微專題立意，學習進階導向

☉江蘇省宜興第一中學 周偉良

一、理論引領，實踐創新

微專題教學指的是在數學教學過程中，圍繞著某個知識點或者數學思想開展研究，從知識或者思想初始的概念開始，循序漸進，并且通過一條清晰的主線串接起來的教學過程.微專題具有靈活、實用和有效的特點，能夠讓不同層次的學生在整個教學活動中起到作用，并且提升綜合能力.

學習進階理念強調為學生的認知發展設計合適的路徑，實現不同思維層級的逐步演進.微專題研究關注核心概念，彰顯能力立意，成為推進學習進階的有效載體.兩者相輔相成，相得益彰.

二、見微知著，明道優術

學習進階由五個要素組成：進階起點和終點、進階水平、學業表現、進階維度和測評工具.教師首先需要選取一個范圍合適的核心概念，隨后查閱文獻資料，了解核心概念.下面將以蘇教版高中數學“函數零點”這一核心概念為例，建立函數零點高三復習微專題，闡述“學習進階”在高中數學微專題中的建立.

（一）確定進階起點和進階終點

學習進階的起點指的是學生已經具備的知識技能和學習經驗，進階的終點指的是學生最終需要達到的目標，也就是學生可以達到的最高水平.教師首先需要對本班學生已有的知識儲備有一定的了解，隨后查閱資料文獻，結合課程標準、教學目標確定進階的終點.

（二）建構精準性學習進階

在實際的教學過程中，教師根據班級的實際情況修改假設性學習進階，設計符合本班學生實際情況的分層進階學習方案.數學教學是基于練習來完成的，學生通過不斷的練習，來掌握和學習知識.教師依據進階起點，結合學生實際的情況，在假設進階的基礎之上，選取代表性題型，引導學生進行思維的遷移和發散，促進學生形成完整的邏輯鏈，體會其中的數學思想，從而達到進階終點.

例如，在零點問題的教學設計中，在學習進階理念的指導之下，可以設計如下三個層級的學習內容，來促進學生逐步加深理解.

層級1.直接應用，基礎層級

對于零點問題，其進階的起點是理解“顯性”零點，結合方程的思想和函數圖像，找到解決零點問題時的轉換方法：函數的零點?方程的根?函數圖像與x軸交點的橫坐標.學生若想從進階的起點進階至下一個層級，需要完成一定的練習，同時教師通過講解例題和習題，引導學生總結規律，從而使學生可以高質量地完成層級跨越.

例1（1）求函數f（x）=x2+x-6的零點；

（2）判斷f（x）=x2+2x+4的零點個數.

解析：（1）全部學生都可以將零點問題轉換成為方程問題，隨后解方程x2+x-6=0，超過半數的學生使用了因式分解的方法進行解方程（x+3）（x-2）=0，解得x1=-3，x2=2.剩下的學生采用了判別式法進行解答.

（2）此題中學生們采用了判別式Δ＜0和函數圖像兩種方法得到了零點個數為0.

設計意圖：例1的設計目的是為了讓學生通過自己動手練習，可以體會到方程、函數圖像和零點之間的關系，同時鞏固之前所學習的方程求解方法.

解析：例2在前面例題的基礎上添加了區間，同時函數變得較復雜，學生若不能進行適當的變形，則無法正確解答此題.

求解（fx）=x-lnx-2的零點，則求x-lnx-2=0的解的個數，依靠學生現在的水平，是沒有辦法直接進行求解的，但是上式可以變為lnx=x-2.此時可以通過分別畫出y=lnx和y=x-2的圖像，如圖1，通過在區間內交點的個數進行判斷.

圖?

設計意圖：此題是“隱性”的零點問題，這類零點問題往往不能通過方程思想進行求解，需要依靠圖像，結合數形結合的思想解決問題.學生通過解答此類問題，可以得到此類問題的一般解法，從而提升思維.

通過以上兩個例題可以發現，層級1是在進階起點上的直接應用，主要就是“解”，就是要求學生使用所學的知識，解決問題.這一層級的學習主要是通過模仿練習，不斷地鞏固知識，總結規律.學生若處于這一層級，教師需要多加引導，幫助學生找到知識盲區，進入下一層級.

層級2.變形應用，能力層級

零點問題在基礎題之上加入參數，是對零點問題的變形，參數的位置改變等都會使得問題變得不一樣，使得零點靜態問題變為動態的.引入參數之后，零點問題開始變得復雜起來，需要使用分離參數的方法和函數單調性的判斷，這樣使得學生的思維從形式表征到方法思想討論的多維度進階.

例3 請討論以下問題：

（1）求當k取何值時，f（x）=x-lnx-2-k有兩個零點；

（2）f（x）=kx-lnx-2有且僅有一個零點，求k的取值范圍；

（3）若函數f（x）=x-klnx有兩個零點，請求出此時k的取值范圍.

解析：（1）在此問中，將參數引入到了常數項的位置，結合函數圖像引導學生思考，這只是將函數圖像進行上下平移，因此可以直接根據圖像得到：當k＞-1時，函數有兩個零點.第二種方法是使用分離參數的方法，討論y=x-2-k和y=lnx的交點個數，在例2的圖像基礎上進行平移就可以得到相同結論.

（2）在這一問當中，k出現在了x的一次項系數位置，使用上一問中的簡單平移思想很難得到答案，這就需要學生使用分離參數的方法，并且結合函數的單調性進行答題.將函數分解為y1=k和函過導數y2′=斷y2的單調遞增區間調遞減區間合圖像得出答案.

（3）此時將參數k的位置移動到了lnx前面，使得問題變得更加復雜，但是整體的思路仍然相同，可以結合圖像得到k的取值范圍為（e，+∞）.

此層級的例題相比于基礎層級，在思維和解題復雜程度上都有了明顯的提升，需要學生掌握好基礎知識規律的同時，能夠認真分析題目，結合分離參數方法進行解答.

層次3.綜合應用，發散層級

進階終點是學生的綜合應用能力，學生在掌握了零點的定義、判定定理等概念之后，需要結合分類討論、數形結合等數學思想，解決復雜的數學問題.因此學習路徑中的最后一個層級，是在前面兩個層級的基礎之上，逐漸遞進，以達到較高的水平.

解析：此題是在前面兩個層級的基礎上的一個大的提升，對學生概念以及思想的考察是全方位的.首先根據在e點的數f（e）可以求得b=e.此時函數變討論：

第三層級也就是最高層級，是學生在高中階段需要最終達到的層級.通過前面兩個層級的鋪墊，學生整合了相關的知識要點和思想方法，最終達到綜合應用層級.

三、于無聲處，靜待花放

“學習進階”理念指導下的高中數學教學，即需要教師根據學生現有的知識水平、學習能力，結合層級水平，確定不同層級學生的學習方向.教師要不斷地調查了解學生的層級水平，了解學生已經學到了多少知識，理解了多少知識，可以應用多少知識解決問題，從這些方面判定學生的層級，幫助學生從進階起點不斷努力，跨越連續層級，抵達進階終點.