以s≥2.

由上面的不完全歸納，我們猜想s=n時，p=2n，代入⑤式中解得t2=1+4n2（n2-1）=（2n2-1）2，即t=2n2-1.

將s=n，p=2n，t=2n2-1代入⑥式，有：

a=（st-1）-p（s2-1）=［n（2n2-1）-1］-2n（n2-1）=n-1，

b=（st-1）+p（s2-1）=［n（2n2-1）-1］+2n（n2-1）=4n3-3n-1.

則ab=（n-1）（4n3-3n-1），

（a+2）（b+2）=（2n2+n-1）2，其中n≥2.

整理后得ab=（2n2-n-1）2，

（a+2）（b+2）=（2n2+n-1）2.

此時，ab為平方數，（a+2）（b+2）也為平方數.即當a=n-1，b=4n3-3n-1（n≥2）時，ab和（a+2）（b+2）均為平方數.

四、結論

綜上討論，當ab為平方數時，a（b+2）與（a+2）b都不是平方數，而（a+2）（b+2）是否為平方數主要取決于a，b的取值.在討論a，b的取值時用到了不完全歸納推理，我們可以深刻地體會到不完全歸納推理的特點，從有限的特殊的規律中，猜測出一般的普適的規律，最后驗證猜測的正確性，即結論所斷定的范圍超出了前提所斷定的范圍.不完全歸納推理結論的知識往往不只是對已有知識的簡單推廣，而且還揭示出存在于無數現象之間的普遍規律性，給我們提供全新的知識，尤其是科學的普遍原理.所以，不完全歸納法在探求新知識的過程中具有極為重要的意義.J