從一道數(shù)列練習(xí)題談起

☉廣東省深圳市紅嶺教育集團 馬 鋒

下面著重來分析、解答第（3）問：

思路一：觀察左邊和式的通項，如果它可以適當(dāng)放縮成一個新的數(shù)列，而且此數(shù)列可以進行求和，并且求和的結(jié)果正好與右式能夠聯(lián)系起來的話，問題就可以順利解決了.

點評：放縮法過程非常簡潔，很多教學(xué)資料的參考解析多喜歡使用此法，處理過程給人一種很“高大上”很奇妙的感覺.實際上此法難度是相當(dāng)高的，多數(shù)學(xué)生很難駕馭，可以說是最難實現(xiàn)的，要想放縮得恰到好處必須通過大量的習(xí)題反復(fù)訓(xùn)練才可能實現(xiàn).這里主要有三個方面的問題要處理好：其一是要先按照不等式方向進行適度地放大或者縮小；其二放縮后的結(jié)果必須可以順利求和；其三求和后的結(jié)果務(wù)必要達到期望的目標才行.這里面真是環(huán)環(huán)相扣.只要有一個環(huán)節(jié)出問題就必須再次嘗試再次調(diào)整，稍有差池就很難順利解決.

思路二：顯然所有的數(shù)列問題都是與正整數(shù)有關(guān)的，自然就想到了數(shù)學(xué)歸納法，它是解決此類問題的一把利器，不妨用數(shù)學(xué)歸納法試一試，這里的關(guān)鍵是在于第二步從n=k的假設(shè)條件去推導(dǎo)證明n=k+1時命題成立.

點評：數(shù)學(xué)歸納法對于正整數(shù)有關(guān)的題目都可以嘗試，此題用起來還是較順利的，第二步推證中使用分析法解決核心問題，總體還是不錯的，但是這種解法對解題格式要求比較高，必須是“兩步一結(jié)論”的模式，而且第二步的證明中必須要用到n=k時的假設(shè)條件，很多學(xué)生可能會感覺此方法有點煩瑣死板過程拖沓，可能未必會考慮使用，這也是此法得不到應(yīng)有尊重的一個重要原因.

思路三：這是一道有關(guān)數(shù)列的不等式證明題，受函數(shù)單調(diào)性方法解題的啟發(fā)，可以考慮利用數(shù)列的單調(diào)性方法來處理，可以構(gòu)造一個新數(shù)列，通過作差來確定此數(shù)列的單調(diào)性，從而解決待證明的問題.

點評：單調(diào)法主要是利用數(shù)列的單調(diào)性來解決問題，也就是把一個有關(guān)數(shù)列很多項的不等式證明問題轉(zhuǎn)化為為數(shù)不多的幾項并化簡來進行比較，作差后的定號問題很好地運用了均值不等式來處理，從而最終達到了化繁為簡的目的，這也是我們解決復(fù)雜問題的基本思想，此解法顯然對本題很實用也很有創(chuàng)意.

思路四：受到左式是一個求和形式的啟發(fā)，嘗試把右式也看成一個數(shù)列的求和的結(jié)果，可以利用和式作差來得到通項，接下來只要把兩個數(shù)列的通項使用比較法進行比較即可解決問題.

點評：構(gòu)造法的原理其實很簡單，就是通過比較數(shù)列的通項來解決數(shù)列求和的比較問題.解題的關(guān)鍵是把一邊待證明的式子構(gòu)造成一個新數(shù)列的和的形式（當(dāng)然首先另一邊要是一個連加式），該法體現(xiàn)了化整為零的思想，很多有關(guān)數(shù)列和式的不等式證明問題都可以考慮使用這種解法.

在本題第（3）問的解答過程中，放縮法過程比較簡潔，數(shù)學(xué)歸納法比較容易切入，單調(diào)法比較有創(chuàng)新思維，而構(gòu)造法比較容易操作.以上方法對于解決諸如此類有關(guān)不等式求和的證明題是非常有效的，當(dāng)然在具體使用時要注意靈活選擇，恰當(dāng)運用.下列兩個不等式大家可以仿照前面的方法進行類似證明：

事實上很多題目本身并不難，只是我們對解題方法掌握得不全面不熟練才感覺棘手，茫茫題海中有很多類似的問題等待我們?nèi)タ朔腠樌氐竭_勝利彼岸，就必須通曉很多類型題目的解題方法和解題套路，從而實現(xiàn)舉一反三，觸類旁通，這也是高三復(fù)習(xí)中的高效學(xué)習(xí)高效復(fù)習(xí)的基本要求.F