對(duì)一道聯(lián)考函數(shù)模擬題的多解探究

☉江蘇省宿遷市文昌高級(jí)中學(xué) 王少鵬

分析：分段函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，其分段是針對(duì)定義域而言的，將定義域分成幾段，各段的對(duì)應(yīng)法則不一樣.由于分段函數(shù)在理解和掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)、應(yīng)用及交匯等知識(shí)的考查上有較好的作用，備受命題者青睞，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng).本題涉及分段函數(shù)的圖像問(wèn)題，因其解析式中涉及變?cè)猘，則需對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行a＜0與a≥0分類，結(jié)合不同條件下對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化，特別當(dāng)a≥0時(shí)，由于變化的多樣性，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析、切線轉(zhuǎn)化、函數(shù)圖像及存在性法等方法來(lái)解決.

分析：結(jié)合分類討論思想先確定當(dāng)a＜0時(shí)函數(shù)f（x）的圖像恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，滿足題意；而針對(duì)當(dāng)a≥0時(shí)，利用條件轉(zhuǎn)化函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0，通過(guò)進(jìn)一步細(xì)分參數(shù)a的不同取值，結(jié)合分段函數(shù)的解析式與對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定其最小值，進(jìn)而求解滿足條件的參數(shù)a的取值范圍；最后加以綜合處理即可.

解法1：（1）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=ax-1，x≤0的圖像經(jīng)過(guò)兩個(gè)象限（第二象限與第三象限），函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0恒有y=x3-ax+|x-2|＞0在區(qū)間（0，+∞）上成立，其圖像僅在第一象限，故當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，滿足題意.

（2）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=ax-1，x≤0的圖像僅經(jīng)過(guò)第三象限，要滿足題意，則函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0的圖像需經(jīng)過(guò)第一象限與第四象限，而y=g（x）=x3-ax+|x-2|=

充分挖掘課本知識(shí)，拉近調(diào)配與高考之間的距離，架起相應(yīng)的橋梁，是平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵所在.有意識(shí)地針對(duì)一些典型的真題加以多解剖析，從課本基本知識(shí)入手，從多個(gè)角度切入，真正達(dá)到“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的境界.

例 （2018年江蘇省高三第三次調(diào)研考試（七市聯(lián)

綜上分析，可知a∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

分析：結(jié)合分類討論思想先確定當(dāng)a＜0時(shí)函數(shù)f（x）的圖像恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，滿足題意；而針對(duì)當(dāng)a≥0時(shí)，利用條件轉(zhuǎn)化函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0，分離函數(shù)y=x3+|x-2|與y=ax在y軸右側(cè)的圖像有公共點(diǎn)（且不相切）即可，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及相切的臨界直線的確定來(lái)處理滿足條件的參數(shù)a的取值范圍；最后加以綜合處理即可.

解法2：（1）同解法1.

（2）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=ax-1，x≤0的圖像僅經(jīng)過(guò)第三象限，要滿足題意，則函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0的圖像需經(jīng)過(guò)第一象限與第四象限，那么只要滿足y=x3+|x-2|與y=ax在y軸右側(cè)的圖像有公共點(diǎn)（且不相切）即可，作出函數(shù)y=x3+|x-2|的圖像，如圖1所示，與其相切的臨界直線l0為y=kx，由圖像可知，此時(shí)0＜x＜2，則y=x3-x+2，可得y′=所以當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，滿足題意.

圖1

綜上分析，可知a∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

分析：結(jié)合分類討論思想先確定當(dāng)a＜0時(shí)函數(shù)f（x）的圖像恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，滿足題意；而針對(duì)當(dāng)a≥0時(shí)，利用條件轉(zhuǎn)化函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0，分離函數(shù)y1=x2+y軸右側(cè)的圖像有公共點(diǎn)（且不相切）即可，結(jié)合函值的確定來(lái)處理滿足條件的參數(shù)a的取值范圍；最后加以綜合處理即可.

解法3：（1）同解法1.

（2）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=ax-1，x≤0的圖像僅經(jīng)過(guò)第三象限，要滿足題意，則函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0的圖像需經(jīng)過(guò)第一象限與第四象限，那么只要滿右側(cè)的圖像有公共點(diǎn)（且不相切）即間（0，+∞）上的最小值為y1min=2，所以當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)（fx）的圖像恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，滿足題意.

綜上分析，可知a∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

分析：結(jié)合分類討論思想先確定當(dāng)a＜0時(shí)函數(shù)f（x）的圖像恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，滿足題意；而針對(duì)當(dāng)a≥0時(shí)，利用條件轉(zhuǎn)化函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0在第一象限存在點(diǎn)使得y=x3-ax+|x-2|＞0，進(jìn)一步說(shuō)明存在x＞0，使得函數(shù)y=x3-ax+|x-2|＜0即可，通過(guò)分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2+過(guò)確定g（x）的最小值來(lái)確定滿足條件的參數(shù)a的取值范圍；最后加以綜合處理即可.

解法4：（1）同解法1.

（2）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y=ax-1，x≤0的圖像僅經(jīng)過(guò)第三此時(shí)函數(shù)y=x3-ax+|x-2|，x＞0的圖像必經(jīng)過(guò)第一象限，而函數(shù)f（x）的圖像恰好經(jīng)過(guò)三個(gè)象限，所以存在x＞0，使得

函數(shù)y=x3-ax+|x-2|＜0即可，即存在x＞0，使

綜上分析，a∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

總評(píng)：在解決此類填空題中的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，往往可以結(jié)合函數(shù)本身，利用函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化與處理；也可以優(yōu)先選擇利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)分離參數(shù)、分離函數(shù)等途徑轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相應(yīng)函數(shù)的圖像問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合加以直觀處理.在解決有關(guān)分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)既要緊扣“分段”特征，又要將各段有機(jī)聯(lián)系使之整體化、系統(tǒng)化，綜合數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來(lái)解，使問(wèn)題得到大大簡(jiǎn)化.

美國(guó)著名的數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，各類考試題無(wú)疑是最熟悉的一個(gè)“問(wèn)題”，特別是高考真題與一些針對(duì)性的模擬題.經(jīng)過(guò)理論和教學(xué)實(shí)踐，充分得以證明一題多解是提高數(shù)學(xué)解題能力的有效途徑.通過(guò)典型問(wèn)題呈現(xiàn)不同解法的同時(shí)，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，充分暴露思維過(guò)程，充分使得我們的解題思路更加開(kāi)闊，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握更加熟練，同時(shí)妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性、趣味性，真正提升能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).F得最小值為g（1）=2；而當(dāng)x≥2時(shí)，g（x）