平移坐標系法在圓錐曲線問題中的應用

☉廣西柳州高級中學 吳佐慧

文1研究了2017年普通高等學校招生全國統一考理科數學試卷Ⅰ第20題（圓錐曲線）的解法以及推廣，同時也例證了數學核心素養在解題教學中的滲透.文2是對一道課本習題（圓錐曲線）進行探討，得到了相關的性質.不難發現，以上各例均為圓錐曲線的定點定值問題，且與直線斜率有關.兩篇文章的作者都直接應用坐標法，先設動直線的方程為l：y=kx+m，然后聯立直線與圓錐曲線的方程進行求解.

在解決圓錐曲線問題的時候，多種方法可供我們選擇，其中坐標法是解析幾何中最基本的方法，也是最重要的方法.坐標法的優越性在于它利用了數可以運算的特點，把幾何問題代數化.同時也可以通過建立極坐標系來解決一類問題；再加上向量的直觀，我們也可以常常利用向量的代數運算來研究圖像的性質，即所謂的向量法；同樣也可以把橢圓變成圓，即點變換法，包括：正交變換和仿射變換等.

本文將從平移坐標系的視角再次給出文1、2中問題的證明，這個證明將是非常自然也是容易理解和接受的.

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與P2B的斜率和為-1，證明：l過定點.

證：平移坐標系，將坐標原點O平移到P2點，過P2點且垂直于y軸的直線作x′軸，過P2點且垂直于x軸的直線作y′軸，則在新的直角坐標系下，橢圓的方程（y+1）2=1，即x2+4y2+8y=0. ①

設在此坐標系下直線l的方程為mx+ny=1. ②

聯立①②x2+4y2+8y（mx+ny）=0，整理可得

注：本題中出現的條件：直線P2A與P2B的斜率和為-1，很容易讓人聯想到設動直線的方程為l：y=kx+m，接著聯立方程、韋達定理，但是我們再細想一下怎么才能使斜率的表達式比較簡單？顯然是過坐標原點的直線斜率最簡單.同時，本題直線P2A與P2B又同過點P2，所以很自然的想到把坐標原點平移到點P2，此時直線P2A與P2B的斜率就比較簡潔，再用韋達定理的時候，計算量就得到了很大的簡化，證明過程就顯得非常自然且容易理解.

證明：平移坐標系，將坐標原點O平移到P點，過P點且垂直于y軸的直線作x′軸，則在新的直角坐標系下，橢圓的方程

設在此坐標系下直線l的方程為mx+ny=1. ④

目前軍工科研單位許多科研人員認為檔案是檔案管理部門的工作，缺乏對過程資料歸檔的意識。導致項目建設中對隨機資料、研制過程資料、測試驗收資料等沒有進行及時的預歸檔工作，造成后期找不到資料，檔案驗收不合格的情況。

聯立③④b2x2+a2y2+2a2by（mx+ny）=0，整理可得2bnλ=λ.又因為λ≠0，即直線l在新坐標系下過點

性質2：設直線l不經過橢

同樣的證明方法可以得到文1中的其他性質.在此不再贅述.

證明：平移坐標系，將坐標原點O平移到M（x0，y0）點，過M點且垂直于y軸的直線作x′軸，過M點且垂直于x軸的直線作y′軸，則在新的直角坐標系下，橢圓的方程為心對稱的兩點，M是橢圓上不同于A，B的任意一點，則

設在新坐標系下直線AB的方程為mx+ny=1.⑥

聯立⑤⑥b2x2+a2y2+（2b2x0x+2a2y0y）（mx+ny）=0，整1）b2=0.

性質4：M（x0，y0），其中y0≠0，是橢圓

證明：平移坐標系，將坐標原點O平移到M（x0，y0）點，過M點且垂直于y軸的直線作x′軸，過M點且垂直于x軸的直線作y′軸，則在新的直角坐標系下，橢圓的方程

設在新坐標系下直線AB的方程為mx+ny=1.⑧

聯立⑦⑧b2x2+a2y2+（2b2x0x+2a2y0y）（mx+ny）=0，（2x0m+1）b2=0.

對于雙曲線、拋物線，我們可以采用類似的方法進行處理，在此不再贅述.

教育部于2014年3月頒布的《關于全面深化課程改革落實以德樹人根本任務的意見》提出核心素養以及學科核心素養，并且明確要求“研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準”.2016年9月13日由北京師范大學專家牽頭的專家小組公布了研究結果，將核心素養定義為“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”.課程標準把數學核心素養定義為：“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的、與數學有關的思維品質和相關能力.”

數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.通過基礎教育階段的數學教育，接受數學教育的終極目標是：會用數學的眼光觀察世界；會用數學的思維思考世界；會用數學的語言表達世界.

數學核心素養需要我們教師在正常的教學中落實.平時我們就要引導學生多思考，多整理，知道自己有什么工具（方法）可用，看到一個條件或實際問題，問問自己，它有什么特征、以前在哪見過、有哪些方法可以嘗試，和以往的有什么不同、我得做怎樣的調整.

我們教學生數學不是為了教會學生幾個數學題、督促學生做幾張試卷.題目，學生是永遠都做不完的；試卷，我們老師也是講不完的.學生學過的知識過些年后就會遺忘，但是他永遠不會忘記的就是思考問題的方式以及學習的習慣，所以我們教學生的目的就是要教會學生學會學習、學會思考，提高學生分析問題以及解決問題的能力——這些才是學生終身受用的.