用“四項基本原則”求解數列問題

☉江蘇省新海高級中學 李 杰

“基本數列、基本量、基本公式、基本思想”是處理數列問題的四項基本原則，如何構造基本數列，即等差數列與等比數列，利用an，Sn，d（q），n，a1及其通項公式和前n項和公式構建函數模型成為解決問題的關鍵.本文以一例常見問題談談“四項基本原則的應用”.

題目 已知等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，

解法一：利用等差數列的前n項和公式.

點評：本法遵循的原則是“基本公式”的應用，本法根據等差數列前n項和的模型為關于變量“n”且不含常數項的二次函數形式，故設為Sn=An2+Bn，再利用an與Sn的關系式：an=Sn-Sn-1進行求解.

解法二：由數列{an}，{bn}均為等差數列，設{an}，{bn}的首項分別為a1，b1，公差分別為d1，d2，則有：

點評：本法遵循了“基本量”的原則，通過回歸基本量的基本思路.將兩個數列的首項和公差代入和式，用方程思想消元求解，中間過程結合了特殊值法.解決等差數列的兩大方向，基本量法或利用其性質來解決.基本量法反映的是方程或函數的思想，性質則是利用等差的特殊性質直接求解，強調的是式的整體變形，兩大方法各有千秋.建了項與和之間的關系，對于求比值來說可謂“如魚得水”，而法四利用了性質：若m+n=p+q，則有an+am=ap+aq.

本題圍繞的是等差數列的S2n-1與an的特殊關系直接轉化求解.一道看似簡單的試題，但利用四個基本思想從各個角度解決等差數列問題，給我們呈現出精彩的思維展示，且始終圍繞“基本數列、基本量、基本公式、基本思想”這一主題！其中函數思想——基本思想，回歸等差數列的函數思想，利用等差數列前n項和的二次函數形式：Sn=An2+Bn，以及an=Sn-Sn-1將項與和進行轉化得解，還

點評：法三和法四遵循了“基本性質”的原則，利用等差數列序號的對稱性來求解.J