教之道，在于思
——小議挖掘課本習題的價值

☉安徽省舒城中學 秦國剛

縱觀現階段數學課堂教學，教師對于教材的利用率是愈來愈低，這一點已成為數學教學，特別是復習教學的共識.教材利用率低是什么原因造成的？這一問題筆者在一次研討會中專門請教過人教版教材主編章建躍博士，章博士對此的回應：“受制于兩方面因素：第一，不少教師不理解我們辛苦編排的教材，為什么這樣編？有什么好處？這樣教怎么幫助學生理解數學知識？第二，很少有教師對于教材的例題、習題進行深度挖掘，去思考其中的知識價值，更多的教學是用教輔資料完成，這樣的教學只能說在熟練度上有一定的成效，在理解和創新角度來說沒有成功.”

因此，從高效教學的角度來說，如何將教材的例題、習題進行挖掘，通過與考題進行聯系，讓習題教學功效最大化是教師的教之道.本文從案例出發，與大家一起探討這種嘗試.

一、問題

教材B組習題中的“選菜問題”：學校餐廳每天供應500名學生用餐，每星期一有A、B兩種菜可供選擇.調查資料表明，凡是在這星期一選A菜的，下星期一會有20%改選B菜；而選B菜的，下星期一會有30%改選A菜，用an、bn分別表示在第n個星期選A的人數和B的人數，若a1=300，求a10.

解決導向：利用構造可得an+1-300=0.5（an-300），顯然{an-300}是等比數列，因而數列通項不難求解.

說明：教材的習題依托了等比數列的概念，在求解過程中，教師引導學生既要重視教材的基本概念（等比數列定義），也要關注數學思想的運用（整體構造），兩者結合是教材習題滲透出來的“味道”.從數列結構分析，我們不難發現形如問題1中的遞推數列可以通過構造等比數列進行求解，教材習題在源自等比數列概念的基礎上，用選菜問題進一步提煉了等比數列概念的運用，將整體思想和構造方式置于實際問題中，這種構造大大加深了學生對于教材中概念的理解.可以這么說，中學數學大多數問題都是整體思想的滲透和運用，因此這樣的習題值得教師積極引導和思考.從習題功效來說，這種僅僅解決問題的方式還遠遠不夠，因此進一步的開發成為教學更深之道.

二、思考

從遞推數列模型an+1=pan+f（n）中，我們發現當f（n）=q（常數）時，運用等比數列概念和整體構造思想可以得到問題的通性通法，這成為解決一階線性遞推數列的基本方式.筆者認為，對類似的問題還可以進一步思考不同的變化，這對于基于教材、高于教材有更好的理解.

思考1：已知數列{an}滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項an.

錯解：令：an+x=2（an-1+x），整理得an=2an-1+x，顯然x=n-2，所以{an+n-2}是等比數列，可求得數列an=0，顯然和已知不符.

分析：問題出現在哪里？為什么貌似正確的解決方式得不到？這里運用和問題類似的等比數列整體構造方法，哪里出了問題？首先請正確的學生給出解答過程.

解：令an+λn+u=2［an-1+λ（n-1）+u］，整理得an=2an-1+2［an-1+（n-1）］（n≥2），即{an+n}是以a1+1為首項，2為公比的等比數列，得an=2n-n.

說明：改變數列遞推關系的結構，將模型中的常數改變為含有n的一次式，學生的第一次錯解發現了構造的誤區，經過檢驗排除了這種構造，從而獲得了更深的思考：從函數思想角度切入，當常數變為n的一次式時，我們可以理解為一次函數是構造的重要因素，考慮到兩邊整體思想介入時結構的完整性，因此正解的構造才是合乎情理的，這也進一步驗證了為什么當f（n）為常數時兩邊必須構造常數的意義，這不正是常數函數的理解嘛！

說明：這是筆者進一步對上述問題思考后進行的問題創編，將一次函數模型提升到了二次函數模型，請學生加強對等比數列構造的理解.本題是筆者編制給學生嘗試的，從過程和結果來看，學生對于問題的理解獲得有了一定的深度，并且將類比思想運用到問題的理解之中.可謂獲得了深度的思考！在問題的交流中，甚至有學生提出了將模型改為三次函數等，從而這類遞推數列通項問題的求解獲得了一種通性通法.對于學生成功的聯想，不正是我們教學需要的結果嗎？可以說，以教材問題為起點，不斷拓寬教學的思路，提升思維的品質，獲得了知識緊密銜接運用的可能，是高效教學的典范.

思考3：設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn.

（1）證明：當b=2時，{an-n·2n-1}是等比數列；

（2）求{an}的通項公式.

分析：由題意知，a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，ban+1-2n+1=（b-1）Sn+1，兩式相減得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1，即an+1=ban+2n. ①

（1）當b=2時，由①知，an+1=2an+2n（f（n）為指數函數模型），令an+1+λ（n+1）2n+1=2（an+λn2n），易n·2n-1}是首項為1，公比為2的等比數列.

（2）當b=2時，由（1）知，an=（n+1）2n-1；

說明：將模型改為指對數函數模型，正是在教師啟發下學生的自我嘗試.從探索過程來看，遞推數列中對指數函數模型的求解，按照等比數列的直接構造有一定的困難，在嘗試兩邊結構相同的情況下，不停地調整構造，從而獲得了等比數列下構造的成功.從學生對于指數函數模型的構造來說，學生獲得了進一步類比的能力，而且在這一過程中不斷調整，將問題的理解分為兩種不同情形，提出了通性通法，是學習深度思考的結果.當然，指數函數模型的構造還有更為簡單的方式，可以轉換為前面理解的問題，進一步將轉化思想滲透其中，讓陌生問題的解決變得更為容易些.但對于對數函數模型來說，這種構造顯然還不能進行（有興趣的讀者可以嘗試a1=1，an+1=2an+log2n），因此學生對遞推數列求通項的等比數列構造法做出了合適的通性通法的總結.

三、小結

（1）f（n）為一次函數時，即an+1=pan+bn+c，此法可行高效.只需構造an+1+λn+u=p［an+λ（n-1）+u］，利用待定系數求出λ與u即可.

（2）f（n）為二次函數（或二次以上）時，此法仍舊可行高效，只需構造，an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v）利用待定系數求出λ、u與v即可.

（3）當an+1=pan+qn時，可按等比建構，當p=q時，即an+1=

當p≠q時，構造an+1+λqn+1=p（an+λqn），易得比數列.

當an+1=pan+qn時，也可轉化建構同選菜問題類似解決.

總之，以教材問題為藍本，進行挖掘和深度思考，將知識和思想完美地融進這樣的問題，進行適度的開發有助于教學的高效，當然這需要教師一定的積累和嘗試，但是久而久之的積累一定能大大提高教師自身的專業水準，也提高了教學的樂趣和效率.