分清橢圓離心角與旋轉(zhuǎn)角

☉甘肅省白銀市第一中學(xué) 胡貴平

在應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程解題時(shí)，許多學(xué)生由于未能深入理解參數(shù)的幾何意義，沒(méi)有準(zhǔn)確把握橢圓參數(shù)方程中離心角與旋轉(zhuǎn)角的區(qū)別與聯(lián)系，從而產(chǎn)生誤解，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

一、問(wèn)題再現(xiàn)

題目 已知P、Q是橢圓3x2+5y2=1上滿足∠POQ=90°的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|OP|2+|OQ|2=（ ）.

錯(cuò)解：橢圓3x2+5y2=1，的參數(shù)方程為

錯(cuò)解分析：回顧橢圓參數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，如圖1，以原點(diǎn)為圓心，分別以分別a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥Ox，垂足為N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程.

圖1

設(shè)∠AOx=θ，M（x，y），則A（acosθ，asinθ），B（bcosθ，即M的軌跡參數(shù)方程.點(diǎn)M的軌跡普通方程.

橢圓參數(shù)方程中的θ為離心角，∠AOx=θ，而旋轉(zhuǎn)角∠MOx≠θ，將旋轉(zhuǎn)角∠MOx增加90°，離心角θ不一定增加90°，那么離心角與旋轉(zhuǎn)角有什么關(guān)系呢？

通過(guò)幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)的顯示，如圖2，當(dāng)拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn)A繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，離心角∠AOx和旋轉(zhuǎn)角∠MOx的大小都在發(fā)生變化，可以觀察出，在第一象限時(shí)，∠AOx＞∠MOx；在第二象限時(shí)，∠AOx＜∠MOx；在第三象限時(shí)，∠AOx＞∠MOx；在第四象限時(shí)，∠AOx＜∠MOx；當(dāng)拖到坐標(biāo)軸上時(shí)∠AOx=∠MOx，一共有四次相等的機(jī)會(huì).

圖2

由橢圓參數(shù)方程知，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓上除短軸上的頂點(diǎn)外，任意一點(diǎn)M（acosθ，bsinθ）與原點(diǎn)連線的

二、解法分析

（一）應(yīng)用橢圓參數(shù)方程

解法1：橢圓3x2+5y2=1，即參數(shù)方程為■

（二）應(yīng)用橢圓與直線位置

當(dāng)P、Q不是橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)OP ∶y=kx，則OQ ∶y=

（三）應(yīng)用橢圓的極坐標(biāo)方程

圖3

解法3：如圖3，以橢圓中心O為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為3cos2θ+5sin2θ

顯然與極角θ值有關(guān)，故選D.

（四）應(yīng)用直線的參數(shù)方程

顯然與傾斜角θ值有關(guān)，故選D.

變式：已知P、Q是橢圓3x2+5y2=1上滿足∠POQ=90°

分析：解法同例題有多種方法，下面選一種比較簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)法.

解：如圖3，以橢圓中心O為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程

評(píng)注 此題的常規(guī)解法是設(shè)出OP、OQ的點(diǎn)斜式方程，再與橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)而示成OP斜率的函數(shù)，最終證得結(jié)論.此題還可以推廣為：已知P、Q滿足∠POQ=90°的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（1）